1、2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1 （5 分）两个整数 1908 和 4187 的最大公约数是（ ）A53 B43 C51 D672 （5 分）要从已编号（170）的 70 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 7 枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7 枚导弹的编号可能是（ ）A5 ，10 ，15，20，25，30，35 B3，13，23 ，33，43，53 ，63C 1，2，3，4，5，6，7 D1，8，15，22
2、，29，36，433 （5 分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）A一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6B统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于 90 分与平均分数不高于90 分C播种菜籽 100 粒，发芽 90 粒与发芽 80 粒D检查某种产品，合格率高于 70%与合格率为 70%4 （5 分） =（ ）A B C D5 （5 分）执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）A54 B56 C90 D1806 （5 分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有 6 个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ）A5
3、种 B6 种 C63 种 D64 种7 （5 分）随机调查某校 50 个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元） 6 7 8人数 10 20 20这 50 个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）A7.2，0.56 B7.2， C7，0.6 D7，8 （5 分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（ ）A4 种 B12 种 C24 种 D120 种9 （5 分）把十进制的 23 化成二进制数是（ ）A00 110（2） B10 111（2 ） C10 1111（2 ） D11 101（2）10 （5 分）某公司在 20122016 年的收入与支出情况如表所示：收
4、入 x（亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出 y（亿元） 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归直线方程为 =0.8x+ ，依次估计如果 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为（ ）A4.5 亿元 B4.4 亿元 C4.3 亿元 D4.2 亿元11 （5 分）如图中，x 1，x 2，x 3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分当 x1=6，x 2=9，p=8.5 时，x 3 等于（ ）A11 B10 C8 D712 （5 分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点 P（a，b）落在直线
5、x+y=m（m 为常数）上的概率最大时，则 m 的值为（ ）A6 B5 C7 D8二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13 （5 分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90% ”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 该射击运动员射击了 100 次，恰有 90 次击中目标该射击运动员射击一次，中靶的机会是 90%14 （5 分）在数轴上 0 和 4 之间任取一个实数 x，则使“log 2x1”的概率为 15 （5 分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是 抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜同时抛掷两枚硬币
6、，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜张明、张华两人各写一个数字 6 或 8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜16 （5 分）用数字 1、2、3、4、5 构成数字不重复的五位数，要求数字 1，3不相邻，数字 2、5 相邻，则这样的五位数的个数是 （用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，
7、在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率18 （12 分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31乙 33 29 38 34 28 36（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适19 （12 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于
8、1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m=56，请计算此时 的估计值20 （12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示组号 分组 频数 频率第 1 组 160，165） 5 0.050第 2 组 165，170） 0.350第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200第 5 组 180，185） 10 0.100合计 100 1.00（1）请先求出频率分布表中、位置的相应
9、数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AC=BC=2，ACB=90，侧面 PAB 为等边三角形，侧棱 （1）求证：平面 PAB平面 ABC；（2）求二面角 BAPC 的余弦值22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=4x，点 M（m，0）在 x 轴
10、的正半轴上，过 M 点的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若 m=1，且直线 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程；（2）是否存在定点 M，使得不论直线 l：x=ky+m 绕点 M 如何转动，恒为定值？2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1 （5 分）两个整数 1908 和 4187 的最大公约数是（ ）A53 B43 C51 D67【解答】解：4187=19082+371，1908=371
11、5+53，371=537+0，两个整数 1908 和 4187 的最大公约数是 53，故选 A2 （5 分）要从已编号（170）的 70 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 7 枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7 枚导弹的编号可能是（ ）A5 ，10 ，15，20，25，30，35 B3，13，23 ，33，43，53 ，63C 1，2，3，4，5，6，7 D1，8，15，22，29，36，43【解答】根据系统抽样的定义则编号间距为 707=10，则满足条件是 3，13，23，33，43，53 ，63，故选：B3 （5 分）下列各组事件中，不是互斥事件的是（
