1、2017-2018 学年新疆昌吉市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1 （4 分）已知集合 A=5，B=4，5，则 AB=（ ）A B4 C5 D4，52 （4 分）函数 f（x ）= 的定义域为（ ）A 2，2 B （1，2 C 2，0）（0，2 D （1，0）（0，23 （4 分）函数 f（x ）=x 3x1 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）4 （4 分）如图，网格纸上小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为（ ）A B2 C3 D45 （4 分）直线
2、 l 的斜率是 3，过点 A（1， 2） ，则直线 l 的方程是（ ）A3xy5=0 B3x+y5=0 C3xy+1=0 D3x+y 1=06 （4 分）在区间0，5内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为（ ）A B C D7 （4 分）按照程序框图（如图）执行，第 3 个输出的数是（ ）A3 B4 C5 D68 （4 分）在等比数列a n中，a 1=1，a 5=4，则 a3=（ ）A2 B2 C2 D9 （4 分）满足线性约束条件 ，的目标函数 z=x+y 的最大值是（ ）A1 B C2 D310 （4 分）要得到 y=sin（2x ）的图象，只需将 y=sin 2x 的图象（ ）A向左平
3、移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位11 （4 分）已知函数 f（ x）= sin2x+2cos2x，则函数 f（x ）最大值为（ ）A2 B2 C3 D2 +212 （4 分）设 f（x ）为奇函数，且在（ ，0）内是减函数，f （2 ）=0 ，则xf（ x）0 的解集为（ ）A （ 1，0）（2，+） B （ ，2）（0，2） C （ ，2）（2，+） D （2 ，0）（0，2二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 ff（ ）的值是 14 （5 分）已知向量 =（ 2，5） ，向量 =（1，y） ， ，则实数 y
4、 的值是 15 （5 分）某校有学生 2000 人，其中高三学生 500 人为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个 200 人的样本则样本中高三学生的人数为 16 （5 分）已知点 A（m ，n ）在直线 x+2y1=0 上，则 2m+4n 的最小值为 三、解答题（17、18、19、20 题每小题 10 分，21 题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d=1，前 n 项和为Sn，b n= （1）求数列b n的通项公式；（2）设数列b n前 n 项和为 Tn，求 Tn18 （10 分）在
5、ABC 中， A、B 、C 是三角形的三内角，a，b ，c 是三内角对应的三边，已知 b2+c2a2=bc（1）求角 A 的大小（2）若 sin2A+sin2B=sin2C，求角 B 的大小19 （10 分）已知曲线方程 C：x 2+y22x4y+m=0（1）当 m=6 时，求圆心和半径；（2）若曲线 C 表示的圆与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N，且|MN|= ，求 m的值20 （10 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面ABC，AC=3 ，BC=4，AB=5，点 D 是 AB 的中点（1）求证 ACBC 1（2）求证 AC1平面 CDB121 （12 分）如图，
6、在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD ，PC底面 ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E 是 PB 的中点（）求证：平面 EAC 平面 PBC；（）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值2017-2018 学年新疆昌吉市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1 （4 分）已知集合 A=5，B=4，5，则 AB=（ ）A B4 C5 D4，5【解答】解：A=5，B=4，5，AB=5，故选：C2 （4 分）函数 f（x ）= 的定义域为（ ）A 2，2 B （
7、1，2 C 2，0）（0，2 D （1，0）（0，2【解答】解：要使函数有意义，x 应满足 ，解得1x0 或 0x2，故函数的定义域为：（1，0）（0，2；故选：D3 （4 分）函数 f（x ）=x 3x1 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【解答】解：因为 f（1）=1+1 1=10，f（0）=10，f（1）=11 1=10，f（2）=82 1=50，f（3）=27 31=230 ，所以函数 f（x）=x 3x1 的零点所在区间是 1，2；故选：B4 （4 分）如图，网格纸上小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，
8、则这个空间几何体的体积为（ ）A B2 C3 D4【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是圆锥，底面圆的半径是 1，高为 3，体积为 =，故选：A5 （4 分）直线 l 的斜率是 3，过点 A（1， 2） ，则直线 l 的方程是（ ）A3xy5=0 B3x+y5=0 C3xy+1=0 D3x+y 1=0【解答】解：直线 l 的斜率是 3，过点 A（1 ， 2） ，由点斜式求得直线 l 的方程是 y+2=3（x1） ，化简可得 3xy5=0，故选 A6 （4 分）在区间0，5内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为（ ）A B C D【解答】解：要使此数大于 3，只要在区间（3，5上取即可，由
9、几何概型的个数得到此数大于 3 的概率为为 ；故选 B7 （4 分）按照程序框图（如图）执行，第 3 个输出的数是（ ）A3 B4 C5 D6【解答】解：第一次执行循环体时，输出 A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出 A=3，S=3，满足继续循环的条件，则 A=5，第三次执行循环体时，输出 A=5，故选：C8 （4 分）在等比数列a n中，a 1=1，a 5=4，则 a3=（ ）A2 B2 C2 D【解答】解：在等比数列中，由 a5=4 得 a5=q4=4，得 q2=2，则 a3=q2=2，故选：A，9 （4 分）满足线性约束条件 ，的目标函数 z=x+y 的
