1、2017-2018 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx=1 Cx= 2 Dx=22 （5 分）数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，则此数列的第 3 项是（ ）A15 B255 C20 D313 （5 分）命题“x 0R， f（x 0）0”的否定是（ ）Ax 0R，f（x 0）0 BxR ，f（x）0 Cx R，f（x ）0DxR，f（x）04 （5 分）在等差数列a n中
2、，a 2=5，a 6=17，则 a14=（ ）A45 B41 C39 D375 （5 分）实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b 的最小值是（ ）A18 B6 C2 D26 （5 分）设 ， 是非零向量， “ =| | |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）F 1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦AB，若AF 1B 的周长为 16，椭圆的离心率 ，则椭圆的方程是（ ）A BC D8 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分
3、）椭圆 中，以点 M（ 2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A B C D10 （5 分）O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B2 C2 D411 （5 分）与曲线 =1 共焦点，而与曲线 =1 共渐近线的双曲线方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =112 （5 分）当|m|1 时，不等式 12xm（x 21）恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B C （ 3，1） D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）不等式 的解集是 14 （5
4、 分）若等比数列a n满足 a2+a4=20，a 3+a5=40，则数列a n的前 n 项和Sn= 15 （5 分）方程 表示焦点在 x 轴上椭圆，则实数 k 的取值范围是 16 （5 分）已知数列a n中，a 1=1，a n=3an1+4（nN* 且 n2） ，则数列a n的通项公式为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）命题 p：关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根，命题 q：函数 f（x）=logax 在（0，+）上单调递增，若“pq”为假命题， “pq” 为真命题，求实数a 的取值范围18 （12 分）
5、解关于 x 的不等式 2ax2（2a+1）x+10（a0） 19 （12 分）已知 x0，y0，且 2x+8yxy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值20 （12 分）已知点 P 为曲线 C：x 2+y2=4 上的任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在曲线 C 上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程，并说明点 M 轨迹是什么？21 （12 分）已知各项都为整数的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S5=35，且a2， a3+1，a 6 成等比数列（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，且数列b n的前 n 项和为 Tn，求证
6、：T n 22 （12 分）如图，椭圆的两顶点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，过其焦点 F（0，1）的直线 l 与椭圆交于 C，D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点Q（1）当|CD|= 时，求直线 l 的方程；（2）当点 P 异于 A，B 两点时，求证：点 P 与点 Q 横坐标之积为定值2017-2018 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx=1 Cx=
7、2 Dx=2【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y2=4x，其开口向右，且 p=2，则其准线方程为：x= 1；故选：A2 （5 分）数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，则此数列的第 3 项是（ ）A15 B255 C20 D31【解答】解：数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31故选：D3 （5 分）命题“x 0R， f（x 0）0”的否定是（ ）Ax 0R，f（x 0）0 BxR ，f（x）0 Cx R，f（x ）0DxR，f（x）0【解答】解：命题“ x0R，f （x 0）0” 是
8、特称命题否定命题为：xR ，f （x ）0故选 C4 （5 分）在等差数列a n中，a 2=5，a 6=17，则 a14=（ ）A45 B41 C39 D37【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，由 a2=5，a 6=17 得， =3，则 a14=a6+（146）3=17+24=41 ，故选：B5 （5 分）实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b 的最小值是（ ）A18 B6 C2 D2【解答】解：实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b2 =2=2 =6，当且仅当 a=b=1 时，取得等号，即 3a+3b 的最小值是 6故选：B6 （5 分）设 ， 是非零向量， “ =|
9、| |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：（1） ； 时，cos =1； ； ；“ ”是“ ”的充分条件；（2） 时， 的夹角为 0 或 ； ，或 ；即 得不到 ；“ ”不是“ ”的必要条件；总上可得“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A7 （5 分）F 1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦AB，若AF 1B 的周长为 16，椭圆的离心率 ，则椭圆的方程是（ ）A BC D【解答】解：由椭圆的定义，4a=16 ，a=4 ，又e= = ， c=2 ，b 2=a2c2=4，则椭圆的方程是故选 D8 （5 分）设变
10、量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B（1，1）时，直线 y=的截距最小，此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，故选：B9 （5 分）椭圆 中，以点 M（ 2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A B C D【解答】解：设弦的两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，点 M（ 2，1）为 AB 的中点，x 1+x2=4，y 1+y2=2A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，代入椭
