1、2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每个小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）椭圆 的焦点坐标是（ ）A （4，0 ） B （0， 4） C （5，0） D （0，5）2 （5 分） “a1” 是“a 2a 成立” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已条变量 x，y 满足 ，则 x+y 的最小值是（ ）A4 B3 C2 D14 （5 分）命题“x0， 0” 的否定是（ ）Ax0， 0 Bx 0，0x1 Cx0， 0Dx0，0x15 （5 分）运行如图的程序，若输出的结果为 9，则输入 x
2、 的值等于（ ）A1 B2 C3 D46 （5 分）88 对应的二进数为（ ）A1011000 B1011001 C1011010 D10011007 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20 ） ，20 ，22.5 ） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30则这 200名学生中每周的自习时间不低于 25 小时的人数为（ ）A30 B60 C80 D1208 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹
3、日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）下列说法错误的是（ ）A在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（ ， ）C在回归分析中，R 2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好D自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系10 （5 分）函数 f（x ）=2x 33x212x+5 在0，3上的最大值和最小值分别是（ ）A12， 15 B4，15 C12， 4 D5
4、， 1511 （5 分）在区间 中随机取一个实数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x3） 2+y2=1 相交” 发生的概率为（ ）A B C D12 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x 焦点为 F，点 D 为其准线与 x 轴的交点，过点F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，则DAB 的面积 S 的取值范围为（ ）A5 ，+） B2，+ ） C4，+） D2，4二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）以（1，1）为圆心，2 为半径的圆的标准方程是 14 （5 分）双曲线 的两条渐近线方程为 15 （5 分）一个容量 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如表组别
5、 （0 ，10（10，20（20，30（30，40（40，50（50，60（60，70频数 12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40）上的频率为_ 16 （5 分）若函数 f（x ） =lnxxmx 在区间1，e 2内有唯一的零点，则实数 m的取值范围是 三、解答题（共 70 分）17 （10 分）求过点 M（3，1）且与圆（x1） 2+（y 2） 2=4 相切的直线方程18 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3ax+b，xR ，若函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2xy+3=0（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的单调区间19 （1
6、2 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y（件） 90 84 83 80 75 68（1）当 b=20 时，求回归直线方程 =bx+a（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0， ） ， （0， ）的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1 与 A 交于 A，B 两点（1）写出 C 的
7、方程； （2）若 ，求 k 的值21 （12 分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄 5，15）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎”4 5 12 8 2 1（I）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有 99%的把握认为以 45岁为分界点对“ 生育二胎放开” 政策的支持度有差异：年龄不低于 45 岁的 年龄低于 45 岁的 合计人数 人数支持 a= c=不支持 b= d=合计（）若对年龄在5，15
8、的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开 ”的概率是多少？参考数据：P（K 23.841）=0.050，P（k 26.635）=0.010 ，P（K 210.828 ）=0.00122 （12 分）已知抛物线 C：y=x 2，点 P（0，2 ） ，A、B 是抛物线上两个动点，点 P 到直线 AB 的距离为 1（1）若直线 AB 的倾斜角为 ，求直线 AB 的方程；（2）求|AB|的最小值2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每个小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）椭圆 的焦点坐标是（ ）A （4，0 ）
9、B （0， 4） C （5，0） D （0，5）【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为 ，其焦点在 x 轴上，其中 a= =5，b= =3，则 c= =4，则椭圆的焦点坐标为（4，0） ；故选：A2 （5 分） “a1” 是“a 2a 成立” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由 a2a 得 a1 或 a0，即“a1”是“a 2a 成立”充分不必要条件，故选：A3 （5 分）已条变量 x，y 满足 ，则 x+y 的最小值是（ ）A4 B3 C2 D1【解答】解析：如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1） ， （1，2） ，
