1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）向量 ，若 ，则 x 的值为（ ）A 3 B1 C1 D32 （5 分）已知函数 f（x）=x +lnx，则 f（1 ）的值为（ ）A1 B2 C1 D 23 （5 分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300 人，现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（ ）A8 B11 C16 D104 （5 分）某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：万元）与月支
2、出 y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份 1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份收入 x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出 Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（ ）A月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系B月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系C月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系D月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系5 （5 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌
3、的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ）A B C D6 （5 分）点集 =（x，y）|0x e ，0y e ，A=（x，y）|ye x， （x，y），在点集 中任取一个元素 a，则 aA 的概率为（ ）A B C D7 （5 分）下列说法错误的是（ ）A “函数 f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件B已知 A，B，C 不共线，若 = ，则 P 是ABC 的重心C命题“ x0R，sinx 01”的否定是：“x R，sinx1”D命题“若 = ，则 cos ”的逆否命题是：“若 cos ，则 ”8 （5 分）过双曲线 的右焦点且
4、垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD 为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（ ）A B C 或 D 或9 （5 分）若双曲线 x2+my2=m（mR）的焦距 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D10 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值等于（ ）A B C D11 （5 分）设函数 f（x ） = x29lnx 在区间a1，a+1上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，2 B4，+） C （ ，2 D （0，312 （5 分）设函数 f（x ） =
5、 sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足x02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，6 ） （6，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ ，2）（2，+） D （，1）（1，+）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知命题“x R，x 2ax+10”为假命题，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB ，切点分别为 A、B，若APB=120，则动点 P 的轨迹方程为 15 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是 16 （5 分）已知函数 f（ x）=
6、e xex+1（e 为自然对数的底数） ，若 f（2x1）+f（ 4x2）2 ，则实数 x 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余各题各 12 分，共 70 分）17 （10 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值18 （12 分）已知关于 x 的二次函数 f（x）=ax 24bx+1（）设集合 A=1，1，2和 B=2，1，1，分别从集合 A，B 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数
7、y=f（x）在区间1 ，+）上是增函数的概率（）设点（a，b）是区域 内的随机点，求函数 f（x）在区间1，+）上是增函数的概率19 （12 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，E 为 AB 的中点，PA平面 ABCD，且 PA=2（1）在棱 PD 上求一点 F，使 AF平面 PEC；（2）求二面角 DPEA 的余弦值20 （12 分）已知函数 f（ x）=e x（ax+b） x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f （0） ）处切线方程为 y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值21 （12 分）已知椭圆
8、 的两个焦点分别为 ，点 M（1， 0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设点 N（3，2） ，记直线 AN， BN 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1+k2 为定值22 （12 分）设函数（1）当 x（0，+） ， 恒成立，求实数 a 的取值范围（2）设 g（x）=f（x）x 在1，e 2上有两个极值点 x1，x 2（A）求实数 a 的取值范围；（B）求证： 2017-2018 学年大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
9、）1 （5 分）向量 ，若 ，则 x 的值为（ ）A 3 B1 C1 D3【解答】解：向量 ， ， =4+4x8=0，解得 x=3故选：D2 （5 分）已知函数 f（x）=x +lnx，则 f（1 ）的值为（ ）A1 B2 C1 D 2【解答】解：f（x）=x+lnx，f（x）=1+f（1）=1 + =2故选 B3 （5 分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300 人，现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（ ）A8 B11 C16 D10【解答】解：设高一学生有 x 人，则高三有 2x，高二有
