1、2016-2017 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）若1，2A1，2，3，4，5 ，则满足条件的集合 A 的个数是（ ）A6 B8 C7 D92 （5 分）设 a，bR，集合 A=1，a+b，a，B=0， ，b，若 A=B，则 ba（ ）A2 B1 C1 D 23 （5 分）下列各组函数 f（x ）与 g（x ）的图象相同的是（ ）Af （x）=x ，g（x）=（ ） 2 Bf（x）=x 2，g（x）= （x+1） 2C f（ x）=1，g （x ）=x 0D
2、f（x）= |x|，g（x）=4 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（，0 ）内为增函数的是（ ）Ay= （ ） x By=x 2 Cy=x 2+1 Dy=log 3（ x）5 （5 分）三个数 a=0.32，b=log 20.3，c=2 0.3 之间的大小关系是（ ）Aa c b Babc Cb ac Db c a6 （5 分）下列叙述中错误的是（ ）A若点 P，P 且 =l ，则 PlB三点 A，B，C 能确定一个平面C若直线 a b=A，则直线 a 与 b 能够确定一个平面D若点 Al，Bl ，且 A，B ，则 l7 （5 分）方程 log2x+x=3 的解所在区间是（ ）A （0 ，
3、1 ） B （1，2） C （3，+） D2，3）8 （5 分）圆 x2+y2ax+2y+1=0 关于直线 xy=1 对称的圆的方程为 x2+y2=1，则实数 a 的值为（ ）A0 B1 C2 D29 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，DAB=90，ADC=135，AB=5，CD=2，AD=2 ，则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为（ ）A （60 +4 ） B （60+8 ） C （56+8 ） D （56+4 ）10 （5 分）若直线 y=x+b 与曲线（x 2） 2+（y3） 2=4（0x4，1y3）有公共点，则实数 b 的取值范围是（ ）A1 2 ，3 B1
4、 ，3 C 1，1+2 D12 ，1+2 11 （5 分）如图，在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；当 EAA1 时，AE+BF 是定值其中正确说法的是（ ）A B C D12 （5 分）若函数 f（x ） = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B （1，8） C （4，8） D4，8）二、填空题(本大题共 4 小题，每小
5、题 5 分，共 20 分)13 （5 分）在空间直角坐标系中，已知 P（2 ，2，5） 、Q（5 ，4，z ）两点之间的距离为 7，则 z= 14 （5 分）已知函数 f（ x）=ax 2+（b 3）x +3，xa 22，a 是偶函数，则 a+b= 15 （5 分）已知两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0，则与它们等距离的平行线方程为 16 （5 分）已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点 A（1，2）作圆的切线有两条，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知全集 U
6、=R，集合 M=x|2x 5，N=x |a+1x2a +1（）若 a=2，求 M（ RN） ；（）若 M N=M，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知ABC 的顶点 B（ 1， 3） ，边 AB 上的高 CE 所在直线的方程为4x+3y7=0，BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 x3y3=0（1）求点 C 的坐标；（2）求直线 AB 的方程19 （12 分）如图，OAB 是边长为 2 的正三角形，记OAB 位于直线x=t（t 0）左侧的图形的面积为 f（t） 试求函数 f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象20 （12 分）如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， A
7、BC=90 ，BC=CC1，M、N 分别为 BB1、A 1C1 的中点（）求证：CB 1平面 ABC1；（）求证：MN平面 ABC121 （12 分）已知圆 C：x 2+y24x14y+45=0 及点 Q（ 2，3） （1）若 M 为圆 C 上任一点，求 |MQ|的最大值和最小值；（2）若实数 m，n 满足 m2+n24m14n+45=0，求 k= 的最大值和最小值22 （12 分）已知指数函数 y=g（x）满足 g（3）=8，又定义域为实数集 R 的函数 f（x）= 是奇函数（1）讨论函数 y=f（x）的单调性；（2）若对任意的 tR，不等式 f（2t 3t2）+f（t 2k）0 恒成立，求
