1、2.5 全等三角形-第一课时,如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？,（1）,（2）,新知探究,（1）,（2）,它们可以完全重合,我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.,新知归纳,如图，ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到 ，问ABC与 能完 全重合吗？,新知探究,根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的 与ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形.,能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.,新知归纳,全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，,互相重合的边叫作对应边，,互相重合的角叫作对应角
2、.,新知归纳,例如，图（1）中的ABC和 全等，,其中A与A，B与B，C与C是对应顶点；,记作： ABC .,AB与 ，BC与 ，CA与 是对应边；,（1）,全等用符号“”表示，读作“全等于”.,在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.,全等用符号“”表示，读作“全等于”.,在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.,全等三角形的对应边相等；,全等三角形的对应角相等.,我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：,例如，,新知归纳,例1 如图，已知ABCDCB，AB=3，DB=4，A=60.,（1）写出ABC和
3、DCB的对应边和对应角； （2）求AC，DC的长及D的度数.,中考试题,解（1）AB与DC，AC与DB，,BC与CB是对应边；,A与D，ABC与DCB，,ACB与DBC是对应角., AC = DB = 4，DC = AB =3.,（2） AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，,A与D是全等三角形的对应角，,D =A = 60.,如图，已知ADFCBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.,（1）找出它们的所有对应边和对应角； （2）求ADF的周长及BEC的度数.,解（1）AF与CE，AD与CB，,DF与BE是对应边；,A与C，AFD与CEB，,D与B是对应角.,（2）AD
4、F的周长是13，BEC=40.,随堂练习,两个三角形满足什么条件就能全等呢？,下面我们就来探讨这个问题.,疑问升级,每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？,新知探究,我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.,下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.,设在ABC和 中， ，,（1）ABC和 的位置关系如图.,将ABC作平移，使BC的像 与 重合，ABC在平移下的像为 .,由于平移不改变图形的形状和大小，因此ABC,因为 ，,所
5、以线段AB与 重合，,因此点 与点 重合，,那么 与 重合，,所以 与 重合，,因此 ，,从而,（2）ABC和 的位置关系如图（顶点B 与顶点 重合）.,因为 ，,将ABC作绕点B的旋转，旋转角等于 ，,所以线段BC的像与线段 重合.,因为 ，,所以,由于旋转不改变图形的形状和大小，,又因为 ，,所以在上述旋转下，BA的像与 重合，,从而AC的像就与 重合，,于是ABC的像就是,因此 ABC ,（3）ABC和 的位置关系如图.,根据情形（1），（2）的结论得,将ABC作平移，使顶点B的像 和顶点 重合，,因此,（4）ABC和 的位置关系如图.,将ABC作关于直线BC的轴反射，,ABC在轴反射下
6、的像为,由于轴反射不改变图形的形状和大小，,因此 ABC ,根据情形（3）的结论得 ，,因此,由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“边角边”或“SAS”.,新知归纳,例2 已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO. 求证：ACOBDO., ACOBDO.（SAS）,例题讲解,1. 如图，将两根钢条AA和BB的中点O连在一起， 使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具（卡钳）.只要量出 的长，就得出工件内槽的宽AB. 这是根据什么道理呢？,解 ABOABO，,AB= AB.,随堂练习,2. 如图，ADBC，A
7、D=BC. 问：ADC和CBA是全等三角形吗？为什么？,解 ADBC, ADCCBA.,DAC=BCA，,又 AD=BC，AC公共,随堂练习,随堂练习,3. 已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点. 求证：BE=CF.,解 AB=AC, 且 E，F分别是AC，AB中点，, ABEACF，,AF=AE，,又 A公共，, BE=CF.,在ABC和 中，如果BC = ，B=B，C=C，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与 重合吗？那么ABC与 全等吗？,类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与 重合，因此ABC ,新知探究,
8、由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“角边角”或“ASA”.,新知归纳,例3 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，ABDC，AB=CD，B=D.求证：ABECDF.,证明 ABDC，, A=C.,在ABE和CDF中，, ABECDF （ASA）.,例题讲解,A,B,E,C,D,例4 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D 点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军 说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？,例题讲解,A =C = 90，,AE = CE，,AEB =CED (对顶角相等), AEB CED.（ASA）, AB=CD .(全等三角形的对应边相等),因此，CD的长就是河的宽度.,1. 如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去. 请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？,随堂练习,2. 已知：如图，ABC ，CF， 分别是ACB和 的平分线. 求证：,证明：,ABCABC，,A =A ,ACB =ACB.,AC=AC, CF=CF.,又CF，CF分别是ACB和ACB的平分线，, ACF=ACF., ACFACF,谢 谢,
