1、2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）若 pVq 是假命题，则（ ）Ap ，q 至少有一个是假命题 Bp ，q 均为假命题C p，q 中恰有一个是假命题 Dp ，q 至少有一个是真命题2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= By=2x Cy= xDy= x3 （5 分）已知命题 ：如果 x3，那么 x5，命题 ：如果 x3，那么x5，则命题 是命题 的（ ）A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式4 （5 分）已知抛物线方程为 y2=5x 则焦点到准线的距离为（
2、 ）A B C5 D105 （5 分）设集合 M=x|0x4 ，N=x|2x 3 ，那么“aM”是“a N”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）若 f（x ）=x 5，f（x 0）=20 ，则 x0 的值为（ ）A B C2 D27 （5 分）下列求导运算正确的是（ ）A （cosx）=sinx B （ 3x）=3 xlog3eC D （x 2cosx）= 2xsinx8 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若 x1+x2=6，则|AB |=（ ）A2 B4 C6
3、 D89 （5 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ，则 m=（ ）A8 B9 C3 D1610 （5 分）设函数 f（x ） =x2+x，则 =（ ）A 6 B3 C3 D611 （5 分）抛物线 y=2x2 上有一点 P，它到 A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点 P 坐标是（ ）A （ ，10） B （ ， 20） C （2，8） D （1，2）12 （5 分）已知 F 是椭圆 =1（ab0）的左焦点， A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PFx 轴，若|PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
4、 20 分）13 （5 分）命题“x 0R，x 02+2x00”的否定是 14 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的直线 l 交椭圆于M，N 两点，则MF 2N 的周长为 15 （5 分）曲线 y=lnx 在点（e，f（e ） ）处的切线方程为 16 （5 分）已知命题 p：“ x1，2，3x 2a0”，命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知双曲线方程为 16y29x2=144（1）求该双曲
5、线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线 C 的方程18 （12 分）已知函数 f（ x）=x 33x29x+1（xR ） ， g（x ）=2a 1（1）求函数 f（x）的单调区间与极值（2）若 f（x）g （x ）对 x2，4恒成立，求实数 a 的取值范围19 （12 分）已知椭圆 C： =1（a0，b 0）的离心率为 ，短轴长为4（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点 P（2，1）作弦且弦被 P 平分，则此弦所在的直线方程20 （12 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系
6、，曲线 C 的极坐标方程为=2 cos（ ） （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB |21 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： 2= ，0，直线l： （t 是参数）（1）求出曲线 C 的参数方程，及直线 l 的普通方程；（2）P 为曲线 C 上任意一点，Q 为直线 l 上任意一点，求 |PQ|的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx ，a 为常数（1）判断 f（x）在定义域内的单调性（2）若 f（x）在1，e上的最小值为 ，求 a
7、 的值2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）若 pVq 是假命题，则（ ）Ap ，q 至少有一个是假命题 Bp ，q 均为假命题C p，q 中恰有一个是假命题 Dp ，q 至少有一个是真命题【解答】解：若 pq 是假命题，则 p，q 均为假命题，故选：B2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= By=2x Cy= xDy= x【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 =1，其焦点在 y 轴上，且 a=2，b=2 ，则该双曲线的渐近线方程为 y= x；故
