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2017-2018学年甘肃省张掖市高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

1、2017-2018 学年甘肃省张掖市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)抛物线 y2=4x 的准线方程是( )Ax=1 Bx=1 Cx= 2 Dx=22 (5 分)数列a n满足 an=4an1+3(n2 且 nN*) ,a 1=1,则此数列的第 3 项是( )A15 B255 C20 D313 (5 分)命题“x 0R, f(x 0)0”的否定是( )Ax 0R,f(x 0)0 BxR ,f(x)0 Cx R,f(x )0DxR,f(x)04 (5 分)在等差数列a n中

2、,a 2=5,a 6=17,则 a14=( )A45 B41 C39 D375 (5 分)实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( )A18 B6 C2 D26 (5 分)设 , 是非零向量, “ =| | |”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 (5 分)F 1,F 2 为椭圆 的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦AB,若AF 1B 的周长为 16,椭圆的离心率 ,则椭圆的方程是( )A BC D8 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( )A2 B3 C4 D59 (5 分

3、)椭圆 中,以点 M( 2,1)为中点的弦所在的直线斜率为( )A B C D10 (5 分)O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y 2=4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 ,则POF 的面积为( )A2 B2 C2 D411 (5 分)与曲线 =1 共焦点,而与曲线 =1 共渐近线的双曲线方程为( )A =1 B =1 C =1 D =112 (5 分)当|m|1 时,不等式 12xm(x 21)恒成立,则 x 的取值范围是( )A ( 1,3) B C ( 3,1) D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)不等式 的解集是 14 (5

4、 分)若等比数列a n满足 a2+a4=20,a 3+a5=40,则数列a n的前 n 项和Sn= 15 (5 分)方程 表示焦点在 x 轴上椭圆,则实数 k 的取值范围是 16 (5 分)已知数列a n中,a 1=1,a n=3an1+4(nN* 且 n2) ,则数列a n的通项公式为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)命题 p:关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根,命题 q:函数 f(x)=logax 在(0,+)上单调递增,若“pq”为假命题, “pq” 为真命题,求实数a 的取值范围18 (12 分)

5、解关于 x 的不等式 2ax2(2a+1)x+10(a0) 19 (12 分)已知 x0,y0,且 2x+8yxy=0,求:(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值20 (12 分)已知点 P 为曲线 C:x 2+y2=4 上的任意一点,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在曲线 C 上运动时,求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程,并说明点 M 轨迹是什么?21 (12 分)已知各项都为整数的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S5=35,且a2, a3+1,a 6 成等比数列(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,且数列b n的前 n 项和为 Tn,求证

6、:T n 22 (12 分)如图,椭圆的两顶点 A( 1,0) ,B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点Q(1)当|CD|= 时,求直线 l 的方程;(2)当点 P 异于 A,B 两点时,求证:点 P 与点 Q 横坐标之积为定值2017-2018 学年甘肃省张掖市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)抛物线 y2=4x 的准线方程是( )Ax=1 Bx=1 Cx=

7、2 Dx=2【解答】解:根据题意,抛物线的方程为 y2=4x,其开口向右,且 p=2,则其准线方程为:x= 1;故选:A2 (5 分)数列a n满足 an=4an1+3(n2 且 nN*) ,a 1=1,则此数列的第 3 项是( )A15 B255 C20 D31【解答】解:数列a n满足 an=4an1+3(n2 且 nN*) ,a 1=1,a2=4a1+3=7,a3=4a2+3=31故选:D3 (5 分)命题“x 0R, f(x 0)0”的否定是( )Ax 0R,f(x 0)0 BxR ,f(x)0 Cx R,f(x )0DxR,f(x)0【解答】解:命题“ x0R,f (x 0)0” 是

8、特称命题否定命题为:xR ,f (x )0故选 C4 (5 分)在等差数列a n中,a 2=5,a 6=17,则 a14=( )A45 B41 C39 D37【解答】解:设等差数列a n的公差为 d,由 a2=5,a 6=17 得, =3,则 a14=a6+(146)3=17+24=41 ,故选:B5 (5 分)实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( )A18 B6 C2 D2【解答】解:实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b2 =2=2 =6,当且仅当 a=b=1 时,取得等号,即 3a+3b 的最小值是 6故选:B6 (5 分)设 , 是非零向量, “ =|

