2017-2018学年吉林省辽源市等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)含答案解析

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1、2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1 (5 分)若 pVq 是假命题,则( )Ap ,q 至少有一个是假命题 Bp ,q 均为假命题C p,q 中恰有一个是假命题 Dp ,q 至少有一个是真命题2 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是( )Ay= By=2x Cy= xDy= x3 (5 分)已知命题 :如果 x3,那么 x5,命题 :如果 x3,那么x5,则命题 是命题 的( )A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式4 (5 分)已知抛物线方程为 y2=5x 则焦点到准线的距离为(

2、 )A B C5 D105 (5 分)设集合 M=x|0x4 ,N=x|2x 3 ,那么“aM”是“a N”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 (5 分)若 f(x )=x 5,f(x 0)=20 ,则 x0 的值为( )A B C2 D27 (5 分)下列求导运算正确的是( )A (cosx)=sinx B ( 3x)=3 xlog3eC D (x 2cosx)= 2xsinx8 (5 分)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)两点,若 x1+x2=6,则|AB |=( )A2 B4 C6

3、 D89 (5 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=( )A8 B9 C3 D1610 (5 分)设函数 f(x ) =x2+x,则 =( )A 6 B3 C3 D611 (5 分)抛物线 y=2x2 上有一点 P,它到 A(2,10)距离与它到焦点距离之和最小时,点 P 坐标是( )A ( ,10) B ( , 20) C (2,8) D (1,2)12 (5 分)已知 F 是椭圆 =1(ab0)的左焦点, A 为右顶点,P 是椭圆上的一点,PFx 轴,若|PF|= |AF|,则该椭圆的离心率是( )A B C D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共

4、 20 分)13 (5 分)命题“x 0R,x 02+2x00”的否定是 14 (5 分)已知 F1,F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于M,N 两点,则MF 2N 的周长为 15 (5 分)曲线 y=lnx 在点(e,f(e ) )处的切线方程为 16 (5 分)已知命题 p:“ x1,2,3x 2a0”,命题q:“x R,x 2+2ax+2a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知双曲线方程为 16y29x2=144(1)求该双曲

5、线的实轴长、虚轴长、离心率;(2)若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心,而焦点是其下顶点,求抛物线 C 的方程18 (12 分)已知函数 f( x)=x 33x29x+1(xR ) , g(x )=2a 1(1)求函数 f(x)的单调区间与极值(2)若 f(x)g (x )对 x2,4恒成立,求实数 a 的取值范围19 (12 分)已知椭圆 C: =1(a0,b 0)的离心率为 ,短轴长为4(1)求椭圆的标准方程;(2)已知过点 P(2,1)作弦且弦被 P 平分,则此弦所在的直线方程20 (12 分)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系

6、,曲线 C 的极坐标方程为=2 cos( ) (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB |21 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C: 2= ,0,直线l: (t 是参数)(1)求出曲线 C 的参数方程,及直线 l 的普通方程;(2)P 为曲线 C 上任意一点,Q 为直线 l 上任意一点,求 |PQ|的取值范围22 (12 分)已知函数 f( x)=lnx ,a 为常数(1)判断 f(x)在定义域内的单调性(2)若 f(x)在1,e上的最小值为 ,求 a

7、 的值2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1 (5 分)若 pVq 是假命题,则( )Ap ,q 至少有一个是假命题 Bp ,q 均为假命题C p,q 中恰有一个是假命题 Dp ,q 至少有一个是真命题【解答】解:若 pq 是假命题,则 p,q 均为假命题,故选:B2 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是( )Ay= By=2x Cy= xDy= x【解答】解:根据题意,双曲线的方程为 =1,其焦点在 y 轴上,且 a=2,b=2 ,则该双曲线的渐近线方程为 y= x;故

8、选:D3 (5 分)已知命题 :如果 x3,那么 x5,命题 :如果 x3,那么x5,则命题 是命题 的( )A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式【解答】解:命题 :如果 x3,那么 x5,命题 :如果 x3,那么 x5,则命题 是命题 的否命题故选:A4 (5 分)已知抛物线方程为 y2=5x 则焦点到准线的距离为( )A B C5 D10【解答】解:根据题意,抛物线方程为 y2=5x,则抛物线的焦点为( ,0) ,准线为 x= ,所以焦点到准线的距离为 ;故选:B5 (5 分)设集合 M=x|0x4 ,N=x|2x 3 ,那么“aM”是“a N”的( )A充分而不必要条件 B必要而不