8、选：D3 （5 分）已知命题 ：如果 x3，那么 x5，命题 ：如果 x3，那么x5，则命题 是命题 的（ ）A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式【解答】解：命题 ：如果 x3，那么 x5，命题 ：如果 x3，那么 x5，则命题 是命题 的否命题故选：A4 （5 分）已知抛物线方程为 y2=5x 则焦点到准线的距离为（ ）A B C5 D10【解答】解：根据题意，抛物线方程为 y2=5x，则抛物线的焦点为（ ，0） ，准线为 x= ，所以焦点到准线的距离为 ；故选：B5 （5 分）设集合 M=x|0x4 ，N=x|2x 3 ，那么“aM”是“a N”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不
9、充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：设集合 M=x|0x4，N=x|2x3，则 NM，所以若“aM”推不出“a N”；若“a N”，则“aM”，所以“aM”是“a N”的必要而不充分条件，故选：B6 （5 分）若 f（x ）=x 5，f（x 0）=20 ，则 x0 的值为（ ）A B C2 D2【解答】解：函数的导数 f（x ）=5x 4，f（x 0）=20，5x 04=20，得 x04=4，则 x0= ，故选：B7 （5 分）下列求导运算正确的是（ ）A （cosx）=sinx B （ 3x）=3 xlog3eC D （x 2cosx）= 2xsinx【解答】解：（co
10、sx）= sinx，A 不正确；（3 x）=3 xln3，B 不正确（lgx）= ，C 正确；（x 2cosx）=2xcosxx 2sinx，D 不正确故选：C8 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若 x1+x2=6，则|AB |=（ ）A2 B4 C6 D8【解答】解：由题意，抛物线的方程为 y2=4x，即 p=2，故抛物线的准线方程是 x=1，抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2）两点|AB|=x 1+x2+2，又 x1+x2=6|AB|=x 1+x2+2=8故选：D9 （
11、5 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ，则 m=（ ）A8 B9 C3 D16【解答】解：根据题意，椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上，则有 m6，则 a= ，b= ，则 c= ，又由椭圆的离心率 e= = ，即有 = ，解可得 m=8；故选：A10 （5 分）设函数 f（x ） =x2+x，则 =（ ）A 6 B3 C3 D6【解答】解：根据导数的定义：则 =2=2f（1 ） ，由 f（x）=2x+1，2f（1）=6， =6，故选 A11 （5 分）抛物线 y=2x2 上有一点 P，它到 A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点 P 坐标是（ ）A （ ，10） B
12、 （ ， 20） C （2，8） D （1，2）【解答】 解：由题意知，抛物线的抛物线 y=2x2 标准方程：x 2= y 焦点为F（0， ） ，准线 l 为 y= ，且点 A 在抛物线内部，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 A，根据抛物线的定义，可知，垂线 AA与抛物线的交点即为所求的点 P，且易求得，点 P 的坐标为（2，8） ，故选 C12 （5 分）已知 F 是椭圆 =1（ab0）的左焦点， A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PFx 轴，若|PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|= ，|AF|=a+c，所以 = （ a+c
13、） ，即 4b2=3a23ac，因为 b2=a2c2，所以有 4a24c2=3a23ac，整理可得 4c2+3aca2=0，两边同除以 a2 得：4e 2+3e1=0，所以（4e1 ） （e+1 ）=0 ，由于 0e1，所以 e= 故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）命题“x 0R，x 02+2x00”的否定是 x R，x 2+2x0 【解答】解：依题意，特称命题的否定是全称命题，故命题“x0R，x 02+2x00”的否定是：x R，x 2+2x0故答案为：xR ，x 2+2x014 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，
14、过 F1 的直线 l 交椭圆于M，N 两点，则MF 2N 的周长为 8 【解答】解：根据题意，椭圆 + =1 中 a= =2，过 F1 的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，则有|MF 1|+|MF2|=2a=4，同理：|NF 1|+|NF2|=2a=4，MF 2N 的周长 l=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8；故答案为：815 （5 分）曲线 y=lnx 在点（e，f（e ） ）处的切线方程为 xey=0 【解答】解：y=lnx 的导数为 y= ，则切线斜率 k= ，切点为（e，1） ，则切线的方程为 y1= （x e） ，即为 xey
