1、2017-2018 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，B=0，2，4，则 AB= 2 （5 分）函数 y=lg（2x）的定义域是 3 （5 分）若 =240，则 sin（150）的值等于 4 （5 分）已知角 的终边经过点 P（ 2，4） ，则 sincos 的值等于 5 （5 分）已知向量 =（ m，5） ， =（4，n ） ， =（7，6） ，则 m+n 的值为 6 （5 分）已知函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）的值为 7
2、（5 分） 九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为 20 米，径长（两段半径的和）为 24 米，则该扇形田的面积为 平方米8 （5 分）已知函数 f（x）= ，则函数 g（x）=f（x）2 的零点个数为 9 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+ax+2（a 0）在区间0，2上的最大值等于 8，则函数 y=f（x） （x 2，1）的值域为 10 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数，则实数 m 的值等于 11 （5 分）如图，在梯形 ABCD 中
3、， =2 ，P 为线段 CD 上一点，且=3 ，E 为 BC 的中点，若 =1 +2 （ 1， 2R） ，则 1+2 的值为 12 （5 分）已知 tan（ ）=2，则 sin（2 ）的值等于 13 （5 分）将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 （0）倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=f（x ）的图象，若函数 y=f（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，则 的取值范围为 14 （5 分）已知 x，y 为非零实数，（ ） ，且同时满足： =， = ，则 cos 的值等于 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，
4、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x24x0，B=x|mx m+2（1）若 m=3，求 UB 和 AB ；（2）若 BA，求实数 m 的取值范围；（3）若 AB= ，求实数 m 的取值范围16 （14 分）已知函数 f（ x）=a+ 的图象过点（1， ） （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若 ，求实数 x 的取值范围17 （14 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，AB=2（1）若ABC 为等边三角形，且 ADBC ，E 是 CD 的中点，求 ；（2）若 AC=AB，cos ， = ，求| |18 （16 分）某
5、地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草） 已知该扇形 OAB 的半径为 200 米，圆心角AOB=60，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，点 P 在弧 AB 上，设POB=（1）若矩形 MNPQ 是正方形，求 tan 的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从 P 点处向 OA， OB 修建两条观赏通道 PS 和PT（宽度不计） ，使 PS OA，PTOB，其中 PT 依 PN 而建，为让市民有更多时
6、间观赏，希望 PS+PT 最长，试问：此时点 P 应在何处？说明你的理由19 （16 分）已知 =（2cosx，1） ， =（ sinx+cosx，1） ，函数 f（x）= （1）求 f（x）在区间0， 上的最大值和最小值；（2）若 f（x 0）= ，x 0 ，求 cos2x0 的值；（3）若函数 y=f（x）在区间（ ）上是单调递增函数，求正数 的取值范围20 （16 分）已知函数 f（ x）=x|x a|+bx（a ，b R） （1）当 b=1 时，函数 f（x ）恰有两个不同的零点，求实数 a 的值；（2）当 b=1 时，若对于任意 x1，3，恒有 ，求 a 的取值范围；若 a0，求函数
7、 f（x ）在区间0，2上的最大值 g（a） 2017-2018 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，B=0，2，4，则 AB= 0，2 【解答】解：集合 A=0，1，2，B=0，2，4 ，AB=0，2故答案为：0，22 （5 分）函数 y=lg（2x）的定义域是 （，2 ） 【解答】解：由 2x0，得 x2函数 y=lg（ 2x）的定义域是（，2） 故答案为：（，2） 3 （5 分）若 =240，则 sin（150）的
8、值等于 1 【解答】解：=240，则 sin（150）=sin（90）=sin90= 1，故答案为：14 （5 分）已知角 的终边经过点 P（ 2，4） ，则 sincos 的值等于 【解答】解：角 的终边经过点 P（ 2，4） ，x= 2，y=4，r=|OP |=2 ，sin= = ，cos= = ，则 sincos= ，故答案为： 5 （5 分）已知向量 =（ m，5） ， =（4，n ） ， =（7，6） ，则 m+n 的值为 8 【解答】解：向量 =（ m，5） ， =（4，n ） ， =（7，6） ， ，即（7，6）=（4m，n5） ， ，解得 m=3，n=11，m+n=8故答案为：
