1、2017-2018 学年河北省保定市定州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D2已知反比例函数 y= （k0）的图象经过点 M（2，2） ，则 k 的值是（ ）A4 B1 C1 D43抛物线 y=x2+2x+3 的对称轴是（ ）A直线 x=1 B直线 x=1 C直线 x=2 D直线 x=24在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）A10m B12m
2、 C15m D40m5用配方法解方程 x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A （x2） 2=5 B （x+2） 2=5 C （x+2） 2=3 D （x2） 2=36 “同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是 3”的概率为（ ）A B C D7如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若BOD=88，则BCD 的度数是（ ）A88 B92 C106 D1368在小孔成像问题中，如图所示，若为 O 到 AB 的距离是 18cm，O 到 CD 的距离是6cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的（ ）A B C2 倍 D3 倍9如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，M 为 EF 的
3、中点，连接 DM，若O 的半径为 2，则 MD 的长度为（ ）A B C2 D110一次函数 y=axa 与反比例函数 y= （a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A BC D11如图，把直角ABC 的斜边 AC 放在直线 l 上，按顺时针的方向在直线 l 上转动两次，使它转到A 2B1C2的位置，设 AB= ，BAC=30 ，则顶点 A 运动到点 A2的位置时，点 A 所经过的路线为（ ）A （ + ） B （ + ） C2 D 12如图，抛物线 y1=a（x+2） 23 与 y2= （x3） 2+1 交于点 A（1，3） ，过点 A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C
4、则以下结沦：无论 x 取何值，y 2的值总是正数；2a=1；当 x=0 时，y 2y 1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（ ）A B C D二、填空题本大题共 6 个小题；每小题 3 分，共 18 分.把答案写在题中横线上）13一元二次方程 y2=2y 的解为 14某农户 2010 年的年收入为 4 万元，由于“惠农政策”的落实，2012 年年收入增加到 5.8 万元设每年的年增长率 x 相同，则可列出方程为 15已知二次函数 y=2x26x+m 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的值为 16如图，在ABCD 中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则 CD 的长为 17已知：如图，矩
5、形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1，以 D 为圆心，AD 为半径作 AE 弧，再以 AB 的中点 F 为圆心，FB 长为半径作 BE 弧，则阴影部分的面积为 18如图是反比例函数 与 在 x 轴上方的图象，点 C 是 y 轴正半轴上的一点，过点 C 作 ABx 轴分别交这两个图象于点 A，B若点 P 在 x 轴上运动，则ABP 的面积等于 三、解答下列各题（本题有 8 个小题，共 66 分）19 （6 分）解方程：x 26x+4=0（用配方法）20 （6 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示
6、的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离 B（树底）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE=3.2 米，观察者目高 CD=1.6 米，求树 AB 的高度21 （8 分）如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB=3cm，求此光盘的直径22 （8 分）四张扑克牌（方块 2、黑桃 4、黑桃 5、梅花 5）的牌面如图 l，将扑克牌洗匀后，如图 2 背面朝上放置在桌面上小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜请
7、问这个游戏规则公平吗？并说明理由23 （8 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为 （4，6） 双曲线 y= （x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接DE（1）求 k 的值及点 E 的坐标；（2）若 F 是 OC 边上一点，且CBF=BED，求点 F 的坐标24 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，P 为O 外一点，且 OPBC，P=BAC（1）求证：PA 为O 的切线；（2）若 OB=5，OP= ，求 AC 的长25 （10 分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为 10 元/件，出厂价为 12 元/件，年销售量为
8、2 万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加 x 倍（本题中0x1） （1）用含 x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元（2）求今年这种玩具的每件利润 y 元与 x 之间的函数关系式（3）设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元，求当 x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价每件玩具的成本）年销售量26 （12 分）如图，点
