1、2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，3，B=n|n=2 k1，k A，则 AB=（ ）A1 ，2 ，3 B1，2 C1 D32 （5 分）已知 f（x 2）=x 24x，那么 f（x）=（ ）Ax 28x4 Bx 2x4 Cx 2+8x Dx 243 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ ，3 B （1，3 C （1，+） D （，1）3，+）4 （5 分）下列向量中不是单位向量的是（ ）A （ 1，0） B （1，1）C （ cos37，sin37） D5 （
2、5 分）设两个非零向量 与 不共线，如果 和 共线那么 k的值是（ ）A1 B1 C3 D16 （5 分）若 AD 是ABC 的中线，已知 = ， ，则 等于（ ）A B C D7 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，则| +2 |等于（ ）A2 B2 C12 D8 （5 分）已知 ，则 cos2 的值为（ ）A B C D9 （5 分）已知ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， = + ，且| |=|，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D10 （5 分）函数 f（x ）=Asin （x +） 的部分图象如图所示，若 ，且 f（x 1）=f（x 2）
3、 （x 1x 2） ，则f（x 1+x2）=（ ）A1 B C D11 （5 分）已知ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则的最小值为（ ）A 3 B6 C2 D12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，方程 f2（x）af（x）+b=0（b0）有六个不同的实数解，则 3a+b 的取值范围是（ ）A6 ，11 B3，11 C （6，11） D （3，11）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）如果 cos= ，且 是第四象限的角，那么 = 14 （5 分）函数 f（x ）=x 2+mx1 在 1，3上是单调函数，则实数 m 的取
4、值范围是 15 （5 分）化简：sin40（tan10 ）= 16 （5 分）函数 的图象为 C，如下结论中正确的是 图象 C 关于直线 x= 对称； 图象 C 关于点（ ， 0）对称；函数 f（x ）在区间（ ， ）内是增函数；由 y=2sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得到图象 C三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）设 =（1，1） ， =（4 ，3） ， =（5， 2） ，（1）求 与 的夹角的余弦值；（2）求 在 方向上的投影18 （12 分） （1）已知 log2（16 2x）=x，求 x 的值（2）计算：（ ） 0+810.75 +log57log72
5、519 （12 分）已知向量 （1）若 ，求 tan 的值；（2）求 的最大值20 （12 分）已知向量 =（2，sin） ， =（cos ， 1） ，其中 （0， ） ，且（1）求 sin2 和 cos2 的值；（2）若 sin（）= ，且 （0， ） ，求角 21 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x2 sinx cosx（x R） （）求 f（ ）的值（）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间22 （12 分）已知 =（ ， cos2（x+ ） ） （0，0 ） ， =（ ，） ，f（x ）= ，函数 f（x ）的图象过点 B（1，2） ，点 B 与其相邻的最高点的距
6、离为 4（）求 f（x）的单调递增区间；（）计算 f（1）+f （2）+ +f（2017） ；（）设函数 g（x）=f（ x）m 1，试讨论函数 g（x）在区间0，3上的零点个数2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，3，B=n|n=2 k1，k A，则 AB=（ ）A1 ，2 ，3 B1，2 C1 D3【解答】解：A=0，1，2，3，B=n|n=2 k1，k A= ，1，2，4，则 AB=1，2，故选：B2 （5 分）已知 f（x 2）=x 24x