10、（2，2） ，代入验证知在点（1，1）时，x +y 最小值是 1+1=2故选 C4 （5 分）命题“x0， 0” 的否定是（ ）Ax0， 0 Bx 0，0x1 Cx0， 0Dx0，0x1【解答】解：命题“ x0， 0”的否定是“x 0， 0“，又由 0得 0x1”，故命题“x0， 0”的否定是“x 0，0x 1”，故选：B5 （5 分）运行如图的程序，若输出的结果为 9，则输入 x 的值等于（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：由程序可知，是顺序结构，输出的结果为 9，所以由 x3+5=9+4=13，解得：x=2故选：B6 （5 分）88 对应的二进数为（ ）A1011000 B101100
11、1 C1011010 D1001100【解答】解：88=12 6+025+124+123+022+021+020=1011000（2） 故选：A7 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20 ） ，20 ，22.5 ） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30则这 200名学生中每周的自习时间不低于 25 小时的人数为（ ）A30 B60 C80 D120【解答】解：自习时间不低于 25 小时的频率为：（0.08+0.04）2.5=0.3，故自习时间不低于
12、 25 小时的频率为：0.3200=60，故选：B8 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：当 n=1 时，a= ，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时，a= ，b=8 满足进行循环的条件，当 n=3 时，a= ，b=16 满足进行循环的条件，当 n=4 时，a= ，b=32 不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C9 （5 分）下列说法错误的是（ ）A在残差图中，残差点分布的带
13、状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（ ， ）C在回归分析中，R 2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好D自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系【解答】解：对于 A，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故 A 正确；对于 B，在线性回归分析中，回归直线一定过样本点的中心（ ， ） ，故 B 错误；对于 C，在回归分析中，R 2 为越接近 1 的模型拟合的效果越好，因此 R2 为 0.98的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好，故 C 正
14、确；对于 D，自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，故 D 正确综上所述，以上说法错误的是 B，故选：B10 （5 分）函数 f（x ）=2x 33x212x+5 在0，3上的最大值和最小值分别是（ ）A12， 15 B4，15 C12， 4 D5， 15【解答】解：f（x ）=6x 26x12，令 f（x）=0 ，得 x=1 或 x=2，f（ 1）=12，f （2）= 15，f（ 0）=5，f （3）= 4，f（ x） max=5，f （x） min=15，故选 D11 （5 分）在区间 中随机取一个实数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x3） 2+
15、y2=1 相交” 发生的概率为（ ）A B C D【解答】解：圆（x3） 2+y2=1 的圆心为（3，0） ，半径为 1要使直线 y=kx 与圆（x 3） 2+y2=1 相交，则圆心到直线 y=kx 的距离 1，解得 k 在区间 中随机取一个实数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x 2） 2+y2=1相交”发生的概率为 = 故选：B12 （5 分）已知抛物线 C：y 2=4x 焦点为 F，点 D 为其准线与 x 轴的交点，过点F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，则DAB 的面积 S 的取值范围为（ ）A5 ，+） B2，+ ） C4，+） D2，4【解答】解：由抛物线 C：y 2=
16、4x 可得焦点 F（1，0） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，当 AB 的斜率不存在，即有 AB：x=1，A（1 ，2 ） ，B （1， 2） ，|AB |=4，S= 42=4；当直线 AB 的斜率存在时，直线 AB 的方程设为：y=k（x 1） 联立 ，化为 k2x2（2k 2+4）x +k2=0，则 x1+x2=2+ ，x 1x2=1|AB|= = 点 D（1，0）到直线 AB 的距离 d= S DAB = =4 4综上可得DAB 的面积 S 的取值范围为4，+） 故选：C二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）以（1，1）为圆心，2 为半径的圆的标准
17、方程是 （x1） 2+（y1）2=4 【解答】解：由圆心坐标为（1，1） ，半径 r=2，则圆的标准方程为：（x1） 2+（y 1） 2=4故答案为：（x1） 2+（y1） 2=414 （5 分）双曲线 的两条渐近线方程为 【解答】解：双曲线 的 a=4，b=3 ，焦点在 x 轴上而双曲线 的渐近线方程为 y= x双曲线 的渐近线方程为故答案为：15 （5 分）一个容量 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如表组别 （0 ，10（10，20（20，30（30，40（40，50（50，60（60，70频数 12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40）上的频率为_ 0.5
18、2 【解答】解：由表格知，样本事件落在（10，20上的频率是 =0.13，样本事件落在（20，30上的频率是 =0.24，样本事件落在（30，40上的频率是 =0.15，落在三个区间上是互斥的，根据互斥事件的概率得到样本事件落在（10，40上的频率是0.13+0.24+0.15=0.52故答案为：0.5216 （5 分）若函数 f（x ） =lnxxmx 在区间1，e 2内有唯一的零点，则实数 m的取值范围是 1， 1） 1 【解答】解：函数 f（x） =lnxxmx 在区间1，e 2内有唯一的零点，得x+lnx=mx ，又 x0，所以 m= 1，要使方程 lnxxmx=0 在区间1，e 2上
19、有唯一实数解，只需 m= 1 有唯一实数解，令 g（ x）= 1， （x0） ，g（x ）= ，由 g（x）0 ，得 0x e；g（x）0 得 xe ，g （x）在区间1，e上是增函数，在区间 e，e 2上是减函数g（ 1）=1，g （e）= 1，g （e 2）= 1，故1 m 1 或 m= 1 故答案为：1， 1） 1三、解答题（共 70 分）17 （10 分）求过点 M（3，1）且与圆（x1） 2+（y 2） 2=4 相切的直线方程【解答】解：圆心坐标 C（1，2） ，半径 R=2，若直线斜率不存在，则对应方程为 x=3，此时圆心到直线的距离 d=31=2=R，满足条件若直线斜率存在，设为