12、）A一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6B统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于 90 分与平均分数不高于90 分C播种菜籽 100 粒，发芽 90 粒与发芽 80 粒D检查某种产品，合格率高于 70%与合格率为 70%【解答】解：A 中，一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于6，不可能同时发生，故 A 中两事件为互斥事件B 中，当平均分等于 90 分时，两个事件同时发生，故 B 中两事件不为互斥事件C 中，播种菜籽 100 粒，发芽 90 粒与发芽 80 粒，不可能同时发生，故 C 中两事件为互斥事件D 中，检查某种产品，合格率高于 70%与合格率
13、为 70%，不可能同时发生，故C 中两事件为互斥事件故选 B4 （5 分） =（ ）A B C D【解答】解： = 故选：D5 （5 分）执行如图的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）A54 B56 C90 D180【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=22+32+42+52+62 的值，S=22+32+42+52+62=90故选：C6 （5 分）某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有 6 个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ）A5 种 B6 种 C63 种 D64 种【解答】解：根据题意，这个回路中
14、共 6 个焊点，按其脱落与否，共222222=26=64 种情况，如果电路畅通，则每个焊点都不能脱落，有一种情况，现今回路不通，至少有一个焊点脱落，与电路畅通对立，故焊点脱落情况的可能有 641=63 种，故选 C7 （5 分）随机调查某校 50 个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元） 6 7 8人数 10 20 20这 50 个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）A7.2，0.56 B7.2， C7，0.6 D7，【解答】解：根据题意，计算这 50 个学生午餐费的平均值是= （6 10+720+820）=7.2，方差是s2= 10（67.2） 2+20（77.2 ） 2+20（87.2
15、） 2=0.56故选：A8 （5 分）一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（ ）A4 种 B12 种 C24 种 D120 种【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：、老师站在正中间，有 1 种情况，、将四名学生全排列，安排在两边的 4 个位置，有 A44=24 种排法，则 5 人不同的站法有 124=24 种；故选：C9 （5 分）把十进制的 23 化成二进制数是（ ）A00 110（2） B10 111（2 ） C10 1111（2 ） D11 101（2）【解答】解：232=111112=5152=2122=1012=01故 23（10 ） =10111
16、（ 2） 故选：B10 （5 分）某公司在 20122016 年的收入与支出情况如表所示：收入 x（亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9支出 y（亿元） 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8根据表中数据可得回归直线方程为 =0.8x+ ，依次估计如果 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为（ ）A4.5 亿元 B4.4 亿元 C4.3 亿元 D4.2 亿元【解答】解：根据表中数据，计算 = （2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4 ，= （0.2 +1.5+2.0+2.5+3.8）=2， =20.84=1.2，回归直线方程为 =0.8x1.2，计算 x=7 时 =0.8
17、71.2=4.4（亿元） ，即 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为 4.4 亿元故选：B11 （5 分）如图中，x 1，x 2，x 3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分当 x1=6，x 2=9，p=8.5 时，x 3 等于（ ）A11 B10 C8 D7【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分根据 x1=6，x 2=9，不满足|x 1x2|2 ，故进入循环体，输入 x3，判断 x3 与 x1，x 2 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分因此由 8.5= ，解出 x3=8故选 C12 （
18、5 分）甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点 P（a，b）落在直线 x+y=m（m 为常数）上的概率最大时，则 m 的值为（ ）A6 B5 C7 D8【解答】解：甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，基本事件总数 n=66=36，当点 P（a ，b）落在直线 x+y=m（m 为常数）上，m=2 的概率为 ，m=3 的概率为 ，m=4 的概率为 ，m=5 的概率为 ，m=6 的概率为 ，m=7 的概率为 ，m=8 的概率为 ，m=9 的概率为 ，m=10 的概率为 ，m=11 的概率为 ，m=12 的概率为 当点
19、P（a ，b）落在直线 x+y=m（m 为常数）上的概率最大时，则 m 的值为7故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13 （5 分）某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90% ”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为 该射击运动员射击了 100 次，恰有 90 次击中目标该射击运动员射击一次，中靶的机会是 90%【解答】解：某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90% ”能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是 90%故答案为：14 （5 分）在数轴上 0 和 4 之间任取一个实数 x，则使“log 2x1”的概率为 【
20、解答】解：由 log2x1，得 0x2，区间长为 2，区间0，4的长度为 4，所以所求的概率为 P= = 故答案为： 15 （5 分）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是 抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜张明、张华两人各写一个数字 6 或 8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜【解答】解：在中，抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为 ，故在中的游戏公平；在中，同