7、，那么 f（x）=（ ）Ax 28x4 Bx 2x4 Cx 2+8x Dx 24【解答】解：由于 f（x2）=x 24x=（x 24x+4） 4=（x 2） 24，从而 f（ x）=x 24故选 D3 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ ，3 B （1，3 C （1，+） D （，1）3，+）【解答】解：由 ，解得 1x3 函数 的定义域为（1，3故选：B4 （5 分）下列向量中不是单位向量的是（ ）A （ 1，0） B （1，1）C （ cos37，sin37） D【解答】解：A| |=1，是单位向量B| |= 1，不是单位向量C | |= =1，是单位向量D| |= ，则 是单位向量故
8、选：B5 （5 分）设两个非零向量 与 不共线，如果 和 共线那么 k的值是（ ）A1 B1 C3 D1【解答】解：由题意可得：存在实数 使得 =（ ）= +k ，两个非零向量 与 不共线， ，解得 k=1故选：D6 （5 分）若 AD 是ABC 的中线，已知 = ， ，则 等于（ ）A B C D【解答】解：AD 是ABC 的中线，根据向量加法的四边形法则得， = ， = ， ， = 故选 B7 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，则| +2 |等于（ ）A2 B2 C12 D【解答】解：由向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，可得| |=
9、2， =| | |cos60=21 =1，则| +2 |= = =2 故选：B8 （5 分）已知 ，则 cos2 的值为（ ）A B C D【解答】解：已知 = ，tan=3，则 cos2= = = = ，故选：A9 （5 分）已知ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， = + ，且| |=|，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D【解答】解： = + ， ，得 ，则 BC 为圆 O 的直径，如图：| |=| |，OAB 的等边三角形，则 OA=OB=AB=1，AC= ，BC=2， 与 夹角是 30，向量 在 方向上的投影是| |cos30= = 故选：D10 （5 分）函数 f（x
10、）=Asin （x +） 的部分图象如图所示，若 ，且 f（x 1）=f（x 2） （x 1x 2） ，则f（x 1+x2）=（ ）A1 B C D【解答】解：由图象可得 A=1， = ，解得 =2，f（ x）=sin（2x+） ，代入点（ ，0）可得 sin（ +）=0 +=k，=k ，k Z又| ，= ，f（ x）=sin（2x+ ） ，sin （2 + ）=1，即图中点的坐标为（ ，1） ，又 ，且 f（x 1）=f （x 2） （x 1x 2） ，x 1+x2= 2= ，f（ x1+x2）=sin （2 + ）= ，故选：D11 （5 分）已知ABC 是边长为 4 的等边三角形， P
11、为平面 ABC 内一点，则的最小值为（ ）A 3 B6 C2 D【解答】解：以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 A（0，2 ） ，B（2 ，0） ，C （2 ，0） ，设 P（ x，y） ，则 =（x， 2 y） ， =（ 2x，y） ， =（2 x， y） ，所以则 的最=x（ 2x）+（2 y）（ 2y）=2x 24 y+2y2=2x2+2（y ） 23；所以当 x=0，y= 时， 取得最小值为 2（3）=6，故选：B12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，方程 f2（x）af（x）+b=0（b0）有六个不同的实数解，则 3a+b 的取值范围是（ ）A6 ，11 B3，1
12、1 C （6，11） D （3，11）【解答】解：作函数 f（x ）= 的图象如下，关于 x 的方程 f2（x）af（x ）+b=0 有 6 个不同实数解，令 t=f（x） ，t 2at+b=0 有 2 个不同的正实数解，其中一个为在（0，1）上，一个在（1，2）上；故 ，其对应的平面区域如下图所示：故当 a=3，b=2 时，3a+b 取最大值 11，当 a=1，b=0 时，3a+b 取最小值 3，则 3a+b 的取值范围是（ 3，11）故选：D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）如果 cos= ，且 是第四象限的角，那么 = 【解答】解：已知 cos=
13、，且 是第四象限的角，；故答案为： 14 （5 分）函数 f（x ）=x 2+mx1 在 1，3上是单调函数，则实数 m 的取值范围是 （，62，+） 【解答】解：f（x）的函数图象开口向上，对称轴为直线 x= ，f（ x）在（， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，f（ x）在1，3上是单调函数， 1 或 3，解得 m2 或 m6故答案为：（，62，+） 15 （5 分）化简：sin40（tan10 ）= 1 【解答】解： =sin40（ ）=sin40= 2= =1故答案为：116 （5 分）函数 的图象为 C，如下结论中正确的是 图象 C 关于直线 x= 对称； 图象 C 关于点（ ，