9、充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:设集合 M=x|0x4,N=x|2x3,则 NM,所以若“aM”推不出“a N”;若“a N”,则“aM”,所以“aM”是“a N”的必要而不充分条件,故选:B6 (5 分)若 f(x )=x 5,f(x 0)=20 ,则 x0 的值为( )A B C2 D2【解答】解:函数的导数 f(x )=5x 4,f(x 0)=20,5x 04=20,得 x04=4,则 x0= ,故选:B7 (5 分)下列求导运算正确的是( )A (cosx)=sinx B ( 3x)=3 xlog3eC D (x 2cosx)= 2xsinx【解答】解:(co

10、sx)= sinx,A 不正确;(3 x)=3 xln3,B 不正确(lgx)= ,C 正确;(x 2cosx)=2xcosxx 2sinx,D 不正确故选:C8 (5 分)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)两点,若 x1+x2=6,则|AB |=( )A2 B4 C6 D8【解答】解:由题意,抛物线的方程为 y2=4x,即 p=2,故抛物线的准线方程是 x=1,抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点|AB|=x 1+x2+2,又 x1+x2=6|AB|=x 1+x2+2=8故选:D9 (

11、5 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=( )A8 B9 C3 D16【解答】解:根据题意,椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,则有 m6,则 a= ,b= ,则 c= ,又由椭圆的离心率 e= = ,即有 = ,解可得 m=8;故选:A10 (5 分)设函数 f(x ) =x2+x,则 =( )A 6 B3 C3 D6【解答】解:根据导数的定义:则 =2=2f(1 ) ,由 f(x)=2x+1,2f(1)=6, =6,故选 A11 (5 分)抛物线 y=2x2 上有一点 P,它到 A(2,10)距离与它到焦点距离之和最小时,点 P 坐标是( )A ( ,10) B

12、 ( , 20) C (2,8) D (1,2)【解答】 解:由题意知,抛物线的抛物线 y=2x2 标准方程:x 2= y 焦点为F(0, ) ,准线 l 为 y= ,且点 A 在抛物线内部,过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 A,根据抛物线的定义,可知,垂线 AA与抛物线的交点即为所求的点 P,且易求得,点 P 的坐标为(2,8) ,故选 C12 (5 分)已知 F 是椭圆 =1(ab0)的左焦点, A 为右顶点,P 是椭圆上的一点,PFx 轴,若|PF|= |AF|,则该椭圆的离心率是( )A B C D【解答】解:根据椭圆几何性质可知|PF|= ,|AF|=a+c,所以 = ( a+c

13、) ,即 4b2=3a23ac,因为 b2=a2c2,所以有 4a24c2=3a23ac,整理可得 4c2+3aca2=0,两边同除以 a2 得:4e 2+3e1=0,所以(4e1 ) (e+1 )=0 ,由于 0e1,所以 e= 故选:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)命题“x 0R,x 02+2x00”的否定是 x R,x 2+2x0 【解答】解:依题意,特称命题的否定是全称命题,故命题“x0R,x 02+2x00”的否定是:x R,x 2+2x0故答案为:xR ,x 2+2x014 (5 分)已知 F1,F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点,

14、过 F1 的直线 l 交椭圆于M,N 两点,则MF 2N 的周长为 8 【解答】解:根据题意,椭圆 + =1 中 a= =2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,则有|MF 1|+|MF2|=2a=4,同理:|NF 1|+|NF2|=2a=4,MF 2N 的周长 l=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8;故答案为:815 (5 分)曲线 y=lnx 在点(e,f(e ) )处的切线方程为 xey=0 【解答】解:y=lnx 的导数为 y= ,则切线斜率 k= ,切点为(e,1) ,则切线的方程为 y1= (x e) ,即为 xey

15、=0故答案为:xey=016 (5 分)已知命题 p:“ x1,2,3x 2a0”,命题q:“x R,x 2+2ax+2a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 a 2 或 1a3 【解答】解:p:若x 1,2,3x 2a0,得 a3x 2,恒成立,y=3x 2 在 x1,2递增,最小值为 3,所以 a3 q:若:“x R,x 2+2ax+2a=0,则=4a 24(2a)0,a 2+a20,得 a2 或 a1若命题“p 且 q”是真命题,则 p、q 都为真a 2 或 1 a3故答案为:a2 或 1a3三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过

