1、2016-2017 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，3，4，5，B= 1，0，1，6，且 AB= 2 （5 分）函数 的定义域是 3 （5 分）cos24cos36cos66cos54的值等于 4 （5 分）已知向量 、 满足 ，它们的夹角为 60，那么= 5 （5 分）若幂函数 f（x）的图象过点 ，则 f（x）= 6 （5 分）函数 f（x ）=12sin 2x 的最小正周期为 7 （5 分）方程 lgx+x=2 的根 x0（k，k+1） ，其中 k
2、Z，则 k= 8 （5 分）设定义域为 R 的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x 2（0，+） ，（x 1x2）f （x 1）f（x 2）0，则 f（） f（3.14） （填“” 、 “”或“=”）9 （5 分）将函数 y=sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为 10 （5 分）函数 f（x ）=Asin （x +） （A 0，0，0，2） ）的图象如图所示，则 = 11 （5 分）如图，在ABC 中，BAC=120 ，AB=2，AC=1，D 是边 BC 上一点，=2 ，则 = 12 （5 分）已知角 、
3、的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，、（0，） ，角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ，角 + 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，则 cos= 13 （5 分）若奇函数 f（ x）在其定义域 R 上是减函数，且对任意的 xR，不等式 f（cos2x +sinx）+f（sinxa）0 恒成立，则 a 的最大值是 14 （5 分）已知ABC 的边长为 2 的等边三角形，动点 P 满足，则 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知（1）求 tan 的值；（2）求 的值16 （14 分）已知向量 ，向量 ，向量 满足
4、 （1）若 ，且 ，求 的值；（2）若 与 共线，求实数 k 的值17 （14 分）已知函数（1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）若 ，求 cos2 的值18 （16 分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=0.5 米上部CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和 AB、DC 不重合） （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN
5、的通风面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数 S=f（x） ；（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积19 （16 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 =（1，2） ，又点A（8 ，0 ） ，B （n，t） ，C（ksin ，t ） ，R（1）若 ，且 ，求向量 ；（2）若向量 与向量 共线，常数 k0，求 f（ ）=tsin 的值域20 （16 分）对于函数 f1（x） ，f 2（x） ，h（x） ，如果存在实数 a，b 使得 h（
6、x ）=af1（x ）+bf 2（x） ，那么称 h（x ）为 f1（x ） ，f 2（x ）的生成函数（1）给出函数 ，h（x ）是否为f1（x） ，f 2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设 ，生成函数 h（x ） 若不等式 3h2（x）+2h（x） +t0 在 x2，4上恒成立，求实数 t 的取值范围；（3）设 ，取 a0，b 0，生成函数 h（x）图象的最低点坐标为（2，8） 若对于任意正实数 x1，x 2 且x1+x2=1试问是否存在最大的常数 m，使 h（x 1）h（x 2）m 恒成立？如果存在，求出这个 m 的值；如果不存在，请说明理由2016-2017 学年江苏省无锡市高一（
7、上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 （5 分）已知集合 A=0，1，2，3，4，5，B= 1，0，1，6，且 AB= 0，1 【解答】解：集合 A=0，1，2，3，4，5，B=1，0，1，6，AB=0，1故答案为：0，12 （5 分）函数 的定义域是 （1，0）（0，+） 【解答】解：要使原函数有意义，则 ，得 x1 且 x0函数 的定义域是：（1，0） （0，+） 故答案为：（1，0）（ 0，+） 3 （5 分）cos24cos36cos66cos54的值等于 【解答】解：24 +66=90，c
