1、2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每个小题 5 分）1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=x|x 23x0，则 AB 为（ ）A1 ，2 ，3 B2，3 C1，2 D （0，3） ）2 （5 分）已知角 在第三象限，且 sin= ，则 tan=（ ）A B C D3 （5 分） 的值为（ ）A B C1 D 14 （5 分）已知ABC 的三边 a，b，c 满足 a2+b2=c2+ab，则ABC 的内角 C 为（ ）A150 B120 C60 D305 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（2）+f （log 23
2、）的值为（ ）A4 B C5 D66 （5 分）若 sin（ ）= ，sin（2 ）的值为（ ）A B C D7 （5 分）已知 f（x ）=sin 2x+2cosx，则 f（x）的最大值为（ ）A 1 B0 C1 D28 （5 分）已知函数 f（x）=cos 2x ，则下列说法正确的是（ ）Af （x）是周期为 的奇函数 Bf（x）是周期为 的偶函数C f（ x）是周期为 的奇函数 Df（x）是周期为 的偶函数9 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x +6）=f （x ） ，当x（0，3）时，f（x）=x 2，则 f（64）=（ ）A 4 B4 C98 D981
3、0 （5 分）函数 的图象如图所示，为了得到 g（ x）=sin （3x+ ）的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度11 （5 分）奇函数 f（x ）在（ 0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式xf（ x）f（ x）0 的解集为（ ）A （ 1，0）（0，1 ） B （ ，1）（0，1） C （ ，1）（1，+） D （1 ，0）（1，+）12 （5 分）将函数 f（x ） =2sin（x+2） （| ）的图象向左平移 个单位长度之后，所得图象关于直线 x= 对称，且 f（0）0，则 =（ ）A
4、B C D二、填空题（本大题共 4 个小题，每个小题 5 分）13 （5 分）已知 f（x ）=x+log ax 的图象过点（2，3） ，则实数 a= 14 （5 分）已知 sin ，且 （0， ） ，则 tan 的值为 15 （5 分）已知 f（x ）=x 2ax+2a，且在（1，+）内有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且a=2，cosC= ，sinB= sinC，则边 c= 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）17 （10 分）已知函数 f（ x）=2 xsin2x （I）求函数 f（x
5、 ）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数 f（x）的单调区间18 （12 分）若 0 ，0 ，sin（ ）= ，cos （ ）=（I）求 sin的值；（II）求 cos（ ）的值19 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，若（2a c）cosB=bcosC（I）求角 B 的大小；（II）若 b=2，求ABC 周长的最大值20 （12 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +） （A 0，0，| ）的最小正周期为 ，函数的图象关于点（ ）中心对称，且过点（ ） （I）求函数 f（x ）的解析式；（II）若方程 2f（x）a+1=0 在 x0， 上有解
6、，求实数 a 的取值范围21 （12 分）在ABC 中，边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C ，且 ac，若ABC 的面积为 2 ，sin（A B）+sinC= sinA，b=3（）求 cosB 的值；（）求边 a，c 的值22 （12 分）设函数 f（x）=a 2x+ma2x（a0，a1）是定义在 R 上的奇函数（）求实数 m 的值；（）若 f（1）= ，且 g（x ）=f （x ） 2kf（ ）+2a 2x 在0，1上的最小值为2，求实数 k 的取值范围2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每个小题 5 分）
7、1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=x|x 23x0，则 AB 为（ ）A1 ，2 ，3 B2，3 C1，2 D （0，3） ）【解答】解：集合 A=1，2，3，4，5，B=x|x23x0=x|0x3，AB=1，2故选：C2 （5 分）已知角 在第三象限，且 sin= ，则 tan=（ ）A B C D【解答】解：角 在第三象限，且 sin= ，cos= 故选：C3 （5 分） 的值为（ ）A B C1 D 1【解答】解： = =故选：B4 （5 分）已知ABC 的三边 a，b，c 满足 a2+b2=c2+ab，则ABC 的内角 C 为（ ）A150 B120 C60 D30【