21、时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率 p= = ，两枚都正面向上的概率 p= = ，故在中的游戏不公平；在中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为 ，故在中的游戏公平；在中，张明、张华两人各写一个数字 6 或 8，如果两人写的数字相同的概率p= = ，故在中的游戏公平故答案为：16 （5 分）用数字 1、2、3、4、5 构成数字不重复的五位数，要求数字 1，3不相邻，数字 2、5 相邻，则这样的五位数的个数是 24 （用数字作答） 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析：、将 2、5 看成一个整体，考虑其顺序，有 A22=2 种情况，、将这个整体与 4 全
22、排列，有 A22=2 种排法，排好后有 3 个空位，、在 3 个空位中任选 2 个，安排 1、3，有 A32=6 种情况，则符合条件的五位数有 226=24 个；故答案为：24三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率【解答】解：设正方形的边长为 2a（a0） ，则黑色部分的面积为： ，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为： 18 （12 分）为了选拔参加
23、自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31乙 33 29 38 34 28 36（1）画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运动员的中位数；（2）估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适【解答】解：（1）茎叶图如下：甲的中位数为： =33，乙的中位数为： =33.5（2）甲的平均数为： = =33，乙的平均数为： = （28 +29+33+34+36+38）=33，甲的方差为： = ，乙的方差为： =甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛
24、更合适19 （12 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数 m；最后再根据统计数 m 来估计 的值假如统计结果是 m=56，请计算此时 的估计值【解答】解：由题意，200 对都小于 1 的正实数对（x，y） ，满足 ，面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y ） ，满足 x2+y21，且 ，区域面积为 ，由已知 ，解得 20 （12 分
25、）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示组号 分组 频数 频率第 1 组 160，165） 5 0.050第 2 组 165，170） 0.350第 3 组 170，175） 30 第 4 组 175，180） 20 0.200第 5 组 180，185） 10 0.100合计 100 1.00（1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第
26、二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率【解答】解：（1）由题可知，第 2 组的频数为 0.35100=35 人，第 3 组的频率为 =0.300，频率分布直方图如图所示，（4 分）（2）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第 3 组： 6=3 人，第 4 组： 6=2 人，第 5 组： 6=1 人，所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试 （7 分）（3）设第
27、3 组的 3 位同学为 A1，A 2，A 3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B 2，第 5 组的 1 位同学为 C1，则从这六位同学中抽取两位同学有 15 种选法，分别为：（A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，C 1） ， （A 2，A 3） ， （A 2，B 1） ，（A 2，B 2） ，（A 2，C 1） ， （ A3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （A 3，C 1） ， （B 1， B2） ， （B 1，C 1） ， （B 2，C 1） ，其中第 4 组的 2 位同学 B1，B 2 中至少有一位同学入选的有
28、9，分别为：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 3，B 1） ， （A 3，B 2） ， （B 1，B 2） ，（B 1，C 1） ， （B 2，C 1） ，第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率为 = （12 分）21 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AC=BC=2，ACB=90，侧面 PAB 为等边三角形，侧棱 （1）求证：平面 PAB平面 ABC；（2）求二面角 BAPC 的余弦值【解答】证明：（1）设 AB 中点为 D，连结 PD，CD，AP=BP，PDAB又 AC=BC，CDAB，PDC 就是二面角
29、PABC 的平面角又由已知ACB=90 ，AC=BC=2，AD=BD=CD= ，AB=2 又PAB 为正三角形，且 PDAB ，PD= = PC=2 ，PC 2=CD2+PD2PDCD又 ABCD=D，PD平面 ABC，PD平面 PAB，平面 PAB平面 ABC解：（2）由（1）知 DC，DB ，DP 两两垂直以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D（0，0，0） ，C（ ，0，0） ，A （0， ，0） ，P （0，0， ） =（ ，0） ， =（ ） 设平面 PAC 的法向量为 =（x ，y，z ） ，则 ，令 x=1，则 y=1，z= 平面 PAC 的一个法向量为=（ 1，1， ）
30、平面 PAB 的一个法向量为 =（ ） cos = = 由图可知，二面角 BAPC 为锐角二面角 BAPC 的余弦值为 22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=4x，点 M（m，0）在 x 轴的正半轴上，过 M 点的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若 m=1，且直线 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程；（2）是否存在定点 M，使得不论直线 l：x=ky+m 绕点 M 如何转动，恒为定值？【解答】解：（1）当 m=1 时，M（1，0） ，此时，点 M 为抛物线 C 的焦点，直线 l 的方程为 y=x1，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，联立 ，消去 y 得，x 26x+1=0，x 1+x2=6，y 1+y2=x1+x22=4，圆心坐标为（3，2） ；又|AB|=x 1+x2+2=8，圆的半径为 4，圆的方程为（x 3） 2+（y 2） 2=16（2）由题意可设直线 l 的方程为 x=ky+m，则直线 l 的方程与抛物线 C：y 2=4x联立，消去 x 得：y 24ky4m=0，则 y1y2=4m，y 1+y2=4k，+ = + = + ，= = = = ，对任意 kR恒为定值，于是 m=2，此时 = 存在定点 M（2，0） ，满足题意