10、x+300，高一、高二、高三共有学生 3500 人，x+2x+x+300=3500，x=800，按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，应抽取高一学生数为 =8故选 A4 （5 分）某公司在 2014 年上半年的收入 x（单位：万元）与月支出 y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份 1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份收入 x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6支出 Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（ ）A月收入的中位数是 15，x 与 y 有正线性相关关系B月收入的中位数是 17，x 与 y 有负线性相关关系
11、C月收入的中位数是 16，x 与 y 有正线性相关关系D月收入的中位数是 16，x 与 y 有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是 =16，收入增加，支出增加，故 x 与 y 有正线性相关关系，故选：C5 （5 分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ）A B C D【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为 a，b ，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为 A，B ，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的
12、所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中 Ab，Ac，Bc 是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为 = ，故选：A6 （5 分）点集 =（x，y）|0x e ，0y e ，A=（x，y）|ye x， （x，y），在点集 中任取一个元素 a，则 aA 的概率为（ ）A B C D【解答】解：点集 表示的平面区域的面积为： ，集合 A 所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为： 故选：B7 （5 分）下列说法错误的是（ ）A “函数 f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件B已知 A，B，C 不共线，若 = ，则
13、P 是ABC 的重心C命题“ x0R，sinx 01”的否定是：“x R，sinx1”D命题“若 = ，则 cos ”的逆否命题是：“若 cos ，则 ”【解答】解：对于 A，函数 f（x）为奇函数，若 f（0）有意义，则 f（0）=0，则“函数 f（x）为奇函数”是“f（0）=0” 的非充分非必要条件，故 A 错误；对于 B，已知 A，B，C 不共线，若 = ，可得 + = =2 ， （D 为AB 的中点） ，即有 P 在 AB 的中线上，同理 P 也在 BC 的中线上，在 CA 的中线上，则 P 是ABC 的重心，故 B 正确；对于 C，命题 “x0R，sinx 01”的否定是：“x R，
14、 sinx1”，由命题的否定形式，可得 C 正确；对于 D，由逆否命题的形式可得，命题“ 若 = ，则 cos= ”的逆否命题为“若cos ，则 ”，故 D 正确故选：A8 （5 分）过双曲线 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD 为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（ ）A B C 或 D 或【解答】解：设双曲线 的右焦点 F2（c，0） ，令 x=c，可得 y= ，可得 A（c ， ） ，B（c， ） ，又设 D（0，b） ，ABD 为直角三角形，可得DBA=90 ，即 b= 或 BDA=90 ，即 =0，解：b= 可得 a=b，c=
15、，所以 e= = ；由 =0，可得：（c ， ） （c， ）=0，可得 c2+b2 =0，可得 e44e2+2=0，e 1 ，可得 e= ，综上，e= 或 故选：D9 （5 分）若双曲线 x2+my2=m（mR）的焦距 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，双曲线 x2+my2=m（m R）的焦距 4，可得 =2c=4，解可得 m=3，则双曲线的方程为： ，其渐近线方程为：y= x；故选：D10 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值等于（ ）A B C D【解答】解：取 A1C1 的中
16、点 D1，连接 B1D1，AD 1，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1D1面 ACC1A1，则B 1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角，正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等， ，故选 A11 （5 分）设函数 f（x ） = x29lnx 在区间a1，a+1上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，2 B4，+） C （ ，2 D （0，3【解答】解：f（x）= x29lnx，函数 f（x ）的定义域是（ 0，+） ，f（x ）=x ，x0，由 f（x ）=x 0，得 0x3函数 f（x ）= x29lnx 在区间a1，a+1上单调递减， ，
17、解得 1a2故选 A12 （5 分）设函数 f（x ） = sin ，若存在 f（x）的极值点 x0 满足x02+f（x 0） 2m 2，则 m 的取值范围是（ ）A （ ，6 ） （6，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ ，2）（2，+） D （，1）（1，+）【解答】解：由题意可得，f（x 0）= ，即 =k+ ，k z，即 x0= m再由 x02+f（x 0） 2m 2，即 x02+3m 2，可得当 m2 最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为 |m|，m 2 m2+3，m 24 求得 m2，或 m2，故选：C二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13
18、 （5 分）已知命题“x R，x 2ax+10”为假命题，则实数 a 的取值范围是 2， 2 【解答】解：命题“ 存在实数 x，使 x2ax+10”的否定是任意实数 x，使x2ax+10，命题否定是真命题，= （ a） 2402 a 2实数 a 的取值范围是：2，2故答案为：2，214 （5 分）由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB ，切点分别为 A、B，若APB=120，则动点 P 的轨迹方程为 x 2+y2= 【解答】解：连接 OP，AB，OA，OB，PA， PB 是单位圆 O 的切线，PA=PB，OAPA，OBPB，OPA=OPB= APB=60 ，又 OA=OB=1
19、， OP= ，P 点轨迹为以 O 为圆心，以 为半径的圆，P 点轨迹方程为 x2+y2= 故答案为：x 2+y2= 15 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是 【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin +sin+sin 的值，由于 sin ，kZ 的取值周期为 6，且 2017=3366+1，所以 S=sin +sin +sin =336（sin +sin +sin ）+sin =故答案为： 16 （5 分）已知函数 f（ x）=e xex+1（e 为自然对数的底数） ，若 f（2x1）+f（ 4x2）2 ，则实数 x 的取值范围为 （1，3） 【解