9、| |”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:(1) ; 时,cos =1; ; ;“ ”是“ ”的充分条件;(2) 时, 的夹角为 0 或 ; ,或 ;即 得不到 ;“ ”不是“ ”的必要条件;总上可得“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A7 (5 分)F 1,F 2 为椭圆 的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦AB,若AF 1B 的周长为 16,椭圆的离心率 ,则椭圆的方程是( )A BC D【解答】解:由椭圆的定义,4a=16 ,a=4 ,又e= = , c=2 ,b 2=a2c2=4,则椭圆的方程是故选 D8 (5 分)设变

10、量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( )A2 B3 C4 D5【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由 z=x+2y,得 y= ,平移直线 y= ,由图象可知当直线 y= 经过点 B(1,1)时,直线 y=的截距最小,此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3,故选:B9 (5 分)椭圆 中,以点 M( 2,1)为中点的弦所在的直线斜率为( )A B C D【解答】解:设弦的两端点为 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,点 M( 2,1)为 AB 的中点,x 1+x2=4,y 1+y2=2A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,代入椭

11、圆得 ,两式相减得 + =0,可得 = ,即 k= = ,弦所在的直线的斜率为 ,故选:D10 (5 分)O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y 2=4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 ,则POF 的面积为( )A2 B2 C2 D4【解答】解:抛物线 C 的方程为 y2=4 x2p=4 ,可得 = ,得焦点 F( )设 P( m,n)根据抛物线的定义,得|PF|=m+ =4 ,即 m+ =4 ,解得 m=3点 P 在抛物线 C 上,得 n2=4 3 =24n= =|OF|=POF 的面积为 S= |OF|n|= =2故选:C11 (5 分)与曲线 =1 共焦点,而与曲线 =1

12、 共渐近线的双曲线方程为( )A =1 B =1 C =1 D =1【解答】解:由题意得,曲线 =1 是焦点在 y 轴上的椭圆,且c= = =5,所以双曲线焦点的坐标是(0、5) 、 (0,5) ,因为双曲线与曲线 =1 共渐近线,所以设双曲线方程为,即 ,则6436=25 ,解得 = ,所以双曲线方程为 ,故选:A12 (5 分)当|m|1 时,不等式 12xm(x 21)恒成立,则 x 的取值范围是( )A ( 1,3) B C ( 3,1) D【解答】解:构造函数 f(m)=(x 21)m+2x1,则由题意 f(m )在 1,1上恒大于 0, , ,1 + x2故选:B二、填空题(本大题

13、共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)不等式 的解集是 【解答】解:原不等式等价于等价于 x(2x1)0解得故答案为( )14 (5 分)若等比数列a n满足 a2+a4=20,a 3+a5=40,则数列a n的前 n 项和Sn= 2 n+12 【解答】解:设等比数列a n的公比为 q,a 2+a4=20,a 3+a5=40,a 3+a5=40=q(a 2+a4)=20q ,解得 q=2,20=a 2+a4=a1(2+2 3) ,解得 a1=2则数列a n的前 n 项和 Sn= =2n+12故答案为:2 n+1215 (5 分)方程 表示焦点在 x 轴上椭圆,则实数 k

14、的取值范围是 ( ,1) 【解答】解:方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆,2 k2k 10,解得 k1实数 k 的取值范围是( ,1) 故答案为:( ,1) 16 (5 分)已知数列a n中,a 1=1,a n=3an1+4(nN* 且 n2) ,则数列a n的通项公式为 a n=3n2 【解答】解:数列a n中, a1=1,a n=3an1+4(nN*且 n2) ,可得 an+2=3( an1+2) ,则数列a n+2为首项为 3,公比为 3 的等比数列,可得 an+2=33n1=3n,即有 an=3n2故答案为:a n=3n2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字

