1、2017-2018 学年青海省西宁高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是（ ）Ax=2 By=2 Cx= 2 Dy=22 （5 分）若过点 A（2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y1=0 垂直，则 m的值为（ ）A2 B0 C10 D 83 （5 分）焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 的双曲线标准方程是（ ）A BC D4 （5 分） “x 0”是“x0”的（ ）A充分而不必要 B充分必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也
2、不必要条件5 （5 分）若两条平行线 L1：x y+1=0，与 L2：3x+ayc=0 （c 0）之间的距离为，则 等于（ ）A 2 B6 C.2 D06 （5 分）一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位 cm） ，则该几何体的表面积为（ ）A4 （9 +2 ） cm2 B cm2 C cm2 D cm27 （5 分）命题：“若 a2+b2=0（a，b R） ，则 a=b=0”的逆否命题是（ ）A若 ab 0（a ，b R） ，则 a2+b20B若 a=b0（a，bR） ，则 a2+b20C若 a0 且 b0（a，bR ） ，则 a2+b20D若 a0 或 b
3、0（a， bR） ，则 a2+b208 （5 分）已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A （p）q Bpq C （p ）（q） D （p）（q ）9 （5 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D10 （5 分）已知 m，n，是直线， 是平面，给出下列命题：若 ，=m，nm ，则 n 或 n若 ，=m ， =n，则 mn若 m，n ，m，n ，则 若 =m ，nm 且 n，n ，则 n 且 n其中正确的命题是（ ）A
4、 B C D11 （5 分）由直线 y=x+1 上的一点向圆（x3） 2+y2=1 引切线，则切线长的最小值为（ ）A1 B2 C D312 （5 分）已知圆 C：（x+3） 2+y2=100 和点 B（3，0） ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交 CP 于 M 点，则 M 点的轨迹方程是（ ）Ay 2=6x BC Dx 2+y2=25二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知命题 p：xR ，x 2+2x=3，则p 是 14 （5 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴长在 y 轴上，离心率为 ，且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是
5、 12，则椭圆的方程是 15 （5 分）如图 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，则 AB1 与平面 D1B1BD 所成角= 16 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上，且 ，o 是坐标原点，则|OA|= 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10 分）若双曲线的焦点在 y 轴，实轴长为 6，渐近线方程为 y= x，求双曲线的标准方程18 （12 分）已知圆 C：（x1） 2+y2=9 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线
6、l 的方程； （写一般式）（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长19 （12 分）如图五面体中，四边形 CBB1C1 为矩形，B 1C1平面 ABB1N，四边形 ABB1N 为梯形，且 ABBB 1，BC=AB=AN= =4（1）求证：BN平面 C1B1N； （2）求此五面体的体积20 （12 分）已知关于 x，y 的方程 C：x 2+y22x4y+m=0（1）若方程 C 表示圆，求实数 m 的取值范围；（2）若圆 C 与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且 |MN|= ，求 m 的值21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平
7、面 ABCD，E为 PD 的中点（1）证明：PB平面 AEC（2）已知 AP=1，AD= ，AB= ，求二面角 DAEC 的余弦值22 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F1，F 2，且|F 1F2|=2，点（ 1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 AF 2B 的面积为 ，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程2017-2018 学年青海省西宁高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选择中，
8、只有一个是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=8x 的准线方程是（ ）Ax=2 By=2 Cx= 2 Dy=2【解答】解：抛物线 y2=8x 的准线方程是 x= =2，故选：C2 （5 分）若过点 A（2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y1=0 垂直，则 m的值为（ ）A2 B0 C10 D 8【解答】解：A（2，m） ，B（m ，4 ） ， ，直线 2x+y1=0 的斜率为2 ，由过点 A（2，m）和 B（ m，4 ）的直线与直线 2x+y1=0 垂直，得，解得：m=2 故选：A3 （5 分）焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 的双曲线标准方程是（ ）A BC D【
