1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分 ）1 （5 分）用“辗转相除法”求得 153 和 68 的最大公约数是（ ）A3 B9 C51 D172 （5 分）已知命题 p：x0，ln（x +1）0；命题 q：若 ab，则 a2b 2，下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q3 （5 分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40名现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A
2、6 B8 C10 D124 （5 分）将直线 x+y=1 变换为直线 2x+3y=6 的一个伸缩变换为（ ）A BC D5 （5 分）k 9 是方程 表示双曲线的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件6 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如表：甲 乙 丙 丁R 0.82 0.78 0.69 0.85M 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性（ ）A甲 B乙 C丙 D丁7 （5 分）命题“n N*，f （n ）n”的
3、否定形式是（ ）A nN*，f（n）n Bn N*，f（n）n CnN *，f（n ）nDnN *，f（n）n8 （5 分）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条件可以为（ ）An 5 Bn6 Cn 7 Dn 89 （5 分）用秦九韶算法计算多项式 f（x ）=3x 4+5x3+6x2+79x8 在 x=4 时的值，V2 的值为（ ）A 845 B220 C57 D3410 （5 分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列说法正确的是（ ）A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ，甲比乙成绩稳定，应选甲
4、参加比赛C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛11 （5 分）已知抛物线 y2=4x，过焦点且倾斜角为 60的直线与抛物线交于A、B 两点，则AOB 的面积为（ ）A B C D12 （5 分）椭圆 C： + =1 的左，右顶点分别为 A1，A 2，点 P 在 C 上，且直线 PA2 斜率的取值范围是 2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）A ， B ， C ，1 D ，1二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）把 89 化成二进制数为 14 （5 分）在随机数模拟试验中，若 x=3*rand（ ） ，y=2
5、*rand（ ） ，（rand（ ）表示生成 0 到 1 之间的随机数） ，共做了 m 次试验，其中有 n次满足 + 1，则椭圆 + =1 的面积可估计为 15 （5 分）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，960 ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间1，420的人做问卷 A，编号落入区间421 ，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 16 （5 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C：=cos+s
6、in，直线 l： （t 为参数）曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，则|PQ|= 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30（）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学A1， A2，A 3，A 4，A 5，3 名女同学 B1，B 2，B 3现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随
7、机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率18 （12 分）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （为参数） ，直线 l 经过定点 P（3，5） ，倾斜角为 （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA| |PB|的值19 （12 分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y（单位：万元）和房屋的面积 x（单位：m 2）的数据：房屋面积 115 110 80 135 105销售价格 24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）求线性回归方程 = x ；（提示：见第（2 ）问下方参考数据）（2）
8、并据（1）的结果估计当房屋面积为 150m2 时的销售价格（精确到 0.1 万元） = i=109， =23.2， （x i ） 2=1570， （x i ） （y i ）=308= ， = 20 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=9（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值21 （12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段40，50） ，50，60） ， ， 90，10
9、0后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格） ，众数和中位数；（保留整数）22 （12 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 C： +y2=1 的左、右焦点（1）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点， = ，求点 P 的坐标；（2）设过定点 M（0，2 ）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围2017-2018 学大庆高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项正确，每