15、说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)命题 p:关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根,命题 q:函数 f(x)=logax 在(0,+)上单调递增,若“pq”为假命题, “pq” 为真命题,求实数a 的取值范围【解答】解:若 x2+ax+2=0 无实数根,则判别式=a 280,得2 a 2 ,即 p:2 a2 ,函数 f( x)=log ax 在(0,+)上单调递增,则 a1,即 q:a1,若“pq”为假命题, “pq”为真命题,则 p,q 一个为真一个为假,若 p 真 q 假,则 ,即2 a1 ,若 p 假 q 真,则 ,得 a2 ,综上实数 a 的取值范围是 a2 或2 a

16、118 (12 分)解关于 x 的不等式 2ax2(2a+1)x+10(a0) 【解答】解:根据题意,因为 a0,则 2ax2(2a +1)x+10(2ax 1) (x1)0(x ) (x1)0,则方程 2ax2(2a+1)x+1=0 有两个根,为 x1= ,x 2=1,分 3 种情况讨论:, 1,即 a 时,不等式的解集为x |x1 或 x ;, =1,即 a= 时,不等式的解集为x|x 1;, 1,即 0a 时,不等式的解集为x |x 或 x1;综合可得:当 0a 时,不等式的解集为x |x 或 x1;当 a= 时,不等式的解集为x|x1;当 a 时,不等式的解集为x|x 1 或 x 19

17、 (12 分)已知 x0,y0,且 2x+8yxy=0,求:(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值【解答】解:(1)x 0,y0,2x+8y xy=0,xy=2x +8y2 , 8,xy64当且仅当 x=4y=16 时取等号故 xy 的最小值为 64(2)由 2x+8y=xy,得: + =1,又 x0,y0,x+y=(x+y )( + )=10+ + 10+2 =18当且仅当 x=2y=12 时取等号故 x+y 的最小值为 1820 (12 分)已知点 P 为曲线 C:x 2+y2=4 上的任意一点,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在曲线 C 上运动时,求线段

18、PD 的中点 M 的轨迹方程,并说明点 M 轨迹是什么?【解答】解:设 P(x 0,y 0) ,M(x,y ) ,D (x 0,0) ,M 是 PD 的中点, ,又 P 在圆 x2+y2=4 上,x 02+y02=4,即 x2+4y2=4, +y2=1线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 +y2=1轨迹是椭圆21 (12 分)已知各项都为整数的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S5=35,且a2, a3+1,a 6 成等比数列(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,且数列b n的前 n 项和为 Tn,求证:T n 【解答】 (1)解:设等差数列a n的公差为 d,a 2,a 3+

19、1,a 6 成等比数列,(a 3+1) 2=a2a6,S 5=35, =5a3=35,解得 a3=7, ,又 d 为整数,解得 a1=1,d=3,a n=1+3(n 1)=3n 2(2)证明:b n= = ,T n= + + + ,3Tn=1+ + + ,两式相减可得 2Tn=1+ + + =1+3 ,化简可得 Tn= ,T n 22 (12 分)如图,椭圆的两顶点 A( 1,0) ,B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点Q(1)当|CD|= 时,求直线 l 的方程;(2)当点 P 异于 A,B 两点

20、时,求证:点 P 与点 Q 横坐标之积为定值【解答】解:(1)由椭圆的焦点在 y 轴上, (ab0) ,由b=1,c=1 ,则 a= ,椭圆的标准方程: ;当直线的斜率不存在时,|CD|=2 ,与题意不符,设直线 l 的方程为 y=kx+1,C(x 1,y 1) ,D (x 2,y 2) ,整理得(k 2+2)x 2+2kx1=0,则 x1+x2= ,x 1x2= ,|CD|= = = ,解得 k= 直线 l 的方程为 xy+1=0 或 x+y1=0;(2)当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+1, (k0,k 1) ,设 C( x1,y 1) ,D (x 2,y 2) ,P 的坐标为( ,0) ,x P= ,由(1)可知:x 1+x2= ,x 1x2= ,直线 AC 的方程为 y= (x+1)则直线 BD 的方程为 y= (x 1)联立,解得:x= ,由 y1=kx1+1,y 2=kx2+1,代入上式得:x= ,不妨设 x1x 2,|x 1x2|=,x 1x2= ,又 x1+x2= ,x 1x2= ,代入化简得 x=k,故点 Q 的横坐标为 k,则 xPxQ= (k)=1,即点 P 与点 Q 横坐标之积为定值