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2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1 (5 分)已知集合 A=0,1,2,B=0,2,4,则 AB= 2 (5 分)函数 y=lg(2x)的定义域是 3 (5 分)若 =240,则 sin(150)的值等于 4 (5 分)已知角 的终边经过点 P( 2,4) ,则 sincos 的值等于 5 (5 分)已知向量 =( m,5) , =(4,n ) , =(7,6) ,则 m+n 的值为 6 (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f(f(2) )的值为 7

2、(5 分) 九章算术是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现有一扇形田,下周长(弧长)为 20 米,径长(两段半径的和)为 24 米,则该扇形田的面积为 平方米8 (5 分)已知函数 f(x)= ,则函数 g(x)=f(x)2 的零点个数为 9 (5 分)已知函数 f(x)=x 2+ax+2(a 0)在区间0,2上的最大值等于 8,则函数 y=f(x) (x 2,1)的值域为 10 (5 分)已知函数 f( x)=x 2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数,则实数 m 的值等于 11 (5 分)如图,在梯形 ABCD 中

3、, =2 ,P 为线段 CD 上一点,且=3 ,E 为 BC 的中点,若 =1 +2 ( 1, 2R) ,则 1+2 的值为 12 (5 分)已知 tan( )=2,则 sin(2 )的值等于 13 (5 分)将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度,再将图象上每个点的横坐标变为原来的 (0)倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=f(x )的图象,若函数 y=f(x)在区间(0, )上有且仅有一个零点,则 的取值范围为 14 (5 分)已知 x,y 为非零实数,( ) ,且同时满足: =, = ,则 cos 的值等于 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,

4、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)已知全集 U=R,集合 A=x|x24x0,B=x|mx m+2(1)若 m=3,求 UB 和 AB ;(2)若 BA,求实数 m 的取值范围;(3)若 AB= ,求实数 m 的取值范围16 (14 分)已知函数 f( x)=a+ 的图象过点(1, ) (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若 ,求实数 x 的取值范围17 (14 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,AB=2(1)若ABC 为等边三角形,且 ADBC ,E 是 CD 的中点,求 ;(2)若 AC=AB,cos , = ,求| |18 (16 分)某

5、地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草) 已知该扇形 OAB 的半径为 200 米,圆心角AOB=60,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,点 P 在弧 AB 上,设POB=(1)若矩形 MNPQ 是正方形,求 tan 的值;(2)为方便市民观赏绿地景观,从 P 点处向 OA, OB 修建两条观赏通道 PS 和PT(宽度不计) ,使 PS OA,PTOB,其中 PT 依 PN 而建,为让市民有更多时

6、间观赏,希望 PS+PT 最长,试问:此时点 P 应在何处?说明你的理由19 (16 分)已知 =(2cosx,1) , =( sinx+cosx,1) ,函数 f(x)= (1)求 f(x)在区间0, 上的最大值和最小值;(2)若 f(x 0)= ,x 0 ,求 cos2x0 的值;(3)若函数 y=f(x)在区间( )上是单调递增函数,求正数 的取值范围20 (16 分)已知函数 f( x)=x|x a|+bx(a ,b R) (1)当 b=1 时,函数 f(x )恰有两个不同的零点,求实数 a 的值;(2)当 b=1 时,若对于任意 x1,3,恒有 ,求 a 的取值范围;若 a0,求函数

7、 f(x )在区间0,2上的最大值 g(a) 2017-2018 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1 (5 分)已知集合 A=0,1,2,B=0,2,4,则 AB= 0,2 【解答】解:集合 A=0,1,2,B=0,2,4 ,AB=0,2故答案为:0,22 (5 分)函数 y=lg(2x)的定义域是 (,2 ) 【解答】解:由 2x0,得 x2函数 y=lg( 2x)的定义域是(,2) 故答案为:(,2) 3 (5 分)若 =240,则 sin(150)的

8、值等于 1 【解答】解:=240,则 sin(150)=sin(90)=sin90= 1,故答案为:14 (5 分)已知角 的终边经过点 P( 2,4) ,则 sincos 的值等于 【解答】解:角 的终边经过点 P( 2,4) ,x= 2,y=4,r=|OP |=2 ,sin= = ,cos= = ,则 sincos= ,故答案为: 5 (5 分)已知向量 =( m,5) , =(4,n ) , =(7,6) ,则 m+n 的值为 8 【解答】解:向量 =( m,5) , =(4,n ) , =(7,6) , ,即(7,6)=(4m,n5) , ,解得 m=3,n=11,m+n=8故答案为:

