1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高一（上）期末数学试卷一、选择题（125 分）1 （5 分）下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等B模为 0 的向量与任意向量共线C平行向量不一定是共线向量D任一向量与它的相反向量不相等2 （5 分）设集合 A=x|2x4，集合 B=x|y=lg（x1），则 AB 等于（ ）A （1 ，2 ） B1，2 C1，2） D （1，23 （5 分）已知函数 f（x）=2 x+x+1，g（x）=log 2x+x+1，h（x ）=log 2x1 的零点依次为 a，b，c，则（ ）Aa b c Bacb Cb c a Db ac4 （5 分）如图，在ABC 中， ， ，
2、若 ，则的值为（ ）A 3 B3 C2 D 25 （5 分）函数 f（x ）=1+log 2x 与 g（x ）=2 1x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A B C D6 （5 分）已知函数 y=loga（x1）+3（a0 且 a1）的图象恒过定点 P，若角的终边经过点 P，则 sin2sin2的值等于（ ）A B C D7 （5 分）若 sin+cos= ，则 cos（2+ ）等于（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 f（x）=1sinx+ ，则 的值为（ ）A0 B2 C2 D9 （5 分）已知函数 的图象如图所示，若将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，则所得图象对应的函数可
3、以为（ ）A BC D10 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，若任意的 xR，都有f（x+2 ）=f（x2） ，当 x0，2时，f（x ）=2 x1，则 f（2017）+f（2018）= （ ）A4 B3 C2 D111 （5 分）已知函数 ，若不等式 f（x ）m 在上有解，则实数 m 的最小值为（ ）A5 B5 C11 D 1112 （5 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R，对任意 x1x 2，有1，且 f（1）=1，则不等式 f（log 2|3x1|）2 log2|3x1|的解集为（ ）A （ ，0 ） B （，1） C （ 1，0）（0，3） D （，0）（0
4、，1）二填空题（45 分）13 （5 分）向量 =（x，1） ， =（9，x ） ，若 与 共线且方向相反，则 x= 14 （5 分）设 （0， ） ，（0， ） ，且 tan= ，tan= ，则 +2= 15 （5 分）如图是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为 ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是，则 sin2cos2的值是 16 （5 分）已知函数 f（ x）= （x 2axa）的值域为 R，且 f（x）在（3，1）上是增函数，则 a 的取值范围为 三解答题（写出规范的解题步骤）17 （10 分）设 A，B ，C，D 为平面内的四点，
5、且 A（1，3） ，B（2， 2） ，C（ 4，1） （1）若 = ，求 D 点的坐标；（2）设向量 = ， = ，若 k 与 +3 平行，求实数 k 的值18 （12 分）已知函数 f（ x）=tan（2x+ ） ，（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）设 （0， ） ，若 f（ ）=2cos 2，求 的大小19 （12 分）已知函数 f（ x）= ，x 1，+ ） ，（1）当 a= 时，求函数 f（x）的最小值；（2）若对任意 x1，+） ，f（x）0 恒成立，试求实数 a 的取值范围20 （12 分） “活水围网” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网 ”
6、养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克/ 年）是养殖密度 x （单位：尾/立方米）的函数当 x 不超过 4 尾/ 立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/ 年（1）当 0x20 时，求 v 关于 x 的函数表达式；（2）当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值21 （12 分）已知函数 f（ x）= sin（x+ ）+ 1（ 0， 0）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 （1）当 x（ ， ）时，求 f（x ）的单调