9、A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由2017-2018 学年河北省保定市定州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形
10、的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合2已知反比例函数 y= （k0）的图象经过点 M（2，2） ，则 k 的值是（ ）A4 B1 C1 D4【分析】把点（2，2）代入反比例函数 y= （k0）中
11、，可直接求 k 的值【解答】解：把点（2，2）代入反比例函数 y= （k0）中得 2=所以，k=xy=4，故选：A【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数等于在函数图象上面的点的横纵坐标的乘积3抛物线 y=x2+2x+3 的对称轴是（ ）A直线 x=1 B直线 x=1 C直线 x=2 D直线 x=2【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程【解答】解：y=x 2+2x+3=（x+1） 2+2，抛物线的对称轴为直线 x=1故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，它的顶点坐标是（ ， ）
12、，对称轴为直线 x= 4在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）A10m B12m C15m D40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解【解答】解：设旗杆高度为 x 米，由题意得， = ，解得：x=15故选：C【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记5用配方法解方程 x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A （x2） 2=5 B （x+2） 2=5 C （x+2） 2=3 D （x2） 2=3【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可【解答】解：x 2+4x
13、=1，x 2+4x+4=1+4，即（x+2） 2=3，故选：C【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为 ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解，是解题的关键6 “同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是 3”的概率为（ ）A B C D【分析】首先利用列表法，列举出所有的可能，再看至少有一个骰
14、子点数为 3 的情况占总情况的多少即可【解答】解：列表如下 1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）由表可知一共 36 种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是 3 的有 1
15、1 种结果，所以至少有一枚骰子的点数是 3 的概率为 ，故选：B【点评】此题主要考查了列表法求概率，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，注意本题是放回实验，找到两个骰子点数相同的情况数和至少有一个骰子点数为 3 的情况数是关键7如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若BOD=88，则BCD 的度数是（ ）A88 B92 C106 D136【分析】首先根据BOD=88，应用圆周角定理，求出BAD 的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得BAD+BCD=180，据此求出BCD 的度数是多少即可【解答】解
16、：BOD=88，BAD=882=44，BAD+BCD=180，BCD=18044=136，即BCD 的度数是 136故选：D【点评】 （1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） （2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半8在小孔成像问题中，如图所示，若为 O 到 AB 的距离是 18cm，O 到 CD 的距离是6cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的（ ）A B
17、 C2 倍 D3 倍【分析】如图，作 OEAB 于 E，EO 的延长线交 CD 于 F由AOBDOC，推出 = = （相似三角形的对应高的比等于相似比） ，由此即可解决问题【解答】解：如图，作 OEAB 于 E，EO 的延长线交 CD 于 FABCD，FOCD，AOBDOC， = = = （相似三角形的对应高的比等于相似比） ，CD= AB，故选：A【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型9如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，M 为 EF 的中点，连接 DM，若O 的半径为 2，则 MD 的长度为（
18、）A B C2 D1【分析】连接 OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OMOD，OMEF，MFO=60，由三角函数求出 OM，再由勾股定理求出 MD 即可【解答】解：连接 OM、OD、OF，如图所示：正六边形 ABCDEF 内接于O，M 为 EF 的中点，OMOD，OMEF，MFO=60，MOD=OMF=90，OM=OFsinMFO=2 = ，MD= = = ；故选：A【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出 OM 是解决问题的关键10一次函数 y=axa 与反比例函数 y= （a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能