20、答】解：根据题意，令 g（x）=f （x）1=e xex，有 g（ x）=f（x）1=e xex=g（x ） ，则 g（x）为奇函数，对于 g（x ）=e xex，其导数 g（x ）=e x+ex0，则 g（x）为增函数，且 g（ 0）=e 0e0=0，f（2x1）+f （ 4x2）2f（2x1） 1f（4 x2）+1f（2x 1）f （4 x2）1g（2x 1）g （x 24） ，又由函数 g（ x）为增函数，则有 2x1x 24，即 x22x30解可得：1x3，即实数 x 的取值范围为（ 1，3） ；故答案为：（1，3） 三、解答题（本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余各题各 1
21、2 分，共 70 分）17 （10 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值【解答】解：（1）直线 AB 的方程是 y=2 （x2） ，与 y2=8x 联立，消去 y 得x25x+4=0，由根与系数的关系得 x1+x2=5由抛物线定义得|AB|=x 1+x2+p=9，（2）由 x25x+4=0，得 x1=1，x 2=4，从而 A（1， 2 ） ，B（4，4 ） 设 =（ x3， y3）=（1，2 ）+（4，4 ）=（4+1，
22、4 2 ） ，又 y2=8x3，即2 （21） 2=8（4+1） ，即（21 ） 2=4+1，解得 =0 或 =218 （12 分）已知关于 x 的二次函数 f（x）=ax 24bx+1（）设集合 A=1，1，2和 B=2，1，1，分别从集合 A，B 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y=f（x）在区间1 ，+）上是增函数的概率（）设点（a，b）是区域 内的随机点，求函数 f（x）在区间1，+）上是增函数的概率【解答】解：要使函数 y=f（x ）在区间1，+）上是增函数，需 a0 且，即 a0 且 2ba（）所有（a，b）的取法总数为 33=9 个满足条件的（a，b）有（ 1， 2） ，
23、 （1，1） ， （2， 2） ， （2， 1） ， （2，1）共 5 个，所以所求概率 （）如图 ，求得区域 的面积为 由 ，求得 所以区域内满足 a0 且 2ba 的面积为所以所求概率 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，E 为 AB 的中点，PA平面 ABCD，且 PA=2（1）在棱 PD 上求一点 F，使 AF平面 PEC；（2）求二面角 DPEA 的余弦值【解答】解：（1）以 BD 为 x 轴，CA 为 y 轴，AC 与 BD 的交点为 O，过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系A（0 ，1 ，0） ，
24、 ，C （0，1，0） ， ，P（0，1，2） ，设 ， ， ，则 =（ ） 设平面 PEC 的法向量为 =（x ，y，z ） ， ， ，则 ， ，取 y=1，得 =（ ，1，1） AF平面 PEC， =3+22=0，解得 ，F 为 PD 中点（2） =（ ， ，0） ， =（ ， ，0） ，设平面 PEA 的法向量 =（x ，y，z） ，则 ，取 x= ，得平面 PEA 的法向量 =（ ， 3，0） ，设平面 PED 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 x= ，得 =（ ） ，cos = = = ，由二面角 DPEA 为锐二面角，因此，二面角 DPEA 的余弦值为 20 （12 分）已
25、知函数 f（ x）=e x（ax+b） x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f （0） ）处切线方程为 y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值【解答】解：（）f（x ）=e x（ax+b） x24x，f（x）=e x（ax+a+b）2x 4，曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4f（ 0）=4，f（0）=4b=4，a+b=8a=4，b=4；（）由（）知，f（x ）=4e x（x+1）x 24x，f（x）=4e x（x+2）2x4=4（x +2）（e x ） ，令 f（x）=0，得 x=ln2 或 x=2x（，2）或（l
26、n2，+）时，f（x ）0；x （2， ln2）时，f （x ）0f（ x）的单调增区间是（ ，2） ， （ ln2，+） ，单调减区间是（2，ln2）当 x=2 时，函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（ 2）=4（1e 2） 21 （12 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 M（1， 0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆 C 的方程；（）过点 M（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设点 N（3，2） ，记直线 AN， BN 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1+k2 为定值【解答】解：（）依题意， ，a 2b2=2，点 M（1， 0）与椭圆短轴的两个
27、端点的连线相互垂直，b=|OM|=1， （3 分）椭圆的方程为 （4 分）（II）当直线 l 的斜率不存在时，由 解得 设 ， ，则 为定值（5 分）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：y=k（x1） 将 y=k（x 1）代入 整理化简，得（3k 2+1）x 26k2x+3k23=0（6 分）依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，则 ， （7 分）又 y1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，所以 = = = （13 分）综上得 k1+k2 为常数 2（14 分）22 （12 分）设函数（1）当 x（0，+） ，
28、恒成立，求实数 a 的取值范围（2）设 g（x）=f（x）x 在1，e 2上有两个极值点 x1，x 2（A）求实数 a 的取值范围；（B）求证： 【解答】解：（1） ，且 x0， 令 ，则 当 a0 时，U（x）0，U（x ）在（1，+）上为单调递增函数，x1 时，U（x ）U（1）=0，不合题意当 0a2 时， 时，U （x）0，U（x）在 上为单调递增函数， ，U（x ）U（1）=0 ，不合题意当 a2 时， ，U （x）0，U（x ）在 上为单调递减函数 时，U（x ）U（1）=0 ，不合题意当 a=2 时，x （0，1 ） ， U（x）0，U （x）在（0，1）上为单调递增函数x（1，
29、+） ，U（x ）0，U（x）在（1 ，+）上为单调递减函数U（x）0，符合题意综上，a=2（2） ，x 1，e 2g（x）=lnxax令 h（x）=g（x） ，则由已知 h（x）=0 在（1，e 2）上有两个不等的实根（A）当 时，h（x）0，h（x）在（1，e 2）上为单调递增函数，不合题意当 a1 时，h （x ）0，h （x ）在（1，e 2）上为单调递减函数，不合题意当 时， ，h（x ）0， ，h（x）0，所以，h（1）0， ，h （e 2）0，解得 （B）证明：由已知 lnx1ax1=0，lnx 2ax2=0，lnx 1lnx2=a（x 1x2） 不妨设 x1x 2，则 ，则= 令 ， （0x1 ） 则 ，G（x ）在（0，1）上为单调递增函数，即 ， ， ， ，由（A） ，ae1 ，2ae2，
