1、高 三 年 级 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第 1 页 共 5 页西安中学2018-2019学年度第一学期期中考试高三数学（文科）试题（时间：120分钟满分：150分）命题人：一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 （ 本 大 题 共12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 ）1 设 集 合 = 0123A ， ， ， ， = 2 1B x x a a A ， ， 则 =( )A BIA. 12， B. 13， C. 01， D. 13 ，2 已 知 a R ， 则 “ 2a ” 是 “ 2
2、2a a ” 的 （ ）A 充 分 不 必 要 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件3 已 知 向 量 a (2， 1)， b ( 1， 3)， 则 下 列 向 量 与 2a b 平 行 的 是 ( )A 2， 23 B (1， 3) C.(1， 2) D (0， 2)4 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A “ 若 1a ， 则 2 1a ” 的 否 命 题 是 “ 若 1a ， 则 2 1a ”B “ 若 2 2am bm ， 则 a b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题C 0 (0, )x ， 使 0 03 4x x 成 立
3、D “ 若 1sin 2 ， 则 6 ” 是 真 命 题5 已 知 ( 3, )P t 为 角 的 终 边 上 的 一 点 ， 且 13sin 13 ， 则 t的 值 为 （ ）A 1 B 1 C 12 D 126 下 列 函 数 中 ， 与 函 数 1 22 xxy 的 定 义 域 、 奇 偶 性 均 一 致 的 函 数 是 （ ）A cosy x B 2y x C 1y x D 22 00x xy x x 7 为 了 得 到 函 数 sin(2 )3y x 的 图 像 ， 只 需 把 函 数 sin2y x 的 图 像 上 所 有 的 点（ ）A 向 左 平 行 移 动 3 个 单 位 长
4、 度 B 向 右 平 行 移 动 3 个 单 位 长 度高 三 年 级 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第 2 页 共 5 页C 向 左 平 行 移 动 6 个 单 位 长 度 D 向 右 平 行 移 动 6 个 单 位 长 度8 设 1 15 66 32 ( ) ln7a b c ， ， ， 则 （ ）A c a b B c b a C a b c D b a c 9 若 函 数 2 8 12( ) 1ax x xf x a xx ， 为 R 上 的 减 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ ）A 4 ， B 4 ， C 46， D 0 ，10 若 sin cos 3sin
5、 5cos ， 则 cos2 ( ) A 2425 B 6365 C 2425 D 72511 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 1, 2f x f x f x xf x ， 且 当 1,0时 ， 12 5xf x ， 则 2log 20f ( )A 1 B 45 C 1 D 4512 已 知 函 数 212 bf x x cx (b ， c 都 是 常 数 )和 1 14g x x x 是 定 义 在 1 4M x x 上 的 函 数 ， 对 于 任 意 的 x M ， 存 在 0x M 使 得 0( ) ( )f x f x ，0( ) ( )g x g x ， 且 0 0(
6、 ) ( )f x g x ， 则 ( )f x 在 M 上 的 最 大 值 为 ( )A 72 B 5 C 6 D 8二 、 填 空 题 （ 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ）13 已 知 函 数 0.5log ( 1)f x x ， 的 定 义 域 为 l4 已 知 x y， 满 足 , 4, 22 .y xx y z x yx y k 若 有 最 大 值 8， 则 实 数 k 的 值 为 _.高 三 年 级 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第 3 页 共 5 页15 如 图 ， 正 方 形 ABCD中 ， ,M N 分 别 是 BC和 CD的 中 点 ，
7、若 AC AM BN uuur uuur uuur， 则 16 函 数 1 2( 0 1)xf x a a a ， 的 图 象 恒 过 定 点 A， 若点 A 在 直 线 1 0mx ny 上 ， 其 中 0 0m n ， ， 则 1 2m n 的 最 小 值 为 三 、 解 答 题 （ 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 1721 题 为 必 考 题 ， 每个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 ， 第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 ）17 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 函
