1、24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时,1.理解切线长的概念，掌握切线长定理 2.学会运用切线长定理解有关问题 3通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结 合的思想,1、如何过O外一点P画出O的切线？,2、这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线.,3、如果P=50,求AOB的度数.,50,130,O,A,B,P,思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则OAP= 90,连接OP，可知A、B 除了在O上，还在怎样的圆上?,如何用圆规和直尺 作出这两条 切线呢？,.,尺规作图：过O外一点作O的切线,O,P,A
2、,B,O,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.,O,A,B,P,1,2,思考：已知O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?,请证明你所发现的结论.,PA = PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OPRtAOPRtBOP(HL) PA =
3、PB OPA=OPB,切线长定理,PA、PB分别切O于A、B，PA=PB,OP平分APB.,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,PA = PB,OPA=OPB,A,P,O,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点，PA = PB，OPA=OPB.PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.OP垂直平分AB.,A,P,O,.,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?
4、并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点，PA = PB ，OPA=OPB.PC=PC. PCA PCB ，AC=BC.,C,.,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.,探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于点C.,B,A,P,O,C,E,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB ABOP,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,D,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（
5、4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（3）写出图中所有的全等三角形,B,A,P,O,C,E,D,【例1】ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,【解析】,设AF=x(cm),则AE=x(cm),CD=CE=AC-AE=(13-x)cmBD=BF=AB-AF=(9-x)cm,由 BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14,解得 x=4, AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).,1.（口答）如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=
6、7cm， (1)求PCD的周长 (2)如果P=46,求COD的度数.,C, O,P,B,D,A,E,答案：14cm 67,【例2】如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边 的和相等,D,L,M,N,A,B,C,O,P,1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,4,2,x,x,【解析】设OA= xcm；,在RtOAP中，OA=xcm，OP=O
7、D+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2，,即 42+x2=(x+2)2,整理，得 x=3,所以，半径OA的长为3cm.,A,B,C,D,E,F,2.设ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F. 求AE、CD、BF的长.,.,I,【解析】设 AE=x，BF=y，CD=z,答： AE 、CD 、BF的长分别是9、2、6.,1（珠海中考）如图，PA、PB是 O的切线，切点分别是A、B，如果P60,那么AOB等于（ ）,A.60 B.90 C.120 D.150,D,2.（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为
8、1，那 么这个正三角形的边长为（ ） A2 B3 C D 【解析】选D.如图所示，连接OA、OB，则三角形AOB是直 角三角形，且OBA=90,OAB=30,又因为内切圆半径 为1，利用勾股定理求得AB= 那么这个正三角形的边长 为 .,3.已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求PEF的周长.,【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB., PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,切线的6个性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心； （6）切线长定理.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,