9、解答】解：根据题意可知 2b=12，解得 b=6 又因为离心率 e= = 根据双曲线的性质可得 a2=c2b2 由得，a 2=64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选 D4 （5 分） “x 0”是“x0”的（ ）A充分而不必要 B充分必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：当 x=1 时，满足 x0，但 x0 不成立，即充分性不成立，若 x0，则 x0 一定成立，即必要性成立，故“x0”是“x0” 的必要不充分条件，故选：C5 （5 分）若两条平行线 L1：x y+1=0，与 L2：3x+ayc=0 （c 0）之间的距离为，则 等于（ ）A 2 B6 C.2 D0【
10、解答】解：由 两条平行线 L1：xy+1=0 ，与 L2：3x +ayc=0 （c 0）之间的距离为 ，可得 ，a=3，c3，直线 L1 的方程即：3x3y+3=0 ，由 = ，解得 c=3，或 c=9 （舍去） ， = =2，故选 A6 （5 分）一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位 cm） ，则该几何体的表面积为（ ）A4 （9 +2 ） cm2 B cm2 C cm2 D cm2【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的高是 2，底面是高为 2 的正三角形，所以底面的边长是 2 =4，两个底面的面积是 2 42 =8侧面积是 243=24，几何
11、体的表面积是 24+8 （cm 2） ，故选 B7 （5 分）命题：“若 a2+b2=0（a，b R） ，则 a=b=0”的逆否命题是（ ）A若 ab 0（a ，b R） ，则 a2+b20B若 a=b0（a，bR） ，则 a2+b20C若 a0 且 b0（a，bR ） ，则 a2+b20D若 a0 或 b0（a， bR） ，则 a2+b20【解答】解：“ 且” 的否定为 “或”，因此其逆否命题为 “若 a0 或 b0，则a2+b2 0”；故选 D8 （5 分）已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A （p）q Bpq C （p ）（q）
12、 D （p）（q ）【解答】解：不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而p 为假命题，q 为真命题，所以 A、B、C 均为假命题，故选 D9 （5 分）设椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为（ ）A B C D【解答】解：设|PF 2|=x，PF 2 F1F2，PF 1F2=30，|PF 1|=2x，|F 1F2|= x，又|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c2a=3x，2c= x，C 的离心率为：e= = 故选 A10 （5 分）已知 m，n，是直线， 是平面，给出
13、下列命题：若 ，=m，nm ，则 n 或 n若 ，=m ， =n，则 mn若 m，n ，m，n ，则 若 =m ，nm 且 n，n ，则 n 且 n其中正确的命题是（ ）A B C D【解答】解：若 ，=m，nm ，则 n 和 和 两个平面之间有相交，在面上故不正确，若 ， =m ，=n，则 mn这是两个平面平行的性质定理，故正确若 m，n ，m，n，则 ，缺少两条直线相交的条件，故不正确，若 =m ，nm 且 n，n ，则 n 且 n，正确，故选 B11 （5 分）由直线 y=x+1 上的一点向圆（x3） 2+y2=1 引切线，则切线长的最小值为（ ）A1 B2 C D3【解答】解：切线长的
14、最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为 d= ，圆的半径为 1，故切线长的最小值为 ，故选 C12 （5 分）已知圆 C：（x+3） 2+y2=100 和点 B（3，0） ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交 CP 于 M 点，则 M 点的轨迹方程是（ ）Ay 2=6x BC Dx 2+y2=25【解答】解：由圆的方程可知，圆心 C（ 3，0） ，半径等于 10，设点 M 的坐标为（x，y ） ，BP 的垂直平分线交 CQ 于点 M，|MB |=|MP| 又|MP|+|MC|= 半径 10，|MC |+|MB|=10|BC|依据椭圆的定义可得
15、，点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2a=10，c=3，b=4，故椭圆方程为 ，故选 B二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知命题 p：xR ，x 2+2x=3，则p 是 xR，x 2+2x3 【解答】解：命题 p： xR，x 2+2x=3 是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，得p：x R，x 2+2x3故答案为：xR ，x 2+2x314 （5 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴长在 y 轴上，离心率为 ，且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是 12，则椭圆的方程是 【解答】解：设椭圆 C 的标准方程为 ，由题意离心
16、率为 ，可得：，且 C 上一点到 C 的两个焦点的距离之和是 12，可得 2a=12，解得 a=6，c=3 ，则b=3所以椭圆 C 的标准方程 故答案为： 15 （5 分）如图 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，则 AB1 与平面 D1B1BD 所成角= 【解答】解：连接 A1C1，交 B1D1 于 O，由正方体的几何特征易得，A 1O平面 D1B1BD连接 BO，则A 1BO 即为 AB1 与平面 D1B1BD 所成角又ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，A 1B= a，BO= ，A 10=则 cosA 1BO= =A 1BO=故答案为： 16 （5 分）已知