10、小题 5 分，共 60 分 ）1 （5 分）用“辗转相除法”求得 153 和 68 的最大公约数是（ ）A3 B9 C51 D17【解答】解：用“ 辗转相除法” 可得：153=68 2+17，68=17 4153 和 68 的最大公约数是 17故选：D2 （5 分）已知命题 p：x0，ln（x +1）0；命题 q：若 ab，则 a2b 2，下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q【解答】解：命题 p：x0，ln（x +1）0，则命题 p 为真命题，则p 为假命题；取 a=1，b= 2，ab，但 a2b 2，则命题 q 是假命题，则q 是真命题pq 是假命题，p q 是真命
11、题，pq 是假命题， p q 是假命题故选 B3 （5 分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40名现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A6 B8 C10 D12【解答】解：高一年级有 30 名，在高一年级的学生中抽取了 6 名，故每个个体被抽到的概率是 =高二年级有 40 名，要抽取 40 =8，故选：B4 （5 分）将直线 x+y=1 变换为直线 2x+3y=6 的一个伸缩变换为（ ）A BC D【解答】解：根据题意，设这个伸缩变化为 ，若将直线 x+y=1 变换为直线
12、 2x+3y=6，即 x+ y=1，则有 m=3，n=2；即 ，故选：A5 （5 分）k 9 是方程 表示双曲线的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件【解答】解：k9，9k0，k40，方程 表示双曲线，方程 表示双曲线，（9k ） （k 4）0，解得 k9 或 k4，k9 是方程 表示双曲线的充分不必要条件故选：B6 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如表：甲 乙 丙 丁R 0.82 0.78 0.69 0.85M 106 115 124 103则哪位同学的试验
13、结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于 1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性，故选 D7 （5 分）命题“n N*，f （n ）n”的否定形式是（ ）A nN*，f（n）n Bn N*，f（n）n CnN *，f（n ）nDnN *，f（n）n【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ nN*，f（n）n”的否定形式： nN*，f（n ）n故选：C8 （5
14、分）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条件可以为（ ）An 5 Bn6 Cn 7 Dn 8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=2+22+2n 的值，由于 S=2+22+26=126，故中应填 n6故选：B9 （5 分）用秦九韶算法计算多项式 f（x ）=3x 4+5x3+6x2+79x8 在 x=4 时的值，V2 的值为（ ）A 845 B220 C57 D34【解答】解：由于函数 f（x ）=3x 4+5x3+6x2+79x8=（3x+5）x+6）x +79）x8，当 x=4 时，分别算出 v0=3，v1=43+
15、5=7，v24（7）+6=34，故选：D10 （5 分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列说法正确的是（ ）A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是 =82，乙的平均数是 =87乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选 D11 （5 分）已知抛物线 y2=4x，过焦点且倾斜角为 60的直线与抛物线交于A、B 两点，则AOB 的面积为（ ）A B C
16、 D【解答】解：根据抛物线 y2=4x 方程得：焦点坐标 F（1，0） ，直线 AB 的斜率为 k=tan60=由直线方程的点斜式方程，设 AB：y= （x1）将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x1） 2=4x整理得：3x 210x+3=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）由一元二次方程根与系数的关系得：x 1+x2= ，x 1x2=1，所以弦长|AB|= |x1x2|= = O 到直线的距离为：d= = ，AOB 的面积为： = 故选：C12 （5 分）椭圆 C： + =1 的左，右顶点分别为 A1，A 2，点 P 在 C 上，且直线 PA2 斜率的取值范围是 2，1，那
17、么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）A ， B ， C ，1 D ，1【解答】解：由椭圆 C： + =1 可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点A2（ 2，0 ） 设 P（ x0，y 0） （x 02） ，则得 = = ， =kPA1= ， = = = 直线 PA2 斜率的取值范围是 2，1，直线 PA1 斜率的取值范围是 ， 故选：A二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）把 89 化成二进制数为 1011001 （2 ） 【解答】解：利用“ 除 2 取余法”可得：89 （10 ） =1011001（2） 故答案为：1011001 （2） 14 （
18、5 分）在随机数模拟试验中，若 x=3*rand（ ） ，y=2*rand（ ） ，（rand（ ）表示生成 0 到 1 之间的随机数） ，共做了 m 次试验，其中有 n次满足 + 1，则椭圆 + =1 的面积可估计为 【解答】解：根据题意：满足条件 + 1 的点（x，y）的概率是 ，设阴影部分的面积为 S，则有 = ，S= 故答案为： 15 （5 分）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，960 ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间1，420的人做问卷 A，编号落入区间421 ，750的