15、=0故答案为：xey=016 （5 分）已知命题 p：“ x1，2，3x 2a0”，命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是 a 2 或 1a3 【解答】解：p：若x 1，2，3x 2a0，得 a3x 2，恒成立，y=3x 2 在 x1，2递增，最小值为 3，所以 a3 q：若：“x R，x 2+2ax+2a=0，则=4a 24（2a）0，a 2+a20，得 a2 或 a1若命题“p 且 q”是真命题，则 p、q 都为真a 2 或 1 a3故答案为：a2 或 1a3三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过
16、程或演算步骤）17 （10 分）已知双曲线方程为 16y29x2=144（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线 C 的方程【解答】解：（1）由 16y29x2=144，得 =1，知 2a=6，2b=8，2c=10，所以实轴长为 6，虚轴长为 8，离心率为 e= = ；（2）设抛物线 C：x 2=2py， （p0） ，由题意可得 p=2a=6，所以抛物线 C：x 2=12y18 （12 分）已知函数 f（ x）=x 33x29x+1（xR ） ， g（x ）=2a 1（1）求函数 f（x）的单调区间与极值（2）若 f（x）
17、g （x ）对 x2，4恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=3x 26x9，令 f（x）0，解得：x 1 或 x3，令 f（x）0，解得：1x 3，故函数 f（x ）的单调增区间为（ ，1） ， （3，+） ，单调减区间为1，3；故 f（x）的极大值为 f（1）=6 ，极小值 f（3）=26 ；（2）由（1）知 f（x ）在 2，1上单调递增，在1，3上单调递减，在3，4上单调递增，又 f（2）=1，f （3）= 26，f（3）f（2） ，f（ x） min=26，f（ x）2a +10 对x 2，4恒成立，f（ x） min2a1 ，即 2a126，a 19 （12 分
18、）已知椭圆 C： =1（a0，b 0）的离心率为 ，短轴长为4（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点 P（2，1）作弦且弦被 P 平分，则此弦所在的直线方程【解答】解：（1）e= = ，2b=4 ，所以 a=4，b=2，c=2 ，椭圆标准方程为 + ，（2）设以点 p（2，1）为中点的弦与椭圆交于 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=4，则 y1+y2=2，分别代入椭圆的方程，两式相减可得（x 1+x2） （x 1x2）+4（y 1+y2） （y 1y2）=0，4（x 1x2）+8（y 1y2）=0，k= = ，点 P（2 ，1）为中点的弦所在直线方程为 y1= （
19、x 2） ，整理，得：x+2y4=020 （12 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为=2 cos（ ） （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB |【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去 t 得到： ，即：4x+3y2=0曲线 C 的极坐标方程为 =2 cos（ ） 转化为： 2=2cos+2sin，整理得：x 2+y22x2y=0（2）将 l 的参数方程 （t 为参数） ，代入曲线 C：x 2+y22x2
20、y=0，整理得：t 2+4t+3=0，所以：t 1+t2=4，t 1t2=3，则：|AB|=|t 1t2|= =221 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： 2= ，0，直线l： （t 是参数）（1）求出曲线 C 的参数方程，及直线 l 的普通方程；（2）P 为曲线 C 上任意一点，Q 为直线 l 上任意一点，求 |PQ|的取值范围【解答】解：（1）根据题意，曲线 C： 2= ，则有 2+32sin2=4，曲线 C 的普通方程为：曲线 C 的参数方程 （ 为参数， 0，）直线 l： ，则其普通方程为：（2）设 P（2cos，
21、sin ）P 到直线 l 的距离为 0， ， 22 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx ，a 为常数（1）判断 f（x）在定义域内的单调性（2）若 f（x）在1，e上的最小值为 ，求 a 的值【解答】解：（1）由题意得 f（x ）的定义域为（ 0，+） ，f（x ）= + = ，当 a0 时，f（x）0，故 f（x）在上为增函数；当 a0 时，由 f（x）=0 得 x=a；由 f（x）0 得 xa；由 f（x）0 得xa；f（ x）在（0，a上为减函数；在（a，+）上为增函数所以，当 a0 时，f （x ）在（0，+）上是增函数；当 a0 时，f （x ）在（0， a上是减函数，在（a ，+）上是增函数（2）由（1） ，当 a0 时，f（x ）在1，e 上单调递增，f（ x） min=f（1）=a= ，a= ，不舍题意，舍；当e a 0 时，f （x）在1， a上单调递减，在a，e上单调递增，f（ x） min=f（a）=ln （a）+1= ，解得 a= ；当 ae 时，f （x ）在1 ，e 上单调递增，f（ x） min=f（1）=a= ，解得 a= ，不合题意，舍；综上所述，a=