19、是（ ）A BC D【分析】先根据一次函数的性质判断出 a 取值，再根据反比例函数的性质判断出 a 的取值，二者一致的即为正确答案【解答】解：A、由函数 y=axa 的图象可知 a0，由函数 y= （a0）的图象可知a0，相矛盾，故错误；B、由函数 y=axa 的图象可知 a0，a0，由函数 y= （a0）的图象可知a0，错误；C、由函数 y=axa 的图象可知 a0，由函数 y= （a0）的图象可知 a0，正确；D、由函数 y=axa 的图象可知 m0，a0，一次函数与 y 轴交与负半轴，相矛盾，故错误；故选：C【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质
20、才能灵活解题11如图，把直角ABC 的斜边 AC 放在直线 l 上，按顺时针的方向在直线 l 上转动两次，使它转到A 2B1C2的位置，设 AB= ，BAC=30 ，则顶点 A 运动到点 A2的位置时，点 A 所经过的路线为（ ）A （ + ） B （ + ） C2 D 【分析】A 点所经过的弧长有两段，以 C 为圆心，CA 长为半径，ACA 1为圆心角的弧长；以 B1为圆心，AB 长为半径，A 1B1A2为圆心角的弧长分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论【解答】解：在 RtABC 中，AB= ，BAC=30，ACB=60，AC=2；由分析知：点 A 经过的路程是由两段弧长所构成的：A
21、A 1段的弧长：L 1= = ，A 1A 2段的弧长：L 2= = ，点 A 所经过的路线为（ + ），故选：A【点评】本题考查的是弧长的计算，30 度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答12如图，抛物线 y1=a（x+2） 23 与 y2= （x3） 2+1 交于点 A（1，3） ，过点 A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C则以下结沦：无论 x 取何值，y 2的值总是正数；2a=1；当 x=0 时，y 2y 1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（ ）A B C D【分析】利用二次函数的性质得到 y2的最小值为 1
22、，则可对进行判断；把 A 点坐标代入 y1=a（x+2） 23 中求出 a，则可对进行判断；分别计算 x=0 时两函数的对应值，再计算 y2y 1的值，则可对进行判断；利用抛物线的对称性计算出 AB 和AC，则可对进行判断【解答】解：y 2= （x3） 2+1，y 2的最小值为 1，所以正确；把 A（1，3）代入 y1=a（x+2） 23 得 a（1+2） 23=3，3a=2，所以错误；当 x=0 时，y 1= （x+2） 23= ，y 2= （x3） 2+1= ，y 2y 1= + = ，所以错误；抛物线 y1=a（x+2） 23 的对称轴为直线 x=2，抛物线 y2= （x3） 2+1 的
23、对称轴为直线 x=3，AB=23=6，AC=22=4，2AB=3AC，所以正确故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） 也考查了二次函数的性质二、填空题本大题共 6 个小题；每小题 3 分，共
24、 18 分.把答案写在题中横线上）13一元二次方程 y2=2y 的解为 y 1=0，y 2=2 【分析】利用因式分解法解方程【解答】解：y 22y=0，y（y2）=0，y=0 或 y2=0，所以 y1=0，y 2=2故答案为 y1=0，y 2=2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 14某农户 2010 年的年收入为 4 万元，由于“惠农政策”的落
25、实，2012 年年收入增加到 5.8 万元设每年的年增长率 x 相同，则可列出方程为 4（1+x） 2=5.8 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，参照本题，如果设每年的年增长率为 x，根据“由 2010 年的年收入 4 万元增加到 2012 年年收入 5.8万元” ，即可得出方程【解答】解：设每年的年增长率为 x，则 2011 年的年收入为 4（1+x）万元，2012 年的年收入为 4（1+x） 2万元，根据题意得：4（1+x） 2=5.8故答案为 4（1+x） 2=5.8【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题若设变化前的量为 a，变化后的量为
26、 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x） 2=b（增长为+，下降为） 15已知二次函数 y=2x26x+m 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的值为 m 【分析】由二次函数 y=2x26x+m 的图象与 x 轴没有交点，可知0，解不等式即可【解答】解：二次函数 y=2x26x+m 的图象与 x 轴没有交点，0，（6） 242m0，解得：m ；故答案为：m 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，熟记：有两个交点，0；有一个交点，=0；没有交点，0 是解决问题的关键16如图，在ABCD 中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则 CD 的长为 10 【分析】根据平行于
27、三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可解得 AB 的长，而在ABCD 中，CD=AB【解答】解：EFABDEFDABEF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5AB=10在ABCD 中 AB=CDCD=10【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要搞错17已知：如图，矩形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1，以 D 为圆心，AD 为半径作 AE 弧，再以 AB 的中点 F 为圆心，FB 长为半径作 BE 弧，则阴影部分的面积为 1 【分析】根据题意扇形 DAE 的面积与扇形 F
28、BE 的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半【解答】解：AF=BF，AD=1，AB=2，AD=BF=1，扇形 DAE 的面积=扇形 FBE 的面积，阴影部分的面积=11=1故答案为 1【点评】考查了扇形面积的求法以及拼图的能力18如图是反比例函数 与 在 x 轴上方的图象，点 C 是 y 轴正半轴上的一点，过点 C 作 ABx 轴分别交这两个图象于点 A，B若点 P 在 x 轴上运动，则ABP 的面积等于 5 【分析】先设 C（0，b） ，由直线 ABx 轴，则 A，B 两点的纵坐标都为 b，而 A，B 分别在反比例函数 与 的图象上，可得到 A 点坐标为（ ，b） ，B 点坐标为（