9、86 (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f(f(2) )的值为 2 【解答】解:函数 f(x )= ,f( 2)= =1,f(f(2) )=f(1)=2e 11=2故答案为:27 (5 分) 九章算术是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现有一扇形田,下周长(弧长)为 20 米,径长(两段半径的和)为 24 米,则该扇形田的面积为 120 平方米【解答】解:由题意可得:弧长 l=20,半径 r=12,扇形面积 S= lr= 2012=120(平方米) ,故答案为:1208 (5 分)已知函数 f(x)= ,则函数 g(

10、x)=f(x)2 的零点个数为 2 【解答】解:根据题意,函数 f(x )= ,g( x)=f(x)2=0,即 f(x)=2,当 x1 时,f(x)=32x=2,解可得 x= ,即 是函数 g(x)的 1 个零点;当 x1 时,f(x)=x 2=2,解可得 x= 或 (舍) ,即 是函数 g(x)的 1 个零点;综合可得:函数 g(x)共有 2 个零点,即 和 ;故答案为:29 (5 分)已知函数 f(x)=x 2+ax+2(a 0)在区间0,2上的最大值等于 8,则函数 y=f(x) (x 2,1)的值域为 ,4 【解答】解:数 f(x) =x2+ax+2(a0)的开口向上,f( x)=x

11、2+ax+2(a0)在区间0 ,2上的最大值为 maxf(0,f(2),f( 0)=2,f (2)=6 +2a,且 f(x )区间0,2上的最大值等于 8,f( 2)=6+2a=8,解得 a=1,f( x)=x 2+x+2=(x+ ) 2+ ,当 x= 时,f(x)有最小值,最小值为 ,当 x=2 时,f(x)有最大值,最小值为 4,函数 y=f(x) (x 2,1)的值域为 ,4,故答案为: ,410 (5 分)已知函数 f( x)=x 2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数,则实数 m 的值等于 1 【解答】解:函数 f(x) =x2+2xm2x 是定义在 R 上的偶函数,可得 f( x

12、)=f(x) ,即为 x2+2xm2x=x2+2xm2x,即有(m+1) (2 x2x)=0,由 xR,可得 m+1=0,即 m=1,故答案为:111 (5 分)如图,在梯形 ABCD 中, =2 ,P 为线段 CD 上一点,且=3 ,E 为 BC 的中点,若 =1 +2 ( 1, 2R) ,则 1+2 的值为 【解答】解: = = , 1+2= 故答案为: 12 (5 分)已知 tan( )=2,则 sin(2 )的值等于 【解答】解:由 tan( )=2 ,得 ,即 ,解得tan=3sin (2 )=sin2cos cos2sin = = 故答案为: 13 (5 分)将函数 y=sinx

13、的图象向左平移 个单位长度,再将图象上每个点的横坐标变为原来的 (0)倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=f(x )的图象,若函数 y=f(x)在区间(0, )上有且仅有一个零点,则 的取值范围为 ( , 【解答】解:将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度,可得y=sin(x+ )的图象;再将图象上每个点的横坐标变为原来的 (0 )倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=f(x)=sin(x+ )的图象,若函数 y=f(x)在区间(0, )上有且仅有一个零点,0+ = , + ( ,2 ,( , ,故答案为:( , 14 (5 分)已知 x,y 为非零实数,( ) ,且同时满足: =, =

14、,则 cos 的值等于 【解答】解:由 = ,得 ,由 = ,得 ,即 ,则 ,即 ,解得 tan=3 或 tan= ( ) ,tan=3联立 ,解得 cos= 故答案为: 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)已知全集 U=R,集合 A=x|x24x0,B=x|mx m+2(1)若 m=3,求 UB 和 AB ;(2)若 BA,求实数 m 的取值范围;(3)若 AB= ,求实数 m 的取值范围【解答】解:(1)当 m=3 时,B=x |3x5,集合 A=x|x24x0=x|0x4, (2 分)C UB

15、=x|x3 或 x5, (4 分)AB=x |0x5 ( 6 分)(2)集合 Ax|0x4 ,B= x|mxm+2,BA , ,(8 分)解得 0m2实数 m 的取值范围0,2(10 分)(3)集合 A=x|0x4,B=x|mxm+2AB= ,m+20 或 m4,(12 分)解得 m2 或 m4实数 m 的取值范围(,2)(4,+) (14 分)16 (14 分)已知函数 f( x)=a+ 的图象过点(1, ) (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若 ,求实数 x 的取值范围【解答】解:(1)因为 f(x )的图象过点(1, ) ,所以 a+ = ,解得 a= ,所以 f( x