8、os66=sin24，同理可得 cos54=sin36由此可得 cos24cos36cos66cos54=cos24cos36sin24sin36=cos（24+36）=cos60= 故答案为：4 （5 分）已知向量 、 满足 ，它们的夹角为 60，那么= 【解答】解：向量 、 满足 ，它们的夹角为 60， = +2 +=12+212cos60+22=7 = 故答案为： 5 （5 分）若幂函数 f（x）的图象过点 ，则 f（x）= x 2 【解答】解：设幂函数为 y=x，因为图象过点 ，则 ，所以，=2所以 f（ x）=x 2故答案为 x26 （5 分）函数 f（x ）=12sin 2x 的最
9、小正周期为 【解答】解：f（x）=12sin 2x=cos2x函数最小正周期 T= =故答案为：7 （5 分）方程 lgx+x=2 的根 x0（k，k+1） ，其中 kZ，则 k= 1 【解答】解：由题意设 f（x ）=lgx+x2，则函数 f（x）的定义域是（0，+） ，所以函数 f（x）在（0，+ ）是单调增函数，因为 f（ 1）=0+12=10，f（2）=lg2+22=lg20，所以函数 f（x）在（0，+ ）上有一个零点，即方程 lgx+x=2 的一个根 x0（1，2 ） ，因为 x0（k，k+1） ，kZ，所以 k=1，故答案为：18 （5 分）设定义域为 R 的偶函数 f（x）满足
10、：对任意的 x1，x 2（0，+） ，（x 1x2）f （x 1）f（x 2）0，则 f（） f（3.14） （填“” 、 “”或“=”）【解答】解：函数 f（x ）满足：对任意的 x1，x 2（0，+） ， （x 1x2）f（ x1）f（x 2）0 ，函数 f（x ）在（0，+ ）上为增函数，又由函数 f（x）是定义域为 R 的偶函数，故 f（）=f（）f （3.14 ） 故答案为：9 （5 分）将函数 y=sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为 y=sin（2x+ ） 【解答】解：将函数 y=sinx 的图象
11、上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，可得 y=sin2x 的图象；再将得到的图象向左平移 个单位长度，可得 y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的图象，故答案为：y=sin（2x+ ） 10 （5 分）函数 f（x ）=Asin （x +） （A 0，0，0，2） ）的图象如图所示，则 = 【解答】解：由题意可知 A=3，T=8，所以 = = ，因为函数经过（3，0） ，所以3sin（ ） ，0，2） ，所以 = 故答案为： 11 （5 分）如图，在ABC 中，BAC=120 ，AB=2，AC=1，D 是边 BC 上一点，=2 ，则 = 【解答】解：法一：选定基向量 ， ，由
12、图及题意得 ，= =（ ） （ ）= + =法二：由题意可得BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+1+2=7，BC= ，cosB= = =AD= = ， ， = 故答案为： 12 （5 分）已知角 、 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，、（0，） ，角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ，角 + 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ，则 cos= 【解答】解：由题意得 、（0， ） ，cos= ，sin= ，故 sin （ +） = ， +，cos（+）= ，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin （ +）sin=，故答案为 13 （5 分）若奇函数 f（ x）在其定义域
13、R 上是减函数，且对任意的 xR，不等式 f（cos2x +sinx）+f（sinxa）0 恒成立，则 a 的最大值是 3 【解答】解：不等式 f（cos2x+sinx ）+f（sinxa）0 恒成立，即f（cos2x+sinx）f（sinx a）恒成立又f（ x）是奇函数，f （sinx a）=f （ sinx+a）不等式 f（cos2x+sinx）f（ sinx+a）在 R 上恒成立函数 f（x ）在其定义域 R 上是减函数，cos2x+sinxsinx +a，即 cos2x+2sinxacos2x=12sin 2x，cos2x+2sinx= 2sin2x+2sinx+1，当 sinx=1
14、 时 cos2x+2sinx 有最小值 3因此 a3 ， a 的最大值是 3故答案为：314 （5 分）已知ABC 的边长为 2 的等边三角形，动点 P 满足，则 的取值范围是 ，0 【解答】解：如图所示，ABC 中，设 BC 的中点为 O，则 =2 ， = sin2 +cos2 =sin2 +cos2=（ 1cos2） +cos2= +cos2（ ） ，即 =cos2（ ） ，可得 =cos2 ，又cos 20，1 ，P 在线段 OA 上，由于 BC 边上的中线 OA=2sin60= ，因此（ + ） =2 ，设| |=t，t0， ，可得（ + ） =2t（ t）=2t 22 t=2（t ）
15、 2 ，当 t= 时， （ + ） 取得最小值为 ；当 t=0 或 时， （ + ） 取得最大值为 0； 的取值范围是 ，0故答案为： ，0二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知（1）求 tan 的值；（2）求 的值【解答】解：（1） ， ，2， ，tan=2（2） = 16 （14 分）已知向量 ，向量 ，向量 满足 （1）若 ，且 ，求 的值；（2）若 与 共线，求实数 k 的值【解答】解：（1） ， ，又 ， ，而 ，且 ， ，得 k= ， = ，则 | |= ；（2）由 ，得 ， ， 与 共线， ，解得：k=117 （
