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2016-2017学年江苏省无锡市XX中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 (5 分)已知集合 A=0,1,2,3,4,5,B= 1,0,1,6,且 AB= 2 (5 分)函数 的定义域是 3 (5 分)cos24cos36cos66cos54的值等于 4 (5 分)已知向量 、 满足 ,它们的夹角为 60,那么= 5 (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 f(x)= 6 (5 分)函数 f(x )=12sin 2x 的最小正周期为 7 (5 分)方程 lgx+x=2 的根 x0(k,k+1) ,其中 k

2、Z,则 k= 8 (5 分)设定义域为 R 的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x 2(0,+) ,(x 1x2)f (x 1)f(x 2)0,则 f() f(3.14) (填“” 、 “”或“=”)9 (5 分)将函数 y=sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位长度,所得图象的函数解析式为 10 (5 分)函数 f(x )=Asin (x +) (A 0,0,0,2) )的图象如图所示,则 = 11 (5 分)如图,在ABC 中,BAC=120 ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点,=2 ,则 = 12 (5 分)已知角 、

3、的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,、(0,) ,角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ,角 + 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos= 13 (5 分)若奇函数 f( x)在其定义域 R 上是减函数,且对任意的 xR,不等式 f(cos2x +sinx)+f(sinxa)0 恒成立,则 a 的最大值是 14 (5 分)已知ABC 的边长为 2 的等边三角形,动点 P 满足,则 的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)已知(1)求 tan 的值;(2)求 的值16 (14 分)已知向量 ,向量 ,向量 满足

4、 (1)若 ,且 ,求 的值;(2)若 与 共线,求实数 k 的值17 (14 分)已知函数(1)求函数 f(x)的单调增区间;(2)若 ,求 cos2 的值18 (16 分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=0.5 米上部CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆(MN 和 AB、DC 不重合) (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时,求此时三角通风窗 EMN

5、的通风面积;(2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数 S=f(x) ;(3)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这个最大面积19 (16 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 =(1,2) ,又点A(8 ,0 ) ,B (n,t) ,C(ksin ,t ) ,R(1)若 ,且 ,求向量 ;(2)若向量 与向量 共线,常数 k0,求 f( )=tsin 的值域20 (16 分)对于函数 f1(x) ,f 2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(

6、x )=af1(x )+bf 2(x) ,那么称 h(x )为 f1(x ) ,f 2(x )的生成函数(1)给出函数 ,h(x )是否为f1(x) ,f 2(x)的生成函数?并说明理由;(2)设 ,生成函数 h(x ) 若不等式 3h2(x)+2h(x) +t0 在 x2,4上恒成立,求实数 t 的取值范围;(3)设 ,取 a0,b 0,生成函数 h(x)图象的最低点坐标为(2,8) 若对于任意正实数 x1,x 2 且x1+x2=1试问是否存在最大的常数 m,使 h(x 1)h(x 2)m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由2016-2017 学年江苏省无锡市高一(

7、上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1 (5 分)已知集合 A=0,1,2,3,4,5,B= 1,0,1,6,且 AB= 0,1 【解答】解:集合 A=0,1,2,3,4,5,B=1,0,1,6,AB=0,1故答案为:0,12 (5 分)函数 的定义域是 (1,0)(0,+) 【解答】解:要使原函数有意义,则 ,得 x1 且 x0函数 的定义域是:(1,0) (0,+) 故答案为:(1,0)( 0,+) 3 (5 分)cos24cos36cos66cos54的值等于 【解答】解:24 +66=90,c

8、os66=sin24,同理可得 cos54=sin36由此可得 cos24cos36cos66cos54=cos24cos36sin24sin36=cos(24+36)=cos60= 故答案为:4 (5 分)已知向量 、 满足 ,它们的夹角为 60,那么= 【解答】解:向量 、 满足 ,它们的夹角为 60, = +2 +=12+212cos60+22=7 = 故答案为: 5 (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 f(x)= x 2 【解答】解:设幂函数为 y=x,因为图象过点 ,则 ,所以,=2所以 f( x)=x 2故答案为 x26 (5 分)函数 f(x )=12sin 2x 的最