29、，b） ，从而求出 AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：设 C（0，b） ，直线 ABx 轴，A，B 两点的纵坐标都为 b，而点 A 在反比例函数 y= 的图象上，当 y=b，x= ，即 A 点坐标为（ ，b） ，又点 B 在反比例函数 y= 的图象上，当 y=b，x= ，即 B 点坐标为（ ，b） ，AB= （ ）= ，S ABC = ABOC= b=5故答案为：5【点评】本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，即在反比例函数 y= 的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变三、解答下列各题（本题有 8 个小题，共
30、 66 分）19 （6 分）解方程：x 26x+4=0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：由原方程移项，得x26x=4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x26x+9=4+9，即（x3） 2=5，x= +3，x 1= +3，x 2= +3【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是2 的倍数20 （6 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了
31、如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离 B（树底）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE=3.2 米，观察者目高 CD=1.6 米，求树 AB 的高度【分析】先过 E 作 EFBD 于点 E，再根据入射角等于反射角可知，1=2，故可得出DEC=AEB，由 CDBD，ABBD 可知CDE=ABE，进而可得出CDEABE，再由相似三角形的对应边成比例即可求出大树 AB 的高度【解答】解：过点 E 作 EFBD 于点 E，则1=2，DEF=BEF=90，DEC=A
32、EB，CDBD，ABBD，CDE=ABE=90，CDEABE， = ，DE=3.2 米，CD=1.6 米，EB=8.4 米， = ，解得 AB=4.2（米） 答：树 AB 的高度为 4.2 米【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用、光的反射定律等知识，解答此题的关键知道入射角等于反射角，熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型21 （8 分）如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB=3cm，求此光盘的直径【分析】先画图，根据题意求出OAB=60，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得 OB，从而得出光盘的直径【
33、解答】解：如图，设光盘的圆心为 O，三角板的另外两点为 C，D，连接 OB，OA，CAD=60，CAB=120，AB 和 AC 与O 相切，OAB=OAC，OAB= CAB=60AB=3cm，OA=6cm，由勾股定理得 OB=3 cm，光盘的直径为 6 cm【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，是基础知识要熟练掌握22 （8 分）四张扑克牌（方块 2、黑桃 4、黑桃 5、梅花 5）的牌面如图 l，将扑克牌洗匀后，如图 2 背面朝上放置在桌面上小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜请问这个游戏规则公平吗？并说明理由【分析】先利用树状图
34、展示所有有 12 种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有 8 种情况，再根据概率公式求出 P（小亮获胜）和 P（小明获胜） ，然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性【解答】解：此游戏规则不公平理由如下：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有 8 种情况，所以 P（小亮获胜）= = ；P（小明获胜）=1 = ，因为 ，所以这个游戏规则不公平【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平23 （8 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为
35、（4，6） 双曲线 y= （x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接DE（1）求 k 的值及点 E 的坐标；（2）若 F 是 OC 边上一点，且CBF=BED，求点 F 的坐标【分析】 （1）根据题意可得中点 D 的坐标为（2，6） ，可求解析式，即可求 k 和点 E 的坐标；（2）由题意可证 RtFBCRtDEB，可求 CF 的长，则可得 OF 的长，即可求点 F 的坐标【解答】解：（1）在矩形 OABC 中，B（4，6） ，BC 边中点 D 的坐标为（2，6） ，又曲线 y= 的图象经过点（2，6） ，k=12，解析式 y=E 点在 AB 上，E 点的横坐标为 4，
36、反比例函数 y= 图象经过点 E，E 点纵坐标为 3，E 点坐标为（4，3） ；（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，CBF=BED，BCF=DBE=90RtFBCRtDEB， ，即 ，CF= ，OF=OCCFOF= ，即点 F 的坐标为（0， ） 【点评】本题考查了反比例函数综合题，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形的判定和性质是解决问题的关键24 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，P 为O 外一点，且 OPBC，P=BAC（1）求证：PA 为O 的切线；（2）若 OB=5，OP= ，求 AC 的长【分析】 （1）欲证明 PA 为O 的