16、程或演算步骤)17 (10 分)已知双曲线方程为 16y29x2=144(1)求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率;(2)若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心,而焦点是其下顶点,求抛物线 C 的方程【解答】解:(1)由 16y29x2=144,得 =1,知 2a=6,2b=8,2c=10,所以实轴长为 6,虚轴长为 8,离心率为 e= = ;(2)设抛物线 C:x 2=2py, (p0) ,由题意可得 p=2a=6,所以抛物线 C:x 2=12y18 (12 分)已知函数 f( x)=x 33x29x+1(xR ) , g(x )=2a 1(1)求函数 f(x)的单调区间与极值(2)若 f(x)

17、g (x )对 x2,4恒成立,求实数 a 的取值范围【解答】解:(1)f(x)=3x 26x9,令 f(x)0,解得:x 1 或 x3,令 f(x)0,解得:1x 3,故函数 f(x )的单调增区间为( ,1) , (3,+) ,单调减区间为1,3;故 f(x)的极大值为 f(1)=6 ,极小值 f(3)=26 ;(2)由(1)知 f(x )在 2,1上单调递增,在1,3上单调递减,在3,4上单调递增,又 f(2)=1,f (3)= 26,f(3)f(2) ,f( x) min=26,f( x)2a +10 对x 2,4恒成立,f( x) min2a1 ,即 2a126,a 19 (12 分

18、)已知椭圆 C: =1(a0,b 0)的离心率为 ,短轴长为4(1)求椭圆的标准方程;(2)已知过点 P(2,1)作弦且弦被 P 平分,则此弦所在的直线方程【解答】解:(1)e= = ,2b=4 ,所以 a=4,b=2,c=2 ,椭圆标准方程为 + ,(2)设以点 p(2,1)为中点的弦与椭圆交于 A( x1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 x1+x2=4,则 y1+y2=2,分别代入椭圆的方程,两式相减可得(x 1+x2) (x 1x2)+4(y 1+y2) (y 1y2)=0,4(x 1x2)+8(y 1y2)=0,k= = ,点 P(2 ,1)为中点的弦所在直线方程为 y1= (

19、x 2) ,整理,得:x+2y4=020 (12 分)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2 cos( ) (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB |【解答】解:(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去 t 得到: ,即:4x+3y2=0曲线 C 的极坐标方程为 =2 cos( ) 转化为: 2=2cos+2sin,整理得:x 2+y22x2y=0(2)将 l 的参数方程 (t 为参数) ,代入曲线 C:x 2+y22x2

20、y=0,整理得:t 2+4t+3=0,所以:t 1+t2=4,t 1t2=3,则:|AB|=|t 1t2|= =221 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C: 2= ,0,直线l: (t 是参数)(1)求出曲线 C 的参数方程,及直线 l 的普通方程;(2)P 为曲线 C 上任意一点,Q 为直线 l 上任意一点,求 |PQ|的取值范围【解答】解:(1)根据题意,曲线 C: 2= ,则有 2+32sin2=4,曲线 C 的普通方程为:曲线 C 的参数方程 ( 为参数, 0,)直线 l: ,则其普通方程为:(2)设 P(2cos,

21、sin )P 到直线 l 的距离为 0, , 22 (12 分)已知函数 f( x)=lnx ,a 为常数(1)判断 f(x)在定义域内的单调性(2)若 f(x)在1,e上的最小值为 ,求 a 的值【解答】解:(1)由题意得 f(x )的定义域为( 0,+) ,f(x )= + = ,当 a0 时,f(x)0,故 f(x)在上为增函数;当 a0 时,由 f(x)=0 得 x=a;由 f(x)0 得 xa;由 f(x)0 得xa;f( x)在(0,a上为减函数;在(a,+)上为增函数所以,当 a0 时,f (x )在(0,+)上是增函数;当 a0 时,f (x )在(0, a上是减函数,在(a ,+)上是增函数(2)由(1) ,当 a0 时,f(x )在1,e 上单调递增,f( x) min=f(1)=a= ,a= ,不舍题意,舍;当e a 0 时,f (x)在1, a上单调递减,在a,e上单调递增,f( x) min=f(a)=ln (a)+1= ,解得 a= ;当 ae 时,f (x )在1 ,e 上单调递增,f( x) min=f(1)=a= ,解得 a= ,不合题意,舍;综上所述,a=

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