16、)= = ,f(x)的定义域为 R 因为 f( x)= = =f(x) ,所以 f( x)是奇函数 (2)因为 ,所以 0,即 ,可得 24 x+13,即 14 x2 ,解得 0x 17 (14 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,AB=2(1)若ABC 为等边三角形,且 ADBC ,E 是 CD 的中点,求 ;(2)若 AC=AB,cos , = ,求| |【解答】解:(1)因为ABC 为等边三角形,且 ADBC,所以DAB=120 又 AD=2AB,所以 AD=2BC,因为 E 是 CD 的中点,所以: = ,= 又 ,所以 ,= = ,=11(2)因为 AB=AC,AB=2,所以

17、:AC=2因为: ,所以: 所以: 又 =4 所以: 所以: = 故: 18 (16 分)某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草) 已知该扇形 OAB 的半径为 200 米,圆心角AOB=60,点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,点 P 在弧 AB 上,设POB=(1)若矩形 MNPQ 是正方形,求 tan 的值;(2)为方便市民观赏绿地景观,从 P 点处向 OA, OB 修建两条观赏通道 PS

18、和PT(宽度不计) ,使 PS OA,PTOB,其中 PT 依 PN 而建,为让市民有更多时间观赏,希望 PS+PT 最长,试问:此时点 P 应在何处?说明你的理由【解答】 (本题满分为 14 分)解:(1)在 RtPON 中,PN=200sin ,ON=200cos,在 RtOQM 中,QM=PN=200sin,(2 分)OM= = = ,所以 MN=0NOM=200cos ,(4 分)因为矩形 MNPQ 是正方形,MN=PN,所以 200cos =200sin,(6 分)所以(200 + )sin=200cos,所以 tan= = = (8 分)(2)因为POM=,所以POQ=60 ,PS

19、 +PT=200sin+200sin(60 )=200(sin+ cos sin) (10 分)=200( sin+ cos)=200sin(+60 ) ,060 (12 分)所以 +60=90,即 =30时,PS+PT 最大,此时 P 是 的中点 (14 分)19 (16 分)已知 =(2cosx,1) , =( sinx+cosx,1) ,函数 f(x)= (1)求 f(x)在区间0, 上的最大值和最小值;(2)若 f(x 0)= ,x 0 ,求 cos2x0 的值;(3)若函数 y=f(x)在区间( )上是单调递增函数,求正数 的取值范围【解答】解:(1)f(x) = =2cosx( s

20、inx+cosx)1= sin2x+cos2x=2sin(2x+ )因为 x0, ,所以 2x+ ,所以 2sin (2x + )1,所以 f( x) max=2,f (x) min=1 (2)因为 f(x 0)= ,所以 2sin(2x 0+ )= ,所以 sin(2x 0+ )= ,因为 x0 ,所以 2x 0+ ,所以 cos(2x 0+ )= = ,所以 cos2x0=cos(2x 0+ ) = cos(2x 0+ )+ sin(2x 0+ )= ( )+ = (3)f(x)=sin(2x+ )令 2k 2x+ 2k+ ,k Z,得 x + ,因为函数函数 y=f(x)在区间( )上是

21、单调递增函数,所以存在 k0Z,使得( )( , + )所以有 即 ,因为 0 所以 k0又因为 ,所以 0 ,所以 k0 ,从而有 k 0 ,所以 k0=0,所以 0 20 (16 分)已知函数 f( x)=x|x a|+bx(a ,b R) (1)当 b=1 时,函数 f(x )恰有两个不同的零点,求实数 a 的值;(2)当 b=1 时,若对于任意 x1,3,恒有 ,求 a 的取值范围;若 a0,求函数 f(x )在区间0,2上的最大值 g(a) 【解答】解:(1)当 b=1 时,f(x )=x |xa|x=x(|xa|1) ,由 f(x)=0,解得 x=0 或 |xa|=1,由|xa|=

22、1,解得 x=a+1 或 x=a1f( x)恰有两个不同的零点且 a+1a 1,a +1=0 或 a1=0,得 a=1;(2)当 b=1 时,f(x)=x|xa|+x,对于任意 x1,3,恒有 ,即 ,即|xa| ,x1,3时, , ,即恒有 ,令 t= ,当 x1,3时,t ,x=t 21 , ,综上,a 的取值范围是0, ; = 当 0a1 时, , ,这时 y=f(x)在0,2上单调递增,此时 g(a)=f(2 )=6 2a; 当 1a2 时,0 a2,f=f( x)在0, 上单调递增,在 ,a上单调递减,在a,2上单调递增,g (a)=maxf( ) , f(2), ,f(2)=6 2a,而 ,当 1a 时,g (a)=f (2)=6 2a;当 a2 时,g (a)=f ( )= ; 当 2a3 时, 2a,这时 y=f(x)在0, 上单调递增,在 ,2上单调递减,此时 g(a)=f( )= ; 当 a3 时, 2,y=f(x)在0,2上单调递增,此时 g(a)=f(2 )=2a 2综上所述,x 0,2时,