8、 数 2( ) sin(2 ) 2cos 16f x x x ( 0) 的 最 小 正 周 期 为 （ 1） 求 的 值 ；（ 2） 求 ( )f x 在 区 间 70 12， 上 的 最 大 值 和 最 小 值 18 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）在 ABC 中 ， 角 A B C， ， 的 对 边 分 别 为 , ,a b c， 满 足 (2 )cos cosb c A a C （ 1） 求 角 A的 大 小 ；（ 2） 若 3a ， 求 ABC 的 周 长 最 大 值 19 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 2017 年 10 月 18 日 至 10 月 24 日 ， 中 国
9、共 产 党 第 十 九 次 全国 代 表 大 会 （ 简 称 党 的 “ 十 九 大 ” ） 在 北 京 召 开 一 段 时 间 后 ， 某 单 位 就 “ 十 九 大 ”精 神 的 领 会 程 度 随 机 抽 取 100 名 员 工 进 行 问 卷 调 查 ， 调 查 问 卷 共 有 20 个 问 题 ， 每 个问 题 5 分 ， 调 查 结 束 后 ， 发 现 这 100 名 员 工 的 成 绩 都 在 75， 100内 ， 按 成 绩 分 成 5组 ： 第 1 组 75， 80） ， 第 2 组 80， 85） ， 第 3 组 85， 90） ， 第 4 组 90， 95） ， 第 5
10、组 95，100， 绘 制 成 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 已 知 甲 、 乙 、 丙 分 别 在 第 3， 4， 5 组 ， 现在 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 第 3， 4， 5 组 共 选 取 6 人 对 “ 十 九 大 ” 精 神 作 深 入 学 习 （ 1） 求 这 100 人 的 平 均 得 分 （ 同 一 组 数 据 用 该 区 间 的 中 点 值 作 代 表 ） ；高 三 年 级 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第 4 页 共 5 页（ 2） 求 第 3， 4， 5 组 分 别 选 取 的 作 深 入 学 习 的 人 数 ；（ 3） 若 甲 、 乙
11、 、 丙 都 被 选 取 对 “ 十 九 大 ” 精 神 作 深入 学 习 ， 之 后 要 从 这 6 人 随 机 选 取 2 人 再 全 面 考 查他 们 对 “ 十 九 大 ” 精 神 的 领 会 程 度 ， 求 甲 、 乙 、 丙这 3 人 至 多 有 一 人 被 选 取 的 概 率 20 (本 小 题 满 分 12 分 )已 知 椭 圆 2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b 的 短 轴 的 一 个 顶 点 与 两 个 焦 点 构 成 正 三 角 形 ， 且 该三 角 形 的 面 积 为 3.（ 1） 求 椭 圆 C 的 方 程 ；（ 2） 设 F1、 F2是 椭 圆 C
12、的 左 右 焦 点 ， 若 椭 圆 C 的 一 个 内 接 平 行 四 边 形 的 一 组 对 边过 点 F1和 F2， 求 这 个 平 行 四 边 形 面 积 的 最 大 值 21 (本 小 题 满 分 12 分 )已 知 函 数 2ln 2 3f x x x ， 4 ln 0g x f x x a x a .（ 1） 求 函 数 f x 的 单 调 区 间 ；（ 2） 若 关 于 x的 方 程 g x a 有 实 数 根 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 请 考 生 在 第 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 。 注 意 ： 只 能 做 所 选 定 的 题 目 . 如 果
13、 多 做 ，则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分 .22 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 曲 线 C的 参 数 方 程 为 2cossinxy （ 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 的 正 半轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 2 sin 34 .高 三 年 级 数 学 （ 文 科 ） 试 题 第 5 页 共 5 页（ 1） 求 曲 线 C的 普 通 方 程 及 直 线 l的 直 角 坐 标 方 程 ；（ 2） 求 曲 线 C上 的 点 到 直 线 l的 距 离 的 最 大 值 .23
14、选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 2 1 1f x x x .（ 1） 解 不 等 式 3f x ；（ 2） 记 函 数 1g x f x x 的 值 域 为 M ， 若 t M ， 试 证 明 ： 2 2 3t t .一、选择题：（5分12=60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B A A D C D D B C B A B二、填空题（5分4=20分）13( 1 2，；14-4；1585；163 2 2+三、解答题（共70分）17（本小题满分12分）解：（1）因为2( ) sin(2 ) (2cos 1)6f x x xw w= - + - (