8、实数 k 的取值范围2016-2017 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）若1，2A1，2，3，4，5 ，则满足条件的集合 A 的个数是（ ）A6 B8 C7 D9【解答】解：1，2A 1，2，3，4，5，集合 A 中除了含有 1，2 两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合 A 为1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2 ，3 ，5 ，1，2 ，4 ，5，1，2，3 ，4，5 共 7 个故选：C2 （5 分
9、）设 a，bR，集合 A=1，a+b，a，B=0， ，b，若 A=B，则 ba（ ）A2 B1 C1 D 2【解答】解：a，bR，集合 A=1，a+b，a，B=0， ，b，A=B ， ，解得 a=1，b=1，ba=2故选：A3 （5 分）下列各组函数 f（x ）与 g（x ）的图象相同的是（ ）Af （x）=x ，g（x）=（ ） 2 Bf（x）=x 2，g（x）= （x+1） 2C f（ x）=1，g （x ）=x 0Df（x）= |x|，g（x）=【解答】解：对于 A，f（ x）=x（x R） ，与 g（x）= （ ） 2=x（x0）的定义域不同，不是同一函数，图象不同；对于 B，f（x）
10、=x 2（x R） ，与 g（x ）=（x+1） 2（x R）的对应关系不同，不是同一函数，图象不同；对于 C，f （x）=1（xR） ，与 g（x ）=x 0=1（x 0）的定义域不同，不是同一函数，图象不同；对于 D，f（x）= |x|= ，与 g（x）= 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，图象相同故选：D4 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（，0 ）内为增函数的是（ ）Ay= （ ） x By=x 2 Cy=x 2+1 Dy=log 3（ x）【解答】解：函数 y=（ ） x 是非奇非偶函数，在（，0）内为减函数，故 A不满足条件；函数 y=x2 既是偶函数又在（ ，0）内为
11、增函数，故 B 满足条件；y=x2+1 是偶函数，但在（，0）内为减函数，故 C 不满足条件；y=log3（x）是非奇非偶函数，在（ ，0 ）内为减函数，故 D 不满足条件；故选：B5 （5 分）三个数 a=0.32，b=log 20.3，c=2 0.3 之间的大小关系是（ ）Aa c b Babc Cb ac Db c a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log 20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c 1bac故选 C6 （5 分）下列叙述中错误的是（ ）A若点 P，P 且 =l ，则 PlB三点 A，B，C 能确定一个平面C若直线 a b=A，则直线 a 与 b 能够确定一个平面
12、D若点 Al，Bl ，且 A，B ，则 l【解答】解：在 A 中，若点 P，P 且 =l ，则由公理二知 Pl，故 A 正确；在 B 中，三点 A，B，C 不共线时，能确定一个平面；三点 A，B ，C 共线时，不能确定一个平面，故 B 错误；在 C 中，若直线 ab=A，则由公理三知直线 a 与 b 能够确定一个平面，故 C 正确；在 D 中，若点 Al，Bl ，且 A，B ，则由公理一知 l，故 D 正确故选：B7 （5 分）方程 log2x+x=3 的解所在区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （3，+） D2，3）【解答】解：设 f（x）=log 2x+x3，在（0，+）上
13、单调递增f（ 2）=1+23=0，f （3）=log 230根据函数的零点存在性定理得出：f（x ）的零点在2，3区间内方程 log2x+x=3 的解所在的区间为2，3 ，故选：D8 （5 分）圆 x2+y2ax+2y+1=0 关于直线 xy=1 对称的圆的方程为 x2+y2=1，则实数 a 的值为（ ）A0 B1 C2 D2【解答】解：圆 x2+y2ax+2y+1=0 即（x ） 2（y+1） 2= ，表示以 A（ ， 1）为圆心，以| |为半径的圆关于直线 xy1=0 对称的圆 x2+y2=1 的圆心为（0， 0） ，故有 1=1，解得 a=2，故选：D9 （5 分）如图，在四边形 ABC
14、D 中，DAB=90，ADC=135，AB=5，CD=2，AD=2 ，则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为（ ）A （60 +4 ） B （60+8 ） C （56+8 ） D （56+4 ）【解答】解：四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的几何体，如右图：S 表面 =S 圆台下底面 +S 圆台侧面 +S 圆锥侧面 =r22+（r 1+r2）l 2+r1l1= =（60+4 ），故选：A10 （5 分）若直线 y=x+b 与曲线（x 2） 2+（y3） 2=4（0x4，1y3）有公共点，则实数 b 的取值范围是（ ）A1 2 ，3 B1 ，3 C 1，1+2 D12