9、小正周期为 【解答】解:f(x)=12sin 2x=cos2x函数最小正周期 T= =故答案为:7 (5 分)方程 lgx+x=2 的根 x0(k,k+1) ,其中 kZ,则 k= 1 【解答】解:由题意设 f(x )=lgx+x2,则函数 f(x)的定义域是(0,+) ,所以函数 f(x)在(0,+ )是单调增函数,因为 f( 1)=0+12=10,f(2)=lg2+22=lg20,所以函数 f(x)在(0,+ )上有一个零点,即方程 lgx+x=2 的一个根 x0(1,2 ) ,因为 x0(k,k+1) ,kZ,所以 k=1,故答案为:18 (5 分)设定义域为 R 的偶函数 f(x)满足

10、:对任意的 x1,x 2(0,+) ,(x 1x2)f (x 1)f(x 2)0,则 f() f(3.14) (填“” 、 “”或“=”)【解答】解:函数 f(x )满足:对任意的 x1,x 2(0,+) , (x 1x2)f( x1)f(x 2)0 ,函数 f(x )在(0,+ )上为增函数,又由函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,故 f()=f()f (3.14 ) 故答案为:9 (5 分)将函数 y=sinx 的图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位长度,所得图象的函数解析式为 y=sin(2x+ ) 【解答】解:将函数 y=sinx 的图象

11、上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,可得 y=sin2x 的图象;再将得到的图象向左平移 个单位长度,可得 y=sin2(x+ )=sin(2x+ )的图象,故答案为:y=sin(2x+ ) 10 (5 分)函数 f(x )=Asin (x +) (A 0,0,0,2) )的图象如图所示,则 = 【解答】解:由题意可知 A=3,T=8,所以 = = ,因为函数经过(3,0) ,所以3sin( ) ,0,2) ,所以 = 故答案为: 11 (5 分)如图,在ABC 中,BAC=120 ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点,=2 ,则 = 【解答】解:法一:选定基向量 , ,由

12、图及题意得 ,= =( ) ( )= + =法二:由题意可得BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+1+2=7,BC= ,cosB= = =AD= = , , = 故答案为: 12 (5 分)已知角 、 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,、(0,) ,角 的终边与单位圆交点的横坐标是 ,角 + 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos= 【解答】解:由题意得 、(0, ) ,cos= ,sin= ,故 sin ( +) = , +,cos(+)= ,cos=cos(+)=cos(+)cos+sin ( +)sin=,故答案为 13 (5 分)若奇函数 f( x)在其定义域

13、R 上是减函数,且对任意的 xR,不等式 f(cos2x +sinx)+f(sinxa)0 恒成立,则 a 的最大值是 3 【解答】解:不等式 f(cos2x+sinx )+f(sinxa)0 恒成立,即f(cos2x+sinx)f(sinx a)恒成立又f( x)是奇函数,f (sinx a)=f ( sinx+a)不等式 f(cos2x+sinx)f( sinx+a)在 R 上恒成立函数 f(x )在其定义域 R 上是减函数,cos2x+sinxsinx +a,即 cos2x+2sinxacos2x=12sin 2x,cos2x+2sinx= 2sin2x+2sinx+1,当 sinx=1

14、 时 cos2x+2sinx 有最小值 3因此 a3 , a 的最大值是 3故答案为:314 (5 分)已知ABC 的边长为 2 的等边三角形,动点 P 满足,则 的取值范围是 ,0 【解答】解:如图所示,ABC 中,设 BC 的中点为 O,则 =2 , = sin2 +cos2 =sin2 +cos2=( 1cos2) +cos2= +cos2( ) ,即 =cos2( ) ,可得 =cos2 ,又cos 20,1 ,P 在线段 OA 上,由于 BC 边上的中线 OA=2sin60= ,因此( + ) =2 ,设| |=t,t0, ,可得( + ) =2t( t)=2t 22 t=2(t )

15、 2 ,当 t= 时, ( + ) 取得最小值为 ;当 t=0 或 时, ( + ) 取得最大值为 0; 的取值范围是 ,0故答案为: ,0二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)已知(1)求 tan 的值;(2)求 的值【解答】解:(1) , ,2, ,tan=2(2) = 16 (14 分)已知向量 ,向量 ,向量 满足 (1)若 ,且 ,求 的值;(2)若 与 共线,求实数 k 的值【解答】解:(1) , ,又 , ,而 ,且 , ,得 k= , = ,则 | |= ;(2)由 ,得 , , 与 共线, ,解得:k=117 (

