1、2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）下列选项叙述错误的是（ ）A命题“若 xl，则 x23x+20”的逆否命题是“若 x23x+2=0，则 x=1”B若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题C若命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x R，x 2+x+1=0D “x 2”是“x 23x+20”的充分不必要条件2 （5 分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.2
2、8，那么摸出黒球的概率是（ ）A0.42 B0.28 C0.3 D0.73 （5 分）已知 l，m，n 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）A若 lm ， ln，m ，n ，则 l B若 l，m ，则 lmC若 lm，m，则 l D若 l，m，则 lm4 （5 分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）A B C D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的值 S=16，则输入自然数 n 的最小值应等于（ ）A7 B8 C9 D106 （5 分）福利彩票“双色球”中红色
3、球由编号为 01，0233 的 33 个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第 1 行的第 5 列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23 B20 C06 D177 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2
4、 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =18 （5 分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列说法正确的是（ ）A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9 （5 分）如图，A 1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA=90，点 D1、F 1 分别是A1B1、A 1C1 的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1
5、与 AF1 所成角的余弦值是（ ）A B C D10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D11 （5 分）三棱锥 PABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，且 AB=BC=CA=2，平面 PAB平面 ABC，则三棱锥 PABC 的体积的最大值为（ ）A4 B3 C4 D312 （5 分）F 1，F 2 分别是双曲线 =1 的左、右焦点，A 是其右顶点，过 F2作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点为 P，G 是PF 1F2 的重心，若 =0，则双曲线的离心率是（ ）A2 B C3 D二、填空题13 （3 分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级
6、有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法从这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了 8 名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 14 （3 分）双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，则 mn 的值为 15 （3 分）若双曲线 x2 =1（b 0 ）的一条渐近线与圆 x2+（y2） 2=1 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 16 （3 分）ABC 中，AB=9，AC=15 ，BAC=120，它所在平面外一点 P 到ABC 三个顶点的距离是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是： 三、解答题17某公司的管理者通过公
7、司近年来科研费用支出 x（百万元）与公司所获得利润 y（百万元）的散点图发现，y 与 x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份 20102011201220132014科研费用 x（百万元） 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0公司所获利润 y（百万元） 1 1.5 2 2.5 3（1）求 y 关于 x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从 2011 年开始连续 10 年每一年都比上一年增加 10万元，预测 2017 年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式 = = ， = ）18某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180） ，
8、180， 200） ， 200，220） ，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280， 300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280， 300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220 ，240）的用户中应抽取多少户？19如图，三棱锥 PABC 中，PC，AC ，BC 两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点（1）证明：平面 GEF平面 PCB；（2）求直线
9、 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值20在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 kl 的极坐标方程为cos）=3 （1）求 C 的极坐标方程；（2）射线 OM：= 1（ 1 ）与圆 C 的交点为 O，P，与直线 Ll 的交点为 Q，求 |OP|OQ|的范围21如图所示三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面 ABC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=2CD，ACCD（）若 AA1=AC，求证： AC1平面 A1B1CD；（）若 A1D 与 BB1 所成角的余弦值为 ，求二面角 CA1DC1 的余弦值22已
10、知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F 在 x 轴上，离心率 ，点在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 k（k 0）的直线 n 交椭圆 C 与 A、B 两点，且 kOA、k 、k OB 成等差数列，点 M（1，1） ，求 SABM 的最大值2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）下列选项叙述错误的是（ ）A命题“若 xl，则 x23x+20”的逆否命题是“若 x23x+2=0，则 x=1”B若 pq 为真命
11、题，则 p，q 均为真命题C若命题 p：xR，x 2+x+10，则p：x R，x 2+x+1=0D “x 2”是“x 23x+20”的充分不必要条件【解答】解：A 原命题为“ 若 p 则 q， “，则它的逆否命题为“若p 则q“故正确；B 当 p，q 中至少有一个为真命题时，则 pq 为真命题故错误C 正确D 由 x2 一 3x+20 解得 x1 或 x2显然 x2x1 或 x2但 x1 或 x2 不能得到 x2故“x2”是“x 2 一 3x+20”的充分不必要条件，故正确故选 B2 （5 分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的