10、最大值是（ ）A1 B C2 D3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线 z=x+y 过点 B（1，1）时，z 最大值为 2故选 C10 （4 分）要得到 y=sin（2x ）的图象，只需将 y=sin 2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【解答】解：将 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位，可得 y=sin（2x ）的图象，故选：B11 （4 分）已知函数 f（ x）= sin2x+2cos2x，则函数 f（x ）最大值为（ ）A2 B2 C3 D2 +2【解答】解：函数 f（x） = sin2x+2cos2x= sin2x
11、+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，由正弦函数的值域可知：2sin（2x+ ）2，2sin（2x+ ）+13函数 f（ x）最大值为：3故选：C12 （4 分）设 f（x ）为奇函数，且在（ ，0）内是减函数，f （2 ）=0 ，则xf（ x）0 的解集为（ ）A （ 1，0）（2，+） B （ ，2）（0，2） C （ ，2）（2，+） D （2 ，0）（0，2【解答】解：f（x）为奇函数，且在（ ，0）内是减函数， f（2）=0，f（ 2）=f（2）=0 ，在（0，+）内是减函数x f（x ）0 则 或根据在（，0）内是减函数，在（ 0，+）内是减函数解得：x（ ，2）（2，+）故
12、选 C二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 ff（ ）的值是 【解答】解： ，故答案为：14 （5 分）已知向量 =（ 2，5） ，向量 =（1，y） ， ，则实数 y 的值是 【解答】解：根据题意，向量 =（2，5） ，向量 =（1，y ） ，若 ，则有 2y=5，即 y= ；故答案为： 15 （5 分）某校有学生 2000 人，其中高三学生 500 人为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个 200 人的样本则样本中高三学生的人数为 50 【解答】解：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为 2000：200=1
13、0：1，故 500 名高三学生应抽取的人数为 =50 人故答案为：5016 （5 分）已知点 A（m ，n ）在直线 x+2y1=0 上，则 2m+4n 的最小值为 2 【解答】解：点 A（m，n）在直线 x+2y1=0 上，可得 m+2n=1，则 2m+4n2=2 =2 ，当且仅当 m=2n= 时，等号成立，即有 2m+4n 的最小值为 2 故答案为：2 三、解答题（17、18、19、20 题每小题 10 分，21 题 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d=1，前 n 项和为Sn，b n= （1）求数列b n的通项公
14、式；（2）设数列b n前 n 项和为 Tn，求 Tn【解答】解：（1）由等差数列a n的首项 a1=1，公差 d=1，前 n 项和为 Sn=n+ = b n= = （2）b n=2 T n=2 =2 = 18 （10 分）在ABC 中， A、B 、C 是三角形的三内角，a，b ，c 是三内角对应的三边，已知 b2+c2a2=bc（1）求角 A 的大小（2）若 sin2A+sin2B=sin2C，求角 B 的大小【解答】解：（1）由余弦定理有：b 2+c2a2=2bccosA，（2 分）所以 2bccosA=bc，于是 cosA= ，（4 分）又因为 A（0，） ，所以 A= （7 分）（2）由
15、正弦定理有 a2+b2=c2，（9 分）于是ABC 为以角 C 为直角的直角三角形，（12 分）所以 B= = （14 分）19 （10 分）已知曲线方程 C：x 2+y22x4y+m=0（1）当 m=6 时，求圆心和半径；（2）若曲线 C 表示的圆与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N，且|MN|= ，求 m的值【解答】解：（1）当 m=6 时，方程 C：x 2+y22x4y+m=0，可化为（x1） 2+（y2） 2=11，圆心坐标为（1，2） ，半径为 ；（2）（x1） 2+（y2） 2=5m，圆心（1，2）到直线 l：x+2y 4=0 的距离 d= ，又圆（x1） 2+（y2） 2=
16、5m 的半径 r= ，|MN|= ，（ ） 2+（ ） 2=5m，解得：m=420 （10 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面ABC，AC=3 ，BC=4，AB=5，点 D 是 AB 的中点（1）求证 ACBC 1（2）求证 AC1平面 CDB1【解答】证明：（1）CC 1底面 ABCCC 1 AC（ 1 分）AC=3 BC=4 AB=5AC 2+BC2=AB2ACBC（2 分）AC平面 BCC1B1（3 分）ACBC 1（4 分）（2）设 BC1B 1C=E，连接 DEBCC 1B1 是矩形，E 是 BC1 的中点（5 分）又 D 是 AB 的中点，在 ABC 1 中，
17、DEAC 1（6 分）又 AC1平面 CDB1，DE 平面 CDB1AC 1平面 CDB1（8 分）21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD ，PC底面 ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E 是 PB 的中点（）求证：平面 EAC 平面 PBC；（）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值【解答】解：（）PC 平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=2 AC 2+BC2=AB2，ACBC又 BC PC=C，AC 平面 PBCAC平面 EAC，平
18、面 EAC 平面 PBC （5 分）（）如图，以点 C 为原点， ， ， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，A （2，2，0） ，B （2，2，0） 设 P（ 0，0，2a） （a0） ，则 E（1，1，a） ， =（2，2，0） ， =（0，0，2a ） ，=（1，1，a） 取 =（ 1，1，0） ，则 = =0， 为面 PAC 的法向量设 =（ x，y，z）为面 EAC 的法向量，则 = =0，即 ，取 x=a，y=a，z= 2，则 =（a，a，2） ，依题意，|cos ， |= = = ，则 a=2 （10 分）于是 n=（2，2，2） ， =（2，2，4） 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin=|cos ， |= = ，即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 （13 分）