19、人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 11 【解答】解：根据系统抽样的定义确定抽样间隔为 96032=30，第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，则抽到号码数为 an=9+30（ n1）=30n 21，由 42130n 21750，解得 14 n25 ，n 的取值为 11，编号落入区间421，450内的人数为 11故答案为：1116 （5 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C：=cos+sin，直线 l： （t 为参数）曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，则|PQ|= 【解答】解：曲线 C：=c
20、os+sin，转化为直角坐标方程为：x 2+y2xy=0把直线 l （t 为参数） 代入圆的方程得到： ，则： ， 则：|PQ|=|t 1t2|= = 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30（）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学A1， A2，A 3，A 4，A 5，3
21、 名女同学 B1，B 2，B 3现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率【解答】解：（）设“ 至少参加一个社团” 为事件 A；从 45 名同学中任选一名有 45 种选法，基本事件数为 45；通过列表可知事件 A 的基本事件数为 8+2+5=15；这是一个古典概型，P（A）= ；（）从 5 名男同学中任选一个有 5 种选法，从 3 名女同学中任选一名有 3 种选法；从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的选法有 53=15，即基本事件总数为 15；设“A 1 被选中，而 B1 未被选中 ”为事件 B，显然事件 B 包含的基本事
22、件数为 2；这是一个古典概型， 18 （12 分）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （为参数） ，直线 l 经过定点 P（3，5） ，倾斜角为 （1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA| |PB|的值【解答】解：（）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 ，得曲线 C 的普通方程：（ x1） 2+（y2） 2=16；直线 l 经过定点 P（3，5） ，倾斜角为 ，直线 l 的参数方程为： ，t 为参数（）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程，得 t2+（2+3 ）t 3=0，设 t1、
23、t 2 是方程的两个根，则 t1t2=3，|PA| |PB|=|t1|t2|=|t1t2|=319 （12 分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y（单位：万元）和房屋的面积 x（单位：m 2）的数据：房屋面积 115 110 80 135 105销售价格 24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）求线性回归方程 = x ；（提示：见第（2 ）问下方参考数据）（2）并据（1）的结果估计当房屋面积为 150m2 时的销售价格（精确到 0.1 万元） = i=109， =23.2， （x i ） 2=1570， （x i ） （y i ）=308= ， = 【解答】解：（1） = xi=
24、109， =23.2，（x i ） 2=1570， （x i ） （y i ）=308 ，则 = 0.1962，= =23.20.1962109=1.8142故所求回时直线方程为 =0.1962x+1.8142（2）由（1）得：当 x=150 时，销售价格的估计值为=0.196150+1.8142=31.244231.2（万元） 答：当房屋面积为 150 m2 时的销售价格估计为 31.2（万元） 20 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=9（1）求该抛物线的方程；（
25、2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值【解答】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（ ，0） ，故直线 AB 的方程为 y=2 x p，联立 ，可得 4x25px+p2=0x 1x 2，p 0，=25p 216p2=9p20，解得 ，x 2=p经过抛物线焦点的弦|AB|=x 1+x2+p= p=9，解得 p=4抛物线方程为 y2=8x；（2）由（1）知，x 1=1，x 2=4，代入直线 y=2 x4 ，可求得 ， ，即 A（1， 2 ） ，B（4，4 ） ， = + =（1， 2 ）+ （4，4 ）= （4 +1，4 2 ） ，C （4+1， 4 2 ） ，C 点在抛
26、物线上，故 ，解得：=0 或 =221 （12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段40，50） ，50，60） ， ， 90，100后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格） ，众数和中位数；（保留整数）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率：f4=1（0.025 +0.0152+0.01+0.005）10=0.03，补全频率分布直方图如图所示；（2）依题意，60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和
27、为（0.015+0.03+0.025+0.005）10=0.75，所以抽样学生成绩的及格率是 75%，众数为最高小矩形底边的中点，是 75；由 0.1+0.15+0.15=0.4，0.4+0.3=0.7，中位数在70，80）内，设中位数为 x，则（x70）0.03+0.4=0.5，解 x73.3；估计中位数是 73.3 分22 （12 分）已知 F1、F 2 分别是椭圆 C： +y2=1 的左、右焦点（1）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点， = ，求点 P 的坐标；（2）设过定点 M（0，2 ）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围【解答】解：（1）因为椭圆方程为 ，知 a=2，b=1， ，可得 ， ，设 P（ x，y） （x0，y0） ，则 ，又 ，联立 ，解得 ，即为 ；（2）显然 x=0 不满足题意，可设 l 的方程为 y=kx+2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，由= （ 16k） 24（1+4k 2） 120，得 ， 又AOB 为锐角，即为 ，即 x1x2+y1y20，x 1x2+（kx 1+2） （kx 2+2）0，又 ，可得 k24又 ，即为 ，解得