7、递减区间；（2）将函数 y=f（x）的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 y=g（x）的图象当 x ， 时，求函数 g（x ）的值域（3）已知 x= 是函数 h（x ）=f（x ）+cos2x 的一条对称轴，求 的值22 （12 分）已知 a，b R，a0，函数 f（x）= （sinx+cosx）+b ，g （x ）=asinxcosx+ + +2（1）若 x（0，） ，f（x）= +b，求 sinxcosx 的值；（2）若不等式 f（x）g（x ）对任意 xR 恒成立，求 b 的取值范围2017-2018 学年黑龙江省大庆高一（上）期末
8、数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（125 分）1 （5 分）下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等B模为 0 的向量与任意向量共线C平行向量不一定是共线向量D任一向量与它的相反向量不相等【解答】解：在 A 中，单位向量大小相等都是 1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故 A 错误；在 B 中，零向量与任意向量共线，故 B 正确；在 C 中，平行向量一定是共线向量，故 C 正确；在 D 中，零向量与它的相反向量相等，故 D 错误故选：C2 （5 分）设集合 A=x|2x4，集合 B=x|y=lg（x1），则 AB 等于（ ）A （1 ，2 ） B1，2 C1，2） D （1，2【解答】解：
9、A=x|2 x4=x |x2，由 x10 得 x1B=x|y=lg（x1）=x|x 1AB=x |1x2故选 D3 （5 分）已知函数 f（x）=2 x+x+1，g（x）=log 2x+x+1，h（x ）=log 2x1 的零点依次为 a，b，c，则（ ）Aa b c Bacb Cb c a Db ac【解答】A 解：令函数 f（ x）=2 x+x+1=0，可知 x0，即 a0；令 g（x ）=log2x+x+1=0，则 0x1 ，即 0b1；令 h（x）=log 2x1=0，可知 x=2，即 c=2显然 ab c 故选 A4 （5 分）如图，在ABC 中， ， ，若 ，则的值为（ ）A 3
10、B3 C2 D 2【解答】解： = + ，= （ ）= = = ， = +（ ）= + ；又 = + ，= ，= ； = =3故选：B5 （5 分）函数 f（x ）=1+log 2x 与 g（x ）=2 1x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x） =1+log2x 的图象是增函数，过（1，1）点；排除 A，g（ x）=2 1x=2（ ） x，是减函数经过（0，2）点，排除 B，D，故选：C6 （5 分）已知函数 y=loga（x1）+3（a0 且 a1）的图象恒过定点 P，若角的终边经过点 P，则 sin2sin2的值等于（ ）A B C D【解答】解：
11、函数 y=loga（x 1）+3（a0 且 a1）的图象恒过定点P，P（2， 3） 若角 的终边经过点 P，则 x=2，y=3 ，r=|OP|= ，sin= = ，cos= = ，sin 2sin2= 2 = ，故选 C7 （5 分）若 sin+cos= ，则 cos（2+ ）等于（ ）A B C D【解答】解： sin+cos= ， cos（2+ ）= ，cos（2+ ）= 故选：C8 （5 分）已知函数 f（x）=1sinx+ ，则 的值为（ ）A0 B2 C2 D【解答】解：函数 f（x ）=1 sinx+ ， =1sin +log5 +1sin（ ）+log 5=1sin +log5
12、+1+sin log5=2故选：C9 （5 分）已知函数 的图象如图所示，若将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）A BC D【解答】解：根据余弦函数的图象的对称性求得：A=2，根据余弦函数图象： ，解得：T=利用周期公式： ，解得：=2根据函数的图象，当 x= 时， ，则：2 （k z） ，解得： （kz） 由于 ，解得 ，则： ，将函数 f（x ）的图象向左平移 个单位，得到： ，整理得： 故选：A10 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，若任意的 xR，都有f（x+2 ）=f（x2） ，当 x0，2时，f（x ）=2 x1，则 f（2
13、017）+f（2018）= （ ）A4 B3 C2 D1【解答】解：由题意可得，函数 f（x ）是周期为 4 的偶函数，故：f（2018 ）=f（2）=2 21=3，f（ 2017）=f （2017）=f（1）=f（1）=2 11=1，则：f（ 2017）+f（2018）=1 +3=4故选：A11 （5 分）已知函数 ，若不等式 f（x ）m 在上有解，则实数 m 的最小值为（ ）A5 B5 C11 D 11【解答】解：函数=4 +2 sin2x+5=2 sin2x2cos2x+7=4（sin2x cos2x）+7=4sin（2x ）+7，若不等式 f（x）m 在 上有解，则 2x ， ，si