20、 k，则方程为 y1=k（x3） ，即 kxy+13k=0，圆心到直线的距离 d= = =2，即|2k +1|=2 ，平方得 4k2+4k+1=4+4k2，即 4k=3，得 k= ，则直线方程为 xy+13 =0，即 3x4y5=0，综上切线为 3x4y5=0 或 x=318 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3ax+b，xR ，若函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2xy+3=0（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的单调区间【解答】解：（1）由 f（x ）=x 3ax+b，得 f（x）=3x 2a，f（1）=3 a=2，得 a=1把 x=1 代入 2xy+3
21、=0，得切点为（ 1，5） ，f（ 1）=1a+b=5，得 b=5f（ x）=x 3x+5（2）由（1）得 f（x ）=x 2x+5，f（x ）=3x 21，令 f（x）0，解得：x 或 x ，令 f（x）0，解得： x ，故 f（x）在（， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+）递增19 （12 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y（件） 90 84 83 80 75 68（1）当 b=20 时，求回归直线方程 =bx+a（2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（I）中的关
22、系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）【解答】解：（1）根据表中数据，计算= （8 +8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，= （90+84+83+80+75+68）=80，且 b=20，a= b =80（20）8.5=250，y 关于 x 的线性回归方程为 =20x+250；（2）设工厂获得的利润为 L 元，则 L=x（ 20x+250） 4（20x+250）=20（x ） 2+361.25；该产品的单价应定为 元时，工厂获得的利润最大20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0， ） ， （0，
23、）的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1 与 A 交于 A，B 两点（1）写出 C 的方程； （2）若 ，求 k 的值【解答】解：（1）设 P（x ，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以（0， ） ， （0， ）为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴 b= =1，故曲线 C 的方程为 x2+ =1（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其坐标满足 ，消去 y 并整理得（k 2+4）x 2+2kx3=0，故 x1+x2= ，x 1x2= ，若 ，即 x1x2+y1y2=0而 y1y2=k2x1x2+k（x 1+x2）+ 1，于是 x1x2+y1
24、y2= +1=0，化简得4k 2+1=0，所以 k= 21 （12 分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄 5，15）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎”4 5 12 8 2 1（I）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有 99%的把握认为以 45岁为分界点对“ 生育二胎放开” 政策的支持度有差异：年龄不低于 45 岁的人数年龄低于 45 岁的人数合计支持 a= c=不支持 b= d=合计（）若
25、对年龄在5，15的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开 ”的概率是多少？参考数据：P（K 23.841）=0.050，P（k 26.635）=0.010 ，P（K 210.828 ）=0.001【解答】解：（）根据题意填写 22 列联表如下；年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计支持 a=3 c=29 32不支持 b=7 d=11 18合 计 10 40 50（2 分）根据表中数据，计算 6.635；（4 分）所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（5 分）（）年龄在5，15）中支持“生育二胎”的 4
26、人分别为 a，b，c，d，不支持“生育二胎 ”的人记为 M，（6 分）则从年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a ，b ） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，M ） ， （b，c） ， （b，d） ， （b ，M ） ，（c，d ） ， （c，M ） ， （d，M）共 10 种；（8 分）设“恰好这两人都支持 “生育二胎 ”为事件 A，（9 分）则事件 A 所有可能的结果有：（a ，b ） ， （a，c） ， （a，d） ， （b ，c） ， （b，d ） ， （c ，d）共 6 种， ；（11 分）所以对年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好
27、这两人都支持“ 生育二胎” 的概率为 （12 分）22 （12 分）已知抛物线 C：y=x 2，点 P（0，2 ） ，A、B 是抛物线上两个动点，点 P 到直线 AB 的距离为 1（1）若直线 AB 的倾斜角为 ，求直线 AB 的方程；（2）求|AB|的最小值【解答】解：（1）由直线 AB 的倾斜角为 ，tan = ，设直线 AB 的方程为：y= x+m，则点 P（0 ，2）到直线 AB 的距离为d= =1，解得 m=0 或 m=4；直线 AB 的方程为 y= x 或 y= x+4；（2）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，则点 P 到直线 AB 的距离为 d= =1，即 k2+1=（m2） 2；由 ，消去 y 得 x2kxm=0，由根与系数的关系得 x1+x2=k，x 1x2=m；|AB| 2=（1+k 2） 4x1x2=（1+k 2） （k 2+4m）= （m2） 2（m 2+3） ，设 f（m）= （m2） 2（m 2+3） ，则 f（m ）=2（m2） （2m 22m+3） ，又 k2+1=（m2） 21，m1 或 m3，当 m（，1时，f （m）0，f（m）是单调减函数；当 m3，+ ）时，f （m ）0 ，f（m）是单调增函数；f（ m） min=f（1）=4，|AB|的最小值为 2