37、切线，只需证明 OAAP；（2）通过相似三角形ABCPAO 的对应边成比例来求线段 AC 的长度【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径，ACB=90，BAC+B=90又OPBC，AOP=B，BAC+AOP=90P=BACP+AOP=90，由三角形内角和定理知PAO=90，即 OAAP又OA 是的O 的半径，PA 为O 的切线；（2）解：由（1）知，PAO=90OB=5，OA=OB=5又OP= ，在直角APO 中，根据勾股定理知 PA= = ，由（1）知，ACB=PAO=90BAC=P，ABCPOA， = = ，解得 AC=8即 AC 的长度为 8【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质，三
38、角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键25 （10 分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为 10 元/件，出厂价为 12 元/件，年销售量为 2 万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加 x 倍（本题中0x1） （1）用含 x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为 （10+7x） 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为 （12+6x） 元（2）求今年这种玩具的每件利
39、润 y 元与 x 之间的函数关系式（3）设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元，求当 x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价每件玩具的成本）年销售量【分析】 （1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 0.7x 倍，即为（10+100.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5x 倍，即为（12+120.5x）元/件；（2）今年这种玩具的每件利润 y 等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）（10+7x） ，然后整理即可；（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂
40、价每件玩具的成本）年销售量，得到 w=2（1+x） （2x） ，然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案【解答】解：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）（10+7x） ，y=2x （0x1） ；（3）w=2（1+x）y=2（1+x） （2x）=2x 2+2x+4，w=2（x0.5） 2+4.520，0x1，w 有最大值，当 x=0.5 时，w 最大 =4.5（万元） 答：当 x 为 0.5 时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是 4.5 万元【点评】本题考查了二次函数的顶点式：y=a（xk） 2+h， （a0） ，当 a0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当
41、 x=k，函数的最大值为 h也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法26 （12 分）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由【分析】方法一：（1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数
42、法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P点方法二：（3）用参数表示点 M 坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解（4）列出点 M 的参数坐标，利用 MO=MB 求解此问也可通过求出 OB 的垂直平分线与y 轴的交点得出 M 点【解答】解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC
43、=OBsin60=4 =2 ，点 B 的坐标为（2，2 ） ；（2）抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（22 ）代入，得：，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2 ，当 y=2 时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= = ，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2 不符合题意，舍去，点
44、P 的坐标为（2，2 ）若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2 ） 方法二：（3）设 P（2，t） ，O（0，0） ，B（2，2 ） ，POB 为等腰三角形，PO=PB，PO=OB，PB=OB，（20） 2+（t0） 2=（2+2） 2+（t+2 ） 2，t=2 ，（20）2+（t0）2=（0+2）2+（0+2 ）2，t=2 或2 ，当 t=2 时，P（2，2 ） ，O（0，
45、0）B（2，2 ）三点共线故舍去，（2+2） 2+（t+2 ） 2=（0+2） 2+（0+2 ） 2，t=2 ，符合条件的点 P 只有一个，P（2，2 ） 方法二追加第（4）问：在（3）的条件下，M 为OBP 的外接圆，求出圆心 M 的坐标（4）点 B，点 P 关于 y 轴对称，点 M 在 y 轴上，设 M（0，m） ，M 为OBF 的外接圆，MO=MB，（00） 2+（m0） 2=（0+2） 2+（m+2 ） 2，m= ，M（0， ） 【点评】此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方