11、圆得 ，两式相减得 + =0，可得 = ，即 k= = ，弦所在的直线的斜率为 ，故选：D10 （5 分）O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B2 C2 D4【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4 x2p=4 ，可得 = ，得焦点 F（ ）设 P（ m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ，即 m+ =4 ，解得 m=3点 P 在抛物线 C 上，得 n2=4 3 =24n= =|OF|=POF 的面积为 S= |OF|n|= =2故选：C11 （5 分）与曲线 =1 共焦点，而与曲线 =1
12、 共渐近线的双曲线方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【解答】解：由题意得，曲线 =1 是焦点在 y 轴上的椭圆，且c= = =5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5） 、 （0，5） ，因为双曲线与曲线 =1 共渐近线，所以设双曲线方程为，即 ，则6436=25 ，解得 = ，所以双曲线方程为 ，故选：A12 （5 分）当|m|1 时，不等式 12xm（x 21）恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B C （ 3，1） D【解答】解：构造函数 f（m）=（x 21）m+2x1，则由题意 f（m ）在 1，1上恒大于 0， ， ，1 + x2故选：B二、填空题（本大题
13、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）不等式 的解集是 【解答】解：原不等式等价于等价于 x（2x1）0解得故答案为（ ）14 （5 分）若等比数列a n满足 a2+a4=20，a 3+a5=40，则数列a n的前 n 项和Sn= 2 n+12 【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 2+a4=20，a 3+a5=40，a 3+a5=40=q（a 2+a4）=20q ，解得 q=2，20=a 2+a4=a1（2+2 3） ，解得 a1=2则数列a n的前 n 项和 Sn= =2n+12故答案为：2 n+1215 （5 分）方程 表示焦点在 x 轴上椭圆，则实数 k
14、的取值范围是 （ ，1） 【解答】解：方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，2 k2k 10，解得 k1实数 k 的取值范围是（ ，1） 故答案为：（ ，1） 16 （5 分）已知数列a n中，a 1=1，a n=3an1+4（nN* 且 n2） ，则数列a n的通项公式为 a n=3n2 【解答】解：数列a n中， a1=1，a n=3an1+4（nN*且 n2） ，可得 an+2=3（ an1+2） ，则数列a n+2为首项为 3，公比为 3 的等比数列，可得 an+2=33n1=3n，即有 an=3n2故答案为：a n=3n2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字
15、说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）命题 p：关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根，命题 q：函数 f（x）=logax 在（0，+）上单调递增，若“pq”为假命题， “pq” 为真命题，求实数a 的取值范围【解答】解：若 x2+ax+2=0 无实数根，则判别式=a 280，得2 a 2 ，即 p：2 a2 ，函数 f（ x）=log ax 在（0，+）上单调递增，则 a1，即 q：a1，若“pq”为假命题， “pq”为真命题，则 p，q 一个为真一个为假，若 p 真 q 假，则 ，即2 a1 ，若 p 假 q 真，则 ，得 a2 ，综上实数 a 的取值范围是 a2 或2 a
16、118 （12 分）解关于 x 的不等式 2ax2（2a+1）x+10（a0） 【解答】解：根据题意，因为 a0，则 2ax2（2a +1）x+10（2ax 1） （x1）0（x ） （x1）0，则方程 2ax2（2a+1）x+1=0 有两个根，为 x1= ，x 2=1，分 3 种情况讨论：， 1，即 a 时，不等式的解集为x |x1 或 x ；， =1，即 a= 时，不等式的解集为x|x 1；， 1，即 0a 时，不等式的解集为x |x 或 x1；综合可得：当 0a 时，不等式的解集为x |x 或 x1；当 a= 时，不等式的解集为x|x1；当 a 时，不等式的解集为x|x 1 或 x 19
17、 （12 分）已知 x0，y0，且 2x+8yxy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值【解答】解：（1）x 0，y0，2x+8y xy=0，xy=2x +8y2 ， 8，xy64当且仅当 x=4y=16 时取等号故 xy 的最小值为 64（2）由 2x+8y=xy，得： + =1，又 x0，y0，x+y=（x+y ）（ + ）=10+ + 10+2 =18当且仅当 x=2y=12 时取等号故 x+y 的最小值为 1820 （12 分）已知点 P 为曲线 C：x 2+y2=4 上的任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在曲线 C 上运动时，求线段
18、PD 的中点 M 的轨迹方程，并说明点 M 轨迹是什么？【解答】解：设 P（x 0，y 0） ，M（x，y ） ，D （x 0，0） ，M 是 PD 的中点， ，又 P 在圆 x2+y2=4 上，x 02+y02=4，即 x2+4y2=4， +y2=1线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 +y2=1轨迹是椭圆21 （12 分）已知各项都为整数的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S5=35，且a2， a3+1，a 6 成等比数列（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，且数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：T n 【解答】 （1）解：设等差数列a n的公差为 d，a 2，a 3+
19、1，a 6 成等比数列，（a 3+1） 2=a2a6，S 5=35， =5a3=35，解得 a3=7， ，又 d 为整数，解得 a1=1，d=3，a n=1+3（n 1）=3n 2（2）证明：b n= = ，T n= + + + ，3Tn=1+ + + ，两式相减可得 2Tn=1+ + + =1+3 ，化简可得 Tn= ，T n 22 （12 分）如图，椭圆的两顶点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，过其焦点 F（0，1）的直线 l 与椭圆交于 C，D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点Q（1）当|CD|= 时，求直线 l 的方程；（2）当点 P 异于 A，B 两点
20、时，求证：点 P 与点 Q 横坐标之积为定值【解答】解：（1）由椭圆的焦点在 y 轴上， （ab0） ，由b=1，c=1 ，则 a= ，椭圆的标准方程： ；当直线的斜率不存在时，|CD|=2 ，与题意不符，设直线 l 的方程为 y=kx+1，C（x 1，y 1） ，D （x 2，y 2） ，整理得（k 2+2）x 2+2kx1=0，则 x1+x2= ，x 1x2= ，|CD|= = = ，解得 k= 直线 l 的方程为 xy+1=0 或 x+y1=0；（2）当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 y=kx+1， （k0，k 1） ，设 C（ x1，y 1） ，D （x 2，y 2） ，P 的坐标为（ ，0） ，x P= ，由（1）可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，直线 AC 的方程为 y= （x+1）则直线 BD 的方程为 y= （x 1）联立，解得：x= ，由 y1=kx1+1，y 2=kx2+1，代入上式得：x= ，不妨设 x1x 2，|x 1x2|=，x 1x2= ，又 x1+x2= ，x 1x2= ，代入化简得 x=k，故点 Q 的横坐标为 k，则 xPxQ= （k）=1，即点 P 与点 Q 横坐标之积为定值