9、86 （5 分）已知函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）的值为 2 【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 2）= =1，f（f（2） ）=f（1）=2e 11=2故答案为：27 （5 分） 九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为 20 米，径长（两段半径的和）为 24 米，则该扇形田的面积为 120 平方米【解答】解：由题意可得：弧长 l=20，半径 r=12，扇形面积 S= lr= 2012=120（平方米） ，故答案为：1208 （5 分）已知函数 f（x）= ，则函数 g（
10、x）=f（x）2 的零点个数为 2 【解答】解：根据题意，函数 f（x ）= ，g（ x）=f（x）2=0，即 f（x）=2，当 x1 时，f（x）=32x=2，解可得 x= ，即 是函数 g（x）的 1 个零点；当 x1 时，f（x）=x 2=2，解可得 x= 或 （舍） ，即 是函数 g（x）的 1 个零点；综合可得：函数 g（x）共有 2 个零点，即 和 ；故答案为：29 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+ax+2（a 0）在区间0，2上的最大值等于 8，则函数 y=f（x） （x 2，1）的值域为 ，4 【解答】解：数 f（x） =x2+ax+2（a0）的开口向上，f（ x）=x
11、2+ax+2（a0）在区间0 ，2上的最大值为 maxf（0，f（2），f（ 0）=2，f （2）=6 +2a，且 f（x ）区间0，2上的最大值等于 8，f（ 2）=6+2a=8，解得 a=1，f（ x）=x 2+x+2=（x+ ） 2+ ，当 x= 时，f（x）有最小值，最小值为 ，当 x=2 时，f（x）有最大值，最小值为 4，函数 y=f（x） （x 2，1）的值域为 ，4，故答案为： ，410 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数，则实数 m 的值等于 1 【解答】解：函数 f（x） =x2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数，可得 f（ x
12、）=f（x） ，即为 x2+2xm2x=x2+2xm2x，即有（m+1） （2 x2x）=0，由 xR，可得 m+1=0，即 m=1，故答案为：111 （5 分）如图，在梯形 ABCD 中， =2 ，P 为线段 CD 上一点，且=3 ，E 为 BC 的中点，若 =1 +2 （ 1， 2R） ，则 1+2 的值为 【解答】解： = = ， 1+2= 故答案为： 12 （5 分）已知 tan（ ）=2，则 sin（2 ）的值等于 【解答】解：由 tan（ ）=2 ，得 ，即 ，解得tan=3sin （2 ）=sin2cos cos2sin = = 故答案为： 13 （5 分）将函数 y=sinx
13、的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 （0）倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=f（x ）的图象，若函数 y=f（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，则 的取值范围为 （ ， 【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度，可得y=sin（x+ ）的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的 （0 ）倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=f（x）=sin（x+ ）的图象，若函数 y=f（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，0+ = ， + （ ，2 ，（ ， ，故答案为：（ ， 14 （5 分）已知 x，y 为非零实数，（ ） ，且同时满足： =， =
14、，则 cos 的值等于 【解答】解：由 = ，得 ，由 = ，得 ，即 ，则 ，即 ，解得 tan=3 或 tan= （ ） ，tan=3联立 ，解得 cos= 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知全集 U=R，集合 A=x|x24x0，B=x|mx m+2（1）若 m=3，求 UB 和 AB ；（2）若 BA，求实数 m 的取值范围；（3）若 AB= ，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m=3 时，B=x |3x5，集合 A=x|x24x0=x|0x4， （2 分）C UB
15、=x|x3 或 x5， （4 分）AB=x |0x5 （ 6 分）（2）集合 Ax|0x4 ，B= x|mxm+2，BA ， ，（8 分）解得 0m2实数 m 的取值范围0，2（10 分）（3）集合 A=x|0x4，B=x|mxm+2AB= ，m+20 或 m4，（12 分）解得 m2 或 m4实数 m 的取值范围（，2）（4，+） （14 分）16 （14 分）已知函数 f（ x）=a+ 的图象过点（1， ） （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若 ，求实数 x 的取值范围【解答】解：（1）因为 f（x ）的图象过点（1， ） ，所以 a+ = ，解得 a= ，所以 f（ x