12、概率是 0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）A0.42 B0.28 C0.3 D0.7【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是 10.420.28=0.3，故选 C3 （5 分）已知 l，m，n 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）A若 lm ， ln，m ，n ，则 l B若 l，m ，则 lmC若 lm，m，则 l D若 l，m，则 lm【解答】解：若 l
13、m，l n ，m，n ，则当 m 与 n 相交时，l，故 A 错误；若 l，m ，则 l ，所以 lm，故 B 正确；若 lm，m ，则 l 或 l，故 C 错误；若 l，m ，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 D 错误故选：B4 （5 分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）A B C D【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A概率 P= ，B概率 P= ，C 概率 P= ，D概率 P= ，则概率最大的为 ，故选：A5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若
14、输出的值 S=16，则输入自然数 n 的最小值应等于（ ）A7 B8 C9 D10【解答】解：由程序框图知：第一次循环 S=12=2，i=2 +2=4，k=1+1=2 ；第二次循环 S= 24=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环 S= 46=8，i=6+2=8，k=3+1=4第四次循环 S= 88=16，i=8+2=10 ，k=4+1=5输出的值 S=16，跳出循环的 i 值为 10，判断框的条件 in ，其中8n 10 ，自然数 n 的最小值为 9故选：C6 （5 分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为 01，0233 的 33 个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作
15、为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第 1 行的第 5 列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23 B20 C06 D17【解答】解：根据随机数的定义，1 行的第 5 列数字开始由左向右依次选取两个数字 43 开始，依次为 17，23，20，17，24 ，06 ，则第 6 个红色球的编号为 06，故选：C7
16、 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =1【解答】解：AF 1B 的周长为 4 ，AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4 ，a= ，离心率为 ， ，c=1 ，b= = ，椭圆 C 的方程为 + =1故选：A8 （5 分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列说
17、法正确的是（ ）A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是 =82，乙的平均数是 =87乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选 D9 （5 分）如图，A 1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA=90，点 D1、F 1 分别是A1B1、A 1C1 的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（ ）A B C D【解答】解：取 BC 的中点 D，连接 D1F1，F 1DD 1BDF 1DF 1A 就是 BD1
18、与 AF1 所成角设 BC=CA=CC1=2，则 AD= ，AF 1= ，DF 1=在DF 1A 中，cosDF 1A= ，故选 A10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为 1 = ；四棱锥的体积为 22 = ；故这个几何体的体积 V= ；故选 D11 （5 分）三棱锥 PABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，且 AB=BC=CA=2，平面 PAB平面 ABC，则三棱锥 PABC 的体积的最大值为（ ）A4 B3 C4 D3【解答】解：根据题意：半径为 2 的球面上，且 AB
19、=BC=CA=2 ，ABC 为截面为大圆上三角形，设圆形为 O，AB 的中点为 N，ON =1平面 PAB平面 ABC，三棱锥 PABC 的体积的最大值时，PN AB ，PN平面 ABC，PN= = ，三棱锥 PABC 的体积的最大值为 （2 ） 2 =3，故选：B12 （5 分）F 1，F 2 分别是双曲线 =1 的左、右焦点，A 是其右顶点，过 F2作 x 轴的垂线与双曲线的一个交点为 P，G 是PF 1F2 的重心，若 =0，则双曲线的离心率是（ ）A2 B C3 D【解答】解：由题意可得 F1 （ c，0） ，F 2 （c，0） ，A（a ，0） 把 x=c 代入双曲线方程可得 y=
20、，故一个交点为 P（c ， ） ，由三角形的重心坐标公式可得 G（ ， ） 若 =0，则 GAF 1F2，G 、A 的横坐标相同， =a， =3，故选：C二、填空题13 （3 分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法从这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了 8 名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 6 【解答】解：高一年级有 30 名，高二年级有 40 名，高一年级的学生中应抽取的人数为 x，则满足 ，即 x=6故答案为：614 （3 分）双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，
21、则 mn 的值为 【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点为（1，0） ，则双曲线的焦距为 2，而双曲线的离心率为 2，则 a= ，则有 解得 m= ，n=mn=故答案为： 15 （3 分）若双曲线 x2 =1（b 0 ）的一条渐近线与圆 x2+（y2） 2=1 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 （1，2 【解答】解：圆 x2+（y2） 2=1 的圆心（0，2） ，半径 r=1双曲线 x2 =1（b0）的一条渐近线与圆 x2+（y2） 2=1 至多有一个交点， 1，化为 b23e 2=1+b24，e1，1e2 ，该双曲线的离心率的取值范围是（1，2故答案为：（1，216 （3 分）A
22、BC 中，AB=9，AC=15 ，BAC=120，它所在平面外一点 P 到ABC 三个顶点的距离是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是： 7 【解答】解析：记 P 在平面 ABC 上的射影为 O，PA=PB=PCOA=OB=OC ，即 O 是ABC 的外心，只需求出 OA（ABC 的外接圆的半径） ，记为 R，在ABC 中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R= =14 ，OA=7 ，得：PO=7故答案为：7三、解答题17某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出 x（百万元）与公司所获得利润 y（百万元）的散点图发现，y 与 x 之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份 2