15、sin2 cos cos2 sin ) cos26 6x x xw w w= - + 4分3 1sin2 cos22 2x xw w= +sin(2 )6xw= +，6分所以( )f x的最小正周期22Tw= = ,解得1w =7分（2）由（1）得( ) sin(2 )6f x x= +因为712x0，所以 426 6 3x+9分所以，当 26 2x+ =，即6x =时，( )f x取得最大值为1；11分当 426 3x+ =，即712x =时，( )f x取得最小值为32-12分西安中学2018-2019学年度第一学期期中考试高三文科试题答案18（本小题满分12分）（1）解:法一：由(2 )
16、cos cosb c A a C- =及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cosB C A A C- = 3分2sin cos sin cos sin cosB A C A A C = +2sin cos sin( ) sinB A C A B = + =(0, )B pQ sin 0B (0, )A pQ1cos2A=3Ap = 6分法二：由(2 )cos cosb c A a C- =及余弦定理，得2 2 2 2 2 2(2 )2 2b c a b a cb c abc ba+ - + - = 3分整理，得：2 2 2b c a bc+ - =，所以2 2 21cos2 2
17、b c aAbc+ -= =(0, )A pQ3Ap =6分(2)解：由（1）得3Ap =，由正弦定理得32 3sin sin sin32b c aB C A= = = =:,所以2 3sin ; 2 3sinb B c C= =ABCD的周长3 2 3sinB 2 3sin(B )3lp= + + + 9分3 2 3sinB 2 3(sinBcos cosBsin )3 3p p= + + +3 3 3sinB 3cosB= + +3 6sin(B )6p= + +2(0, )3BpQ当3Bp=时，ABCD的周长取得最大值为912分19（本小题满分12分）解：（1）这100人的平均得分为：7
18、5 80 80 85 85 90 90 955 ( 0.01 0.07 0.062 2 2 2x+ + + += + + +95 1000.04 0.02) 87.252+ + = 3分（2）第3组的人数为0.065100=30，第4组的人数为0.045100=20，第5组的人数为0.025100=10，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，17分（3）记其他人为、丁、戊、己，则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、（丁、戊）、（丁、己）、（戊、己）共
19、15种情况，9分其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为12 415 5P = =12分20（本小题满分12分）(1)椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3，依题意a2b2c2，abc231，bc3，解得a2，b3，c1，椭圆C的方程为：x24y231. 4分(2)设过椭圆右焦点F2的直线l：xty1与椭圆交于A，B两点，则xty1，3x24y212，整理，得：(3t24)y26ty90，由韦达定理，得：y1y26t3t24，y1y293t24，6分|y1y2|（y1y2）24y1y2
20、144t21443t2412 t213t24，SOABSOF2ASOF2B12|OF2|y1y2|6 t213t24，椭圆C的内接平行四边形面积为S4SOAB24 t213t24，10分令m1t21，则Sf(m)243m1m，注意到Sf(m)在1， )上单调递减，Smaxf(1)6，当且仅当m1，即t0时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为6. 12分21（本小题满分12分）解：（1）依题意，得( )21 1 44xf x xx x- = - =( )( )1 2 1 2x xx+ -=，( )0,x + .2分令( ) 0f x ，即1 2 0x- .解得102x .故函数( )f x的单
21、调递增区间为10,2 ，单调递减区间为1,2 + . 5分（2）由题得，( ) ( ) 4 lng x f x x a x= + + =1lna xx+ .依题意，方程1ln 0a x ax+ - =有实数根，即函数( )1lnh x a x ax= + -存在零点.又( )2 21 1a axh xx x x- = - + =.令( ) 0h x =，得1xa= .当0a ，11111 1e 1aah a aae- = + - - 111 11 1 0eea-= - 时，( )h x，( )h x随x的变化情况如下表：所以1 1ln lnh a a a a aa a = + - = - 为函
22、数( )h x的极小值，也是最小值. 10分当10ha ，即0 1a，所以函数( )h x存在零点.综上所述，当( ) ),0 1,a - +U时，方程( )g x a=有实数根. 12分22（本小题满分10分）解：（1）由曲线C的参数方程2cossinxy=aa（a为参数），得曲线C的普通方程为2214xy+ = .由2 sin 34 + = pr q，得( )sin cos 3+ =r q q，即3x y+ = .直线l的普通方程为3 0x y+ - =. 5分（2）设曲线C上的一点为( )2cos ,sina a，则该点到直线l的距离2cos sin 32d+ -=a a( )5sin 32+ -=a j（其中tan 2=j）.当( )sin 1+ = -a j时max5 310 3 222d+= =.即曲线C上的点到直线l的距离的最大值为10 3 22+. 10分23（本小题满分10分）解：（1）依题意，得( )3 , 1,12 , 1 ,213 , .2x xf x x xx x- -= - - .( )( )3 1 0t t- + .22 3t t- . 10分