14、 0）对称；函数 f（x ）在区间（ ， ）内是增函数；由 y=2sin2x 的图角向右平移个单位长度可以得到图象 C【解答】解：函数 =sin2x cos2x= = =2，因此图象 C 关于直线 x= 对称，正确； = =0，因此图象 C 关于点（ ，0）对称，正确；由 ，得到 ，因此函数 f（x）在区间（ ， ）内是增函数，正确；由 y=2sin2x 的图角向右平移 个单位长度得到图象 y=2 = ，因此不正确综上可知：只有正确故答案为：三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）设 =（1，1） ， =（4 ，3） ， =（5， 2） ，（1）求 与 的夹角的余弦值；（2
15、）求 在 方向上的投影【解答】解：（1）根据题意， =（1，1） ， =（4，3） ， =14+13=1，| |= ，| |=5，cos ， = = = （2） =15+1（ 2）=7， 在 方向上的投影为 = = 18 （12 分） （1）已知 log2（16 2x）=x，求 x 的值（2）计算：（ ） 0+810.75 +log57log725【解答】解：（1）log 2（162 x）=x ，2 x=162x，化简得 2x=8，x=3；（2） （ ） 0+810.75 +log57log725=1+2712+2=1819 （12 分）已知向量 （1）若 ，求 tan 的值；（2）求 的最大
16、值【解答】解：（1）由题 ，所以 ，从而 tan=1（2）因 ，所以 =，因为 ，所以 ，从而 ，所以 20 （12 分）已知向量 =（2，sin） ， =（cos ， 1） ，其中 （0， ） ，且（1）求 sin2 和 cos2 的值；（2）若 sin（）= ，且 （0， ） ，求角 【解答】解：（1） =（ 2，sin ） ， =（cos ， 1） ，且 ，2cossin=0，即 sin=2cos代入 sin2+cos2=1，得 5cos2=1，（0， ） ，cos ，则 sin= 则 sin2=2sincos= ，cos2= ；（2）（0， ） ，（0， ） ， （ ） 又 sin（
17、）= ，cos （）= sin=sin（）=sincos（ ）cossin （）= （ 0， ） ，= 21 （12 分）已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x2 sinx cosx（x R） （）求 f（ ）的值（）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数 f（x ）=sin 2xcos2x sinx cosx= sin2xcos2x=（ sin2x+cos2x）=2 sin（ 2x+ ） =2 sin+（2x + ）=2sin（2x+ ） ，（）f（ ）=2sin （2 + ）=2sin =2（）=2，故 f（x）的最小正周期 T= =，由 2x+ ，可得： x ，k
18、Z故 f（x）的单调递增区间为 k ，k ， kZ22 （12 分）已知 =（ ， cos2（x+ ） ） （0，0 ） ， =（ ，） ，f（x ）= ，函数 f（x ）的图象过点 B（1，2） ，点 B 与其相邻的最高点的距离为 4（）求 f（x）的单调递增区间；（）计算 f（1）+f （2）+ +f（2017） ；（）设函数 g（x）=f（ x）m 1，试讨论函数 g（x）在区间0，3上的零点个数【解答】解：（） =（ ， cos2（x+ ） ） ， =（ ， ） ，f（ x）= = cos2（x +）=1cos2 （x+） ） ，f（ x） max=2，则点 B（1，2）为函数 f（x
19、）的图象的一个最高点点 B 与其相邻的最高点的距离为 4， ，得 = 函数 f（x ）的图象过点 B（1，2） ， ，即 sin2=10 ，= f（ x）=1cos2（ ）=1+sin ，由 ，得1+4kx1+4k（k Z） f（ x）的单调递增区间为 1+4k，1+4k ，kZ；（）由（）知，f（x ）=1+sin ，f（ x）是周期为 4 的周期函数，且 f（1）=2，f（2）=1，f （3 ）=0 ，f（4）=1f（ 1）+f（2）+f（3）+f（4）=4而 2017=4504+1，f（ 1）+f（2）+ +f（2017）=4504 +2=2018；（）g（x ）=f（x）m1= ，函数 g（x）在0，3上的零点个数，即为函数 y=sin 的图象与直线 y=m 在0 ，3上的交点个数在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：当 m1 或 m1 时，两函数的图象在0，3 内无公共点；当1m0 或 m=1 时，两函数的图象在0，3内有一个共点；当 0m1 时，两函数的图象在0，3内有两个共点综上，当 m1 或 m1 时，函数 g（x ）在0，3 上无零点；当1m0 或 m=1 时，函数 g（x ）在0，3内有 1 个零点；当 0m1 时，函数 g（x）在0，3内有 2 个零点