23、0102011201220132014科研费用 x（百万元） 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0公司所获利润 y（百万元） 1 1.5 2 2.5 3（1）求 y 关于 x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从 2011 年开始连续 10 年每一年都比上一年增加 10万元，预测 2017 年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式 = = ， = ）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得 = （1.6 +1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，= （1 +1.5+2+2.5+3） =2，又 =16.3， xiyi=18.5；b= =5；a= b =251.8
24、=7，故所求的回归直线方程为 =5x7；（2）由题可知到 2017 年时科研投入为 x=2.3（百万元） ，故可预测该公司所获得的利润为 =52.37=4.5（百万元） ；答：可预测 2017 年该公司获得的利润为 450 万元18某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160，180） ，180， 200） ， 200，220） ，220，240） ，240，260） ，260，280） ，280， 300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240） ，240，260） ，260，280） ，
25、280， 300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220 ，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002 +0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025） 20=1，解方程可得 x=0.0075，直方图中 x 的值为 0.0075；（2）月平均用电量的众数是 =230，（0.002 +0.0095+0.011）20=0.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为 a，由（0.002+0.0095 +0.011）20+0.0125（a 220）=0.5 可得a=224，月平均用电量的
26、中位数为 224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有 0.012520100=25，月平均用电量为240，260）的用户有 0.007520100=15，月平均用电量为260，280）的用户有 0.00520100=10，月平均用电量为280，300）的用户有 0.002520100=5，抽取比例为 = ，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取 25 =5 户19如图，三棱锥 PABC 中，PC，AC ，BC 两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点（1）证明：平面 GEF平面 PCB；（2）求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值【
27、解答】 （1）证明：E， F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点，EF BC，又 BC平面 PBC，EF平面 PBC，EF 平面 PBC，同理可得：GF平面 PBC，又 EF平面 GEF，GF平面 GEF，GFEF=F，平面 GEF平面 PBC（2）以 C 为坐标原点，以 CA，CB，CP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则 P（ 0，0，1） ，A（2，0，0） ，B（0，1，0） ，F（1，0，0） ， =（ 2，0，1） ， =（ 2，1，0） ， =（1，0，1） ，设平面 PAB 的法向量 =（x ，y，z） ，1，2 ，2） ，则 ， ，令 x=1 可得 =（1，2，2） c
28、os ， = = = 设 PF 与面 PAB 所成角为 ，则 sin=|cos ， |= PF 与面 PAB 所成角的正弦值为 20在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 kl 的极坐标方程为cos）=3 （1）求 C 的极坐标方程；（2）射线 OM：= 1（ 1 ）与圆 C 的交点为 O，P，与直线 Ll 的交点为 Q，求 |OP|OQ|的范围【解答】 （1）圆 C 的参数方程为 （ 参数） ，转化为圆 C 的普通方程是（x1） 2+y2=1，又 x=cos，y=sin ，所以圆 C 的极坐标方程是：=2cos（
29、2）设 P（ 1， 1） ，则有 ，设 Q（ 2， 2） ，且直线 l 的方程是 cos）=3 则有 ，所以|OP|OQ|= 12= = ，由于： ，则：tan 10，所以 0|OP|OQ|621如图所示三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面 ABC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=2CD，ACCD（）若 AA1=AC，求证： AC1平面 A1B1CD；（）若 A1D 与 BB1 所成角的余弦值为 ，求二面角 CA1DC1 的余弦值【解答】证明：（）若 AA1=AC，则四边形 ACC1A1 为正方形，则 AC1A 1C，AD=2CD，ACCD，ACD 为直角三角形，则 ACCD，A
30、A 1平面 ABC，CD 平面 ACC1A1，则 CDA 1C，A 1CCD=C，AC 1平面 A1B1CD；解：（）AA 1平面 ABC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD=2CD，ACCD建立以 C 为坐标原点，CD，CB，CC 1 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，如图，设 CD=1，则 AD=2，AC= ，A 1D 与 BB1 所成角的余弦值为 ， = ，又 ，解得 A1D= ，AA 1= ，则 C（ 0，0，0） ，D（1， 0，0） ，A （0， ，0） ，C 1（0，0， ） ，A 1（1，2，） ，=（ 0，2， ） ， =（ 1，2， ） ， =（ 1，2，0） ，设
31、平面 A1DC 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 x= ，得 =（ ， ，2） ，设平面 A1DC1 的法向量 =（a，b，c） ，则 ，取 a=2 ，得 =（2 ， ，4） ，设二面角 CA1DC1 的平面角为 ，则 cos= = = 二面角 CA1DC1 的余弦值为 22已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F 在 x 轴上，离心率 ，点在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 k（k 0）的直线 n 交椭圆 C 与 A、B 两点，且 kOA、k 、k OB 成等差数列，点 M（1，1） ，求 SABM 的最大值【解答】解：（1）设椭圆方程为 （a b0） ，则椭圆离心率 ，点 在椭圆 C 上， ，解得 a=2，b=1，椭圆方程为 ；（2）设直线 n 的方程为 y=kx+m，A （x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则k OA、k、k OB 成等差数列，m（x 1+x2）=0 ，m=0，直线 n 的方程为 y=kx代入椭圆方程得（1+4k 2） x2=4，|AB|= M 到 y=kx 的距离为 d=S= =S 2= ，（S 2）= ，k ， （S 2） 0， k 1， （S 2） 0，k 1， （S 2）0，k= 时，S 取得最大值