16、14 分)已知函数(1)求函数 f(x)的单调增区间;(2)若 ,求 cos2 的值【解答】解:(1)函数= sin2x+2 = sin2x+ cos2x+= sin(2x+ )+ ,令 +2k2x+ +2k,kZ,解得 +kx +k,kZ,函数 f(x )的单调增区间为 k ,k+ ,kZ ;(2)f()= sin(2+ )+ =2,sin (2 + )= ,又 , , 2+ ,2 + = ,2= ,cos2= 18 (16 分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=0.5 米上部CmD 是个半圆,固定点

17、 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆(MN 和 AB、DC 不重合) (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时,求此时三角通风窗 EMN 的通风面积;(2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数 S=f(x) ;(3)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这个最大面积【解答】解:(1)由题意,当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时,MN 应位于 DC上

18、方,且此时EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米,又因为 EM=EN=1 米,所以MN= 米,所以 ,即三角通风窗 EMN 的通风面积为(2)当 MN 在矩形区域内滑动,即 时,EMN 的面积;当 MN 在半圆形区域内滑动,即 时, EMN 的面积综上可得 ;(3)当 MN 在矩形区域内滑动时,f(x)在区间 上单调递减,则f(x)f(0)= ;当 MN 在半圆形区域内滑动,等号成立时,因此当 (米)时,每个三角形得到最大通风面积为 平方米19 (16 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 =(1,2) ,又点A(8 ,0 ) ,B (n,t) ,C(ksin ,t ) ,R(1

19、)若 ,且 ,求向量 ;(2)若向量 与向量 共线,常数 k0,求 f( )=tsin 的值域【解答】解:(1) =( n8,t ) , ,且 , (n 8)+2t=0, =8 ,解得 t=8,t=8 时,n=24;t=8 时,n= 8向量 =( 24,8) , (8,8) (2) =(ksin 8,t ) ,(2)向量 与向量 共线,常数 k0,t=2ksin+16,f( )=tsin= 2ksin2+16sin=2k + k4 时, ,sin= 时,f()=tsin 取得最大值 ,sin=1 时,f( )=tsin 取得最小值 2k16,此时函数 f( )的值域为4k 0 时, 1 sin

20、=1 时,f()=tsin 取得最大值2k+16,sin=1 时,f( )=tsin 取得最小值 2k16,此时函数 f()的值域为 2k16,2k+1620 (16 分)对于函数 f1(x) ,f 2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x )=af1(x )+bf 2(x) ,那么称 h(x )为 f1(x ) ,f 2(x )的生成函数(1)给出函数 ,h(x )是否为f1(x) ,f 2(x)的生成函数?并说明理由;(2)设 ,生成函数 h(x ) 若不等式 3h2(x)+2h(x) +t0 在 x2,4上恒成立,求实数 t 的取值范围;(3)设 ,取 a0,b 0,生

21、成函数 h(x)图象的最低点坐标为(2,8) 若对于任意正实数 x1,x 2 且x1+x2=1试问是否存在最大的常数 m,使 h(x 1)h(x 2)m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由【解答】解:(1)函数 ,若 h(x)是 af1(x)+bf 2(x )的生成函数,则有:lgx= ,由: ,解得: ,存在实数 a,b 满足题意h(x)是 f1(x) ,f 2(x)的生成函数(2)由题意, ,生成函数h(x) 则 h(x)=2f 1(x)+f 2(x)=h(x)是定义域内的增函数若 3h2(x)+2h(x)+t0 在 x2,4上恒成立,即 设 S=log2x,则 S1,2,那么有:y=3S 22S,其对称轴 S= 16y5,故得 t5(3)由题意,得 h(x)=af 1(x)+bf 2(x )=ax ,则 h(x)=ax 2 ,解得:a=2,b=8 h(x)=2x + , (x0)假设最大的常数 m,使 h(x 1)h(x 2)m 恒成立,令 u=h(x 1)h(x 2)= =x 1+x2=1,u= ,令 t=x1x2,则 t=x1x2 ,即 ,那么:u=4t ,在 上是单调递减,uu( )=289故最大的常数 m=289