8、解答】解：ABC 中，a 2+b2=c2+ab，a 2+b2c2=ab，cosC= = = ，C（0，180） ，C=60故选：C5 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（2）+f （log 23）的值为（ ）A4 B C5 D6【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 2）=log 22=1，f（log 23）= =3，f（ 2）+f（log 23）=1+3=4故选：A6 （5 分）若 sin（ ）= ，sin（2 ）的值为（ ）A B C D【解答】解：sin（ ）= ，sin （2 ）=cos （2 ）=cos（ ）=cos2（ ）= 故选：A7 （5 分）已知 f（x ）=sin
9、2x+2cosx，则 f（x）的最大值为（ ）A 1 B0 C1 D2【解答】解：f（x）=sin 2x+2cosx，=1cos2x+2cosx，=（cosx 1） 2+2，当 cosx=1 时， f（x） max=2，故选：D8 （5 分）已知函数 f（x）=cos 2x ，则下列说法正确的是（ ）Af （x）是周期为 的奇函数 Bf（x）是周期为 的偶函数C f（ x）是周期为 的奇函数 Df（x）是周期为 的偶函数【解答】解：函数 f（x） =cos2x= （ 2cos2x1）= cos2x，f（ x）是最小正周期为 T= =的偶函数故选：D9 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上
10、的偶函数，且满足 f（x +6）=f （x ） ，当x（0，3）时，f（x）=x 2，则 f（64）=（ ）A 4 B4 C98 D98【解答】解：由（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+6）=f（x） ，f（ x）是以 6 为周期的周期函数，又又当 x（ 0，3）时，f（x）=x 2，f（ 64）=f（6112）=f（2）=f（2）=2 2=4故选：B10 （5 分）函数 的图象如图所示，为了得到 g（ x）=sin （3x+ ）的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【解答】解：根据函数 的图
11、象，可得 A=1， = ，=3，再根据五点法作图可得 3 +=，= ，f（x）=sin（3x+ ） 为了得到 g（ x）=sin （3x+ ）的图象，只需将 f（x）的图象向左平移 个单位长度，故选：D11 （5 分）奇函数 f（x ）在（ 0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式xf（ x）f（ x）0 的解集为（ ）A （ 1，0）（0，1 ） B （ ，1）（0，1） C （ ，1）（1，+） D （1 ，0）（1，+）【解答】解：若奇函数 f（x ）在（0，+）上为增函数，则函数 f（x ）在（，0）上也为增函数，又f（ 1）=0，f（ 1）=0，则当 x（ ，1）（0，1）上时
12、，f（x ）0， f（x）f （ x）0；当 x（1，0）（1，+ ）上时，f （x）0，f（x ） f（x）0，则不等式 x（f（x）f（x ）0 的解集为（1，+）（，1） ，故选：C12 （5 分）将函数 f（x ） =2sin（x+2） （| ）的图象向左平移 个单位长度之后，所得图象关于直线 x= 对称，且 f（0）0，则 =（ ）A B C D【解答】解：将函数 f（x ）=2sin（x+2） （| ）的图象向左平移 个单位长度之后，可得 y=2sin（x + +2）的图象，根据所得图象关于直线 x= 对称，可得 + +2=k+ ，即 = ，kZ根据且 f（0）=2sin20，则
13、= ，故选：B二、填空题（本大题共 4 个小题，每个小题 5 分）13 （5 分）已知 f（x ）=x+log ax 的图象过点（2，3） ，则实数 a= 2 【解答】解：已知 f（x ）=x +logax 的图象过点（2，3） ，故有 2+loga2=3，求得 a=2，故答案为：214 （5 分）已知 sin ，且 （0， ） ，则 tan 的值为 2 【解答】解：由 sin ，得 ，sin （ ）=1，（0， ） ， （ ） ，则 = ，即 ，tan=tan tan =1+1=2故答案为：215 （5 分）已知 f（x ）=x 2ax+2a，且在（1，+）内有两个不同的零点，则实数 a 的
14、取值范围是 （8，+） 【解答】解：二次函数 f（x ）=x 2ax+2a 在（1，+）内有两个零点， ，即 ，解得 8a故答案为：（8，+） 16 （5 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且a=2，cosC= ，sinB= sinC，则边 c= 3 【解答】解：ABC 中，a=2，cosC= ，sinB= sinC，b= c，c 2=a2+b22abcosC=22+ c222 c（ ） ，化简得 5c23c36=0，解得 c=3 或 c= （不合题意，舍去） ，c=3故选：3三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）17 （10 分）已知函数 f（