16、14 分）已知函数（1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）若 ，求 cos2 的值【解答】解：（1）函数= sin2x+2 = sin2x+ cos2x+= sin（2x+ ）+ ，令 +2k2x+ +2k，kZ，解得 +kx +k，kZ，函数 f（x ）的单调增区间为 k ，k+ ，kZ ；（2）f（）= sin（2+ ）+ =2，sin （2 + ）= ，又 ， ， 2+ ，2 + = ，2= ，cos2= 18 （16 分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=0.5 米上部CmD 是个半圆，固定点
17、 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和 AB、DC 不重合） （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 EMN 的通风面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数 S=f（x） ；（3）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积【解答】解：（1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时，MN 应位于 DC上
18、方，且此时EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米，又因为 EM=EN=1 米，所以MN= 米，所以 ，即三角通风窗 EMN 的通风面积为（2）当 MN 在矩形区域内滑动，即 时，EMN 的面积；当 MN 在半圆形区域内滑动，即 时， EMN 的面积综上可得 ；（3）当 MN 在矩形区域内滑动时，f（x）在区间 上单调递减，则f（x）f（0）= ；当 MN 在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当 （米）时，每个三角形得到最大通风面积为 平方米19 （16 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 =（1，2） ，又点A（8 ，0 ） ，B （n，t） ，C（ksin ，t ） ，R（1
19、）若 ，且 ，求向量 ；（2）若向量 与向量 共线，常数 k0，求 f（ ）=tsin 的值域【解答】解：（1） =（ n8，t ） ， ，且 ， （n 8）+2t=0， =8 ，解得 t=8，t=8 时，n=24；t=8 时，n= 8向量 =（ 24，8） ， （8，8） （2） =（ksin 8，t ） ，（2）向量 与向量 共线，常数 k0，t=2ksin+16，f（ ）=tsin= 2ksin2+16sin=2k + k4 时， ，sin= 时，f（）=tsin 取得最大值 ，sin=1 时，f（ ）=tsin 取得最小值 2k16，此时函数 f（ ）的值域为4k 0 时， 1 sin
20、=1 时，f（）=tsin 取得最大值2k+16，sin=1 时，f（ ）=tsin 取得最小值 2k16，此时函数 f（）的值域为 2k16，2k+1620 （16 分）对于函数 f1（x） ，f 2（x） ，h（x） ，如果存在实数 a，b 使得 h（x ）=af1（x ）+bf 2（x） ，那么称 h（x ）为 f1（x ） ，f 2（x ）的生成函数（1）给出函数 ，h（x ）是否为f1（x） ，f 2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设 ，生成函数 h（x ） 若不等式 3h2（x）+2h（x） +t0 在 x2，4上恒成立，求实数 t 的取值范围；（3）设 ，取 a0，b 0，生
21、成函数 h（x）图象的最低点坐标为（2，8） 若对于任意正实数 x1，x 2 且x1+x2=1试问是否存在最大的常数 m，使 h（x 1）h（x 2）m 恒成立？如果存在，求出这个 m 的值；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）函数 ，若 h（x）是 af1（x）+bf 2（x ）的生成函数，则有：lgx= ，由： ，解得： ，存在实数 a，b 满足题意h（x）是 f1（x） ，f 2（x）的生成函数（2）由题意， ，生成函数h（x） 则 h（x）=2f 1（x）+f 2（x）=h（x）是定义域内的增函数若 3h2（x）+2h（x）+t0 在 x2，4上恒成立，即 设 S=log2x，则 S1，2，那么有：y=3S 22S，其对称轴 S= 16y5，故得 t5（3）由题意，得 h（x）=af 1（x）+bf 2（x ）=ax ，则 h（x）=ax 2 ，解得：a=2，b=8 h（x）=2x + ， （x0）假设最大的常数 m，使 h（x 1）h（x 2）m 恒成立，令 u=h（x 1）h（x 2）= =x 1+x2=1，u= ，令 t=x1x2，则 t=x1x2 ，即 ，那么：u=4t ，在 上是单调递减，uu（ ）=289故最大的常数 m=289