14、n （2x ） ， 1，f（x）5，11，则实数 m 的最小值为 5，故选：A12 （5 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R，对任意 x1x 2，有1，且 f（1）=1，则不等式 f（log 2|3x1|）2 log2|3x1|的解集为（ ）A （ ，0 ） B （，1） C （ 1，0）（0，3） D （，0）（0，1）【解答】解：函数 f（x ）的定义域为 R，对任意 x1x 2，有1，即 0，故函数 R（x ）=f（x ）+x 是 R 上的增函数，由不等式 f（log 2|3x1|）2 log2|3x1|，可得 f（log 2|3x1|）+log2|3x1|2=f（1）+1 ，log
15、 2|3x1|1，故23 x12，且 3x10，求得 3x3，且 x0，解得 x1，且 x0，故选：D二填空题（45 分）13 （5 分）向量 =（x，1） ， =（9，x ） ，若 与 共线且方向相反，则 x= 3 【解答】解： ，x 2=9，解得 x=3又 与 方向相反，x=3故答案为314 （5 分）设 （0， ） ，（0， ） ，且 tan= ，tan= ，则 +2= 【解答】解： （0 ， ） ，（0， ） ，且 tan= 1，tan= 1，（0， ） ， （0， ） ，+2（0， ） ，又 tan2= = = ，tan（ +2）= = =1，+2= 故答案为： 15 （5 分）如图
16、是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为 ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是，则 sin2cos2的值是 【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为 cos，短直角边为 sin，小正方形的边长为 cossin，小正方形的面积是 ，（cos sin） 2= ，又 为直角三角形中较小的锐角，cos sincos sin= 又（cos sin） 2=12sincos= ，2cossin= 1+2sincos= ，即（cos+sin） 2= cos +sin= sin 2cos2=（cos+sin） （sin cos）= 故答案为：
17、16 （5 分）已知函数 f（ x）= （x 2axa）的值域为 R，且 f（x）在（3，1）上是增函数，则 a 的取值范围为 0，2 【解答】解：由函数 f（x ）= （x 2axa）的值域为 R，可得函数 y=x2axa 能够取遍所有的正数，故有=a 2+4a0，求得 a4，或 a0 再根据 f（x ）在（3，1 ）上是增函数，可得函数 y=x2axa 在（ 3，1 ）上是减函数且为正值，故 1 ，且当 x=1 时 y0即 a2 2 ，且 42 a（1 ）a0求得 22 a2 结合求得 0a2，故答案为：0，2三解答题（写出规范的解题步骤）17 （10 分）设 A，B ，C，D 为平面内的
18、四点，且 A（1，3） ，B（2， 2） ，C（ 4，1） （1）若 = ，求 D 点的坐标；（2）设向量 = ， = ，若 k 与 +3 平行，求实数 k 的值【解答】解：（1）设 D（x，y ） ，A，B，C，D 为平面内的四点，且 A（1，3） ，B（2， 2） ，C（4，1） ，即（2，2）（1，3）= （x，y）（4，1） ，即（1，5）=（x 4，y 1） ， ，解得 x=5，y=4，D（5，4） （2） = =（1 ，5） ， = =（2，3） ， =（k2，5k3 ） ，=（7 ，4） ，k 与 +3 平行，7（5k3） 4（k2）=0，解得 k= 实数 k 的值为 18 （1
19、2 分）已知函数 f（ x）=tan（2x+ ） ，（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）设 （0， ） ，若 f（ ）=2cos 2，求 的大小【解答】解：（1）对于函数 f（x ）=tan （2x + ） ，由 2x+ +k，k Z，得 x + ，kZ，所以 f（ x）的定义域为xR |x + ，k Zf（x）的最小正周期为 （2）由 f（ ）=2cos 2，得 tan（+ ）=2cos 2，即 =2（cos 2sin2） ，整理得 =2（ cos +sin ） （cos sin ） 因为 （0， ） ，所以 sin +cos 0因此（cos sin ） 2= ，即 sin 2=
20、由 （0， ） ，得 2（0， ） ，2= ，即 = 19 （12 分）已知函数 f（ x）= ，x 1，+ ） ，（1）当 a= 时，求函数 f（x）的最小值；（2）若对任意 x1，+） ，f（x）0 恒成立，试求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）因为 ，f（x ）在 1，+）上为增函数，所以 f（ x）在1，+）上的最小值为 f（1）= （6 分）（2）问题等价于 f（x）=x 2+2x+a0，在1 ，+）上恒成立即 a（x+1） 2+1 在1， +）上恒成立令 g（ x）= （x+1） 2+1，则 g（x）在1，+）上递减，当 x=1 时，g（x）max=3，所以 a3 ，即实数 a