16、）= = ，f（x）的定义域为 R 因为 f（ x）= = =f（x） ，所以 f（ x）是奇函数 （2）因为 ，所以 0，即 ，可得 24 x+13，即 14 x2 ，解得 0x 17 （14 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，AB=2（1）若ABC 为等边三角形，且 ADBC ，E 是 CD 的中点，求 ；（2）若 AC=AB，cos ， = ，求| |【解答】解：（1）因为ABC 为等边三角形，且 ADBC，所以DAB=120 又 AD=2AB，所以 AD=2BC，因为 E 是 CD 的中点，所以： = ，= 又 ，所以 ，= = ，=11（2）因为 AB=AC，AB=2，所以
17、：AC=2因为： ，所以： 所以： 又 =4 所以： 所以： = 故： 18 （16 分）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草） 已知该扇形 OAB 的半径为 200 米，圆心角AOB=60，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，点 P 在弧 AB 上，设POB=（1）若矩形 MNPQ 是正方形，求 tan 的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从 P 点处向 OA， OB 修建两条观赏通道 PS
18、和PT（宽度不计） ，使 PS OA，PTOB，其中 PT 依 PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望 PS+PT 最长，试问：此时点 P 应在何处？说明你的理由【解答】 （本题满分为 14 分）解：（1）在 RtPON 中，PN=200sin ，ON=200cos，在 RtOQM 中，QM=PN=200sin，（2 分）OM= = = ，所以 MN=0NOM=200cos ，（4 分）因为矩形 MNPQ 是正方形，MN=PN，所以 200cos =200sin，（6 分）所以（200 + ）sin=200cos，所以 tan= = = （8 分）（2）因为POM=，所以POQ=60 ，PS
19、 +PT=200sin+200sin（60 ）=200（sin+ cos sin） （10 分）=200（ sin+ cos）=200sin（+60 ） ，060 （12 分）所以 +60=90，即 =30时，PS+PT 最大，此时 P 是 的中点 （14 分）19 （16 分）已知 =（2cosx，1） ， =（ sinx+cosx，1） ，函数 f（x）= （1）求 f（x）在区间0， 上的最大值和最小值；（2）若 f（x 0）= ，x 0 ，求 cos2x0 的值；（3）若函数 y=f（x）在区间（ ）上是单调递增函数，求正数 的取值范围【解答】解：（1）f（x） = =2cosx（ s
20、inx+cosx）1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）因为 x0， ，所以 2x+ ，所以 2sin （2x + ）1，所以 f（ x） max=2，f （x） min=1 （2）因为 f（x 0）= ，所以 2sin（2x 0+ ）= ，所以 sin（2x 0+ ）= ，因为 x0 ，所以 2x 0+ ，所以 cos（2x 0+ ）= = ，所以 cos2x0=cos（2x 0+ ） = cos（2x 0+ ）+ sin（2x 0+ ）= （ ）+ = （3）f（x）=sin（2x+ ）令 2k 2x+ 2k+ ，k Z，得 x + ，因为函数函数 y=f（x）在区间（ ）上是
21、单调递增函数，所以存在 k0Z，使得（ ）（ ， + ）所以有 即 ，因为 0 所以 k0又因为 ，所以 0 ，所以 k0 ，从而有 k 0 ，所以 k0=0，所以 0 20 （16 分）已知函数 f（ x）=x|x a|+bx（a ，b R） （1）当 b=1 时，函数 f（x ）恰有两个不同的零点，求实数 a 的值；（2）当 b=1 时，若对于任意 x1，3，恒有 ，求 a 的取值范围；若 a0，求函数 f（x ）在区间0，2上的最大值 g（a） 【解答】解：（1）当 b=1 时，f（x ）=x |xa|x=x（|xa|1） ，由 f（x）=0，解得 x=0 或 |xa|=1，由|xa|=
22、1，解得 x=a+1 或 x=a1f（ x）恰有两个不同的零点且 a+1a 1，a +1=0 或 a1=0，得 a=1；（2）当 b=1 时，f（x）=x|xa|+x，对于任意 x1，3，恒有 ，即 ，即|xa| ，x1，3时， ， ，即恒有 ，令 t= ，当 x1，3时，t ，x=t 21 ， ，综上，a 的取值范围是0， ； = 当 0a1 时， ， ，这时 y=f（x）在0，2上单调递增，此时 g（a）=f（2 ）=6 2a； 当 1a2 时，0 a2，f=f（ x）在0， 上单调递增，在 ，a上单调递减，在a，2上单调递增，g （a）=maxf（ ） ， f（2）， ，f（2）=6 2a，而 ，当 1a 时，g （a）=f （2）=6 2a；当 a2 时，g （a）=f （ ）= ； 当 2a3 时， 2a，这时 y=f（x）在0， 上单调递增，在 ，2上单调递减，此时 g（a）=f（ ）= ； 当 a3 时， 2，y=f（x）在0，2上单调递增，此时 g（a）=f（2 ）=2a 2综上所述，x 0，2时，