17、抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上，且 ，o 是坐标原点，则|OA|= 【解答】解：设 A 到准线的距离等于 AM，由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，由 可得AMK 为等腰直角三角形 设点 A （ ，s ） ，准线方程为 x=2，|AM|=|MK|， +2=|s|，s=4，A （2，4 ） ，|AO|= =2 ，故答案为：2 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10 分）若双曲线的焦点在 y 轴，实轴长为 6，渐近线方程为 y= x，求双曲线的标准方程【解答】解：由题意双曲线的焦点在 y 轴，实轴长为 6，渐近线方程为
18、y= x，2a=6，a=3，可得 b=2；双曲线的标准方程为： 18 （12 分）已知圆 C：（x1） 2+y2=9 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （写一般式）（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长【解答】解：（1）圆 C：（ x1） 2+y2=9 的圆心为 C（1，0） ，因直线过点 P、C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y=2（x1） ，即 2xy2=0（2）当直线 l 的倾斜角为 45时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y2=x2，即 xy=0圆心 C 到直
19、线 l 的距离为 ，圆的半径为 3，弦 AB 的长为 19 （12 分）如图五面体中，四边形 CBB1C1 为矩形，B 1C1平面 ABB1N，四边形 ABB1N 为梯形，且 ABBB 1，BC=AB=AN= =4（1）求证：BN平面 C1B1N； （2）求此五面体的体积【解答】解：（1）证明：连 NC，过 N 作 NMBB 1，垂足为 M，B 1C1平面 ABB1N，BN 平面 ABB1N，B 1C1BN，（2 分）又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA AN， ， = ， ，BN B1N，（4 分）B 1C1平面 B1C1N，B 1N平面 B1C1N，B 1NB 1C1=B1BN 平
20、面 C1B1N（6 分）（2）连接 CN， ，（8 分）又 B1C1平面 ABB1N，所以平面 CBB1C1平面 ABB1N，且平面CBB1C1ABB 1N=BB1，NMBB 1，NM平面 B1C1CB，NM平面 B1C1CB，（9 分）（11 分）此几何体的体积 （12 分）20 （12 分）已知关于 x，y 的方程 C：x 2+y22x4y+m=0（1）若方程 C 表示圆，求实数 m 的取值范围；（2）若圆 C 与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且 |MN|= ，求 m 的值【解答】解：（1）若方程 C：x 2+y22x4y+m=0 表示圆，则 4+164m0，解得 m5（
21、2）圆心（1，2）到直线 x+2y4=0 的距离 d= ，圆的半径 r= =1， =1，解得 m=421 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E为 PD 的中点（1）证明：PB平面 AEC（2）已知 AP=1，AD= ，AB= ，求二面角 DAEC 的余弦值【解答】证明：（1）连结 AC、BD，交于点 O，连结 OE，底面 ABCD 为矩形，O 是 BD 中点，E 为 PD 的中点，OEPB，PB 平面 ACE，OE 平面 ACE，PB 平面 AEC解：（2）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E 为 PD的
22、中点，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，AP=1，AD= ，AB= ，A（0，0 ， 0） ，C （ ， ，0） ，D（0， ，0） ，P （0，0，1） ，E（0， ， ） ，=（0， ） ， =（ ，0） ，平面 ADE 的法向量 =（1，0，0） ，设平面 ACE 的法向量 =（ x，y，z ） ，则 ，取 y= ，得 =（ ， ） ，设二面角 DAEC 的平面角为 ，则 cos= = = ，二面角 DAEC 的余弦值为 22 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F1，F 2，且|F 1F2|=2
23、，点（ 1， ）在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 AF 2B 的面积为 ，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程【解答】解：（）设椭圆的方程为 ，由题意可得：椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1（ 1，0） ，F 2（1，0） a=2，又 c=1，b 2=41=3，故椭圆的方程为 （）当直线 lx 轴，计算得到：， ，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为：y=k（x +1） ，由 ，消去 y 得（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212=0显然0 成立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，又即 ，又圆 F2 的半径 ，所以 ，化简，得 17k4+k218=0，即（k 21） （17k 2+18）=0，解得 k=1所以， ，故圆 F2 的方程为：（x1） 2+y2=2