21、 的取值范围是（3，+） （6 分）20 （12 分） “活水围网” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网 ”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克/ 年）是养殖密度 x （单位：尾/立方米）的函数当 x 不超过 4 尾/ 立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/ 年（1）当 0x20 时，求 v 关于 x 的函数表达式；（2）当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值【解答】解 （1）由题意得
22、当 0x 4 时，v=2； 当 4x20 时，设 v=ax+b，由已知得： ，解得： ，所以 v= x+ ，故函数 v= ；（2）设年生长量为 f（x）千克 /立方米，依题意并由（1）可得 f（x ）=当 0x4 时，f（x）为增函数，故 f（x ） max=f（4）=42=8； 当 4x20 时，f（x）= x2+ x= （x 220x）= （x10 ） 2+ ，f（x） max=f（ 10）=12.5所以当 0x20 时，f（ x）的最大值为 12.5即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5千克/立方米21 （12 分）已知函数 f（ x）= sin
23、（x+ ）+ 1（ 0， 0）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 （1）当 x（ ， ）时，求 f（x ）的单调递减区间；（2）将函数 y=f（x）的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 y=g（x）的图象当 x ， 时，求函数 g（x ）的值域（3）已知 x= 是函数 h（x ）=f（x ）+cos2x 的一条对称轴，求 的值【解答】解（1）由题意可得：函数 f（x ）= sin（x +）+ 1=sin（x+）cos（x +）=2sin （x + ） ，因为相邻量对称轴间的距离为 ，所以 T=，=2，因为函数为奇函数， =k，kZ ，=
24、，f（x）=2sin2x 令 2k+ 2x2k + ，求得 k+ xk+ ，可得函数 f（x ）的减区间为k+ ，k + ，kZ再结合 x（ ， ） ，可得函数的减区间为（ ， （2）将函数 y=f（x）的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度，可得y=2sin（2x ）的图象，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，得到函数 y=g（x）=2sin（4x ）的图象当 x ， 时，4x ， ，故当 4x = 时，函数 g（x）取得最小值为2；当 4x = 时，函数 g（x）取得最大值为 ，故函数 g（x）的值域为2， （3）已知 x= 是函数 h（x ）=f（x ）+cos2x=2sin2x
25、+cos2x= （ sin2x+ cos2x）= sin（ 2x+）的一条对称轴，求 的值sin = = ，cos = = ，求得 2= ，且 0，= 22 （12 分）已知 a，b R，a0，函数 f（x）= （sinx+cosx）+b ，g （x ）=asinxcosx+ + +2（1）若 x（0，） ，f（x）= +b，求 sinxcosx 的值；（2）若不等式 f（x）g（x ）对任意 xR 恒成立，求 b 的取值范围【解答】解：（1）依题意得 sinx+cosx= ，sin 2x+cos2x+2sinxcosx= ，即 2sinxcosx= ，（1 分）1 2sinxcosx= ，即
26、 sin2x+cos2x2sinxcosx=（sinx cosx） 2= ，（2 分）由 2sinxcosx= 0，x（0，） ，得 x（ ，） ，（3 分）sinx 0，cosx0，sinx cosx0，sinx cosx= （4 分）（2）不等式 f（x）g （ x）对任意 xR 恒成立，即不等式 basinxcosx+ （sinx +cosx）+ +2 对任意 xR 恒成立，即 basinxcosx+ （sinx+cosx）+ min， （5 分）下求函数 y=asinxcosx+ 的最小值，令 t=sinx+cosx，则 t= ，且 sinxcosx= ，（6 分）令 m（t）=y=asinxcosx+ ，= = ，= = ， （a0） ，（7 分）1当 ，即 0a 1 时，m（t ）在区间 上单调递增，m（t） min=m（ ）=a+ （8 分）2当 0，即 a1 时，m（t ） min=m（ ）=2（9 分）3当 0 ，即 a1 时，m（t） min=m（ ）=a + （10 分）4当 ，即1 a0 时，m（t） min=m（ ）=a + （11 分）y min= ，所以当 a1 时，b2；当 a0 或 0a1 时，b （12 分）