15、x）=2 xsin2x （I）求函数 f（x ）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数 f（x）的单调区间【解答】解：（）函数 f（x ）=2 xsin2x= （ 1+cos2x）sin2x=sin2x+ cos2x=2sin（ 2x ） ；（3 分）f（ x）的最小正周期为 ，（4 分）对称轴方程为 x= + ，kZ；（6 分）（）令 +2k2x +2k，kZ，解得 +kx +k，k Z，f（ x）的单调递增区间为 +k， +k（k Z） ；（8 分）令 +2k2x +2k，k Z，解得 +k x +k，kZ，f（ x）的单调递减区间为 +k， +k（kZ ） （10 分）18 （12 分
16、）若 0 ，0 ，sin（ ）= ，cos （ ）=（I）求 sin的值；（II）求 cos（ ）的值【解答】解：（）0 ， ，又 sin（ ）= ，cos（ ）= ，sin=sin （ ） =sin cos（ ）cos sin（ ）= ；（）0 ， ，又 cos（ ）= ，sin（ ）= cos（ ）=cos（ ）+（ ）=cos（ ）cos（ ） sin（ ）sin（ ）= 19 （12 分）已知ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，若（2a c）cosB=bcosC（I）求角 B 的大小；（II）若 b=2，求ABC 周长的最大值【解答】 （本题满分为 12 分）
17、解：（）由（2ac）cosB=bcosC，可得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C ）=sinA，A （0，） ，sinA0，可得：cosB= ，由 B= ，B （0 ，） ， B= （4 分）（）2R= = ，a= sinA，c= sinC，（6 分）可得三角形周长：a+b+ c= sinA+ sinC+2= sinA+ sin（ A）+2=4sin（A + ）+2，（ 9 分）0A ， A+ ，可得：sin（A+ ） （ ，1 （11 分）周长的最大值为 6（ 12 分）20 （
18、12 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +） （A 0，0，| ）的最小正周期为 ，函数的图象关于点（ ）中心对称，且过点（ ） （I）求函数 f（x ）的解析式；（II）若方程 2f（x）a+1=0 在 x0， 上有解，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）=Asin （x+）的最小正周期为 T= =，由 0，得 =2；由函数 f（x ）的图象关于点（ ）中心对称，2 +=k，= +k，k Z；又| ，= ；又 f（x）过点（ ） ，Asin（2 ）=1，解得 A=2，函数 f（x ）=2sin（2x ） ；（II）方程 2f（x）a+1=0，a=4sin（2x ）+1
19、；又 x0， ，2x ， ，sin （2x ） ，1，4sin（2x ）+11，5，实数 a 的取值范围是1，521 （12 分）在ABC 中，边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C ，且 ac，若ABC 的面积为 2 ，sin（A B）+sinC= sinA，b=3（）求 cosB 的值；（）求边 a，c 的值【解答】解：（）由 sin（A B）+sinC= sinA，得sinAcosBcosAsinB+sin（A+B）= sinA即 2sinAcosB= sinA，sinA0，cosB= sinB=（）由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB=a2+c2 aca2+c2 ac=9
20、又s ABC = acsinB=2 ，ac=6由解得 ，a c，a=3，c=222 （12 分）设函数 f（x）=a 2x+ma2x（a0，a1）是定义在 R 上的奇函数（）求实数 m 的值；（）若 f（1）= ，且 g（x ）=f （x ） 2kf（ ）+2a 2x 在0，1上的最小值为2，求实数 k 的取值范围【解答】解：（）由题意可得 f（0）=0 ，1+m=0，解得 m=1，则 f（x）=a 2xa2x，f（x）=a 2xa2x=f（x） ，可得 f（ x）为奇函数，则 m=1 成立；（）由 f（x）=a 2xa2x，f （1）= ，可得 a2a2= ，解得 a=2，则 f（x）=2 2x22x，设 y=g（x ）=2 2x+22x2k（2 x2x）= （2 x2x） 22k（2 x2x）+2，设 t=2x2x，y=t 22kt+2x0，1，可得 t0， ，当 k0 时，y min=2 成立；当 0k 时，y min=2k2=2，解得 k=0 成立；当 k 时，ymin=3k + =2，解得 k= 不成立，舍去综上所述，实数 k 的取值范围是（，0