15、，1+2 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d= =2，b=12 ，（0，3）代入直线 y=x+b，可得 b=3，直线 y=x+b 与曲线（x2） 2+（y3） 2=4（0x4，1y3）有公共点，实数 b 的取值范围是1 2 ，3，故选 A11 （5 分）如图，在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；当 EAA1 时，AE+BF 是定值其中正确说法的是（ ）A B C D【解答】解
16、：水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面 AA1B1B 平行平面CC1D1D 即可判断 正确；水面四边形 EFGH 的面积不改变；EF 是可以变化的 EH 不变的，所以面积是改变的，是不正确的；棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1EH ，所以结论正确；当 EAA1 时，AE+BF 是定值水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确故选：C12 （5 分）若函数 f（x ） = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B （1，8） C （4，8） D4，8）【解答】解：对任意的实数 x1x
17、 2 都有 0 成立，函数 f（x ）= 在 R 上单调递增， ，解得：a 4，8） ，故选：D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13 （5 分）在空间直角坐标系中，已知 P（2 ，2，5） 、Q（5 ，4，z ）两点之间的距离为 7，则 z= 11 或 1 【解答】解：空间直角坐标系中，点 P（2，2，5） 、Q（5，4，z）两点之间的距离为 7， =7，即（z5） 2=36解得 z=11 或 1故答案为：11 或114 （5 分）已知函数 f（ x）=ax 2+（b 3）x +3，xa 22，a 是偶函数，则 a+b= 4 【解答】解：函数 f（x ）=ax 2
18、+（b 3）x+3，x a22，a 是偶函数a 22+a=0a=2 或 1a 22 aa=1偶函数的图象关于 y 轴对称， =0b=3a +b=4故答案为：415 （5 分）已知两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0，则与它们等距离的平行线方程为 12x+8y15=0 【解答】解：两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0，设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0，由题意可得： ，解得 b= 与它们等距离的平行线的方程为：12x+8y15=0故答案为 12x+8y15=016 （5 分）已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点 A（1，2）
19、作圆的切线有两条，则 a 的取值范围是 （ ， ） 【解答】解：将圆的方程配方得（x+ ） 2+（y+1） 2= ，圆心 C 的坐标为（ ，1） ，半径 r= ，条件是 43a20 ，过点 A（1，2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即 化简得 a2+a+90 由 43a20， a2+a+90，解之得 a ，aR故 a 的取值范围是（ ， ） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知全集 U=R，集合 M=x|2x 5，N=x |a+1x2a +1（）若 a=2，求 M（ RN） ；（）若 M N=M，求实数 a 的取
20、值范围【解答】解：（）若 a=2，则 N=x|3x 5，则 RN=x|x5 或 x3；则 M （ RN）= x|2x 3；（）若 M N=M，则 NM，若 N=，即 a+12a+1，得 a0，此时满足条件，当 N，则满足 ，得 0a 2，综上 a218 （12 分）已知ABC 的顶点 B（ 1， 3） ，边 AB 上的高 CE 所在直线的方程为4x+3y7=0，BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 x3y3=0（1）求点 C 的坐标；（2）求直线 AB 的方程【解答】解：（1）设 D（a，b ） ，则 C（2a+1，2b+3） ， ，解得 ，D（0，1） ， C（1，1） ；（2）CEAB，
21、且直线 CE 的斜率为 ，直线 AB 的斜率为 ，直线 AB 的方程为 ，即 3x4y9=0由 ，解得 ，A（3，0 ） ，直线 AB 方程为： ，化简整理得，3x4y9=019 （12 分）如图，OAB 是边长为 2 的正三角形，记OAB 位于直线x=t（t 0）左侧的图形的面积为 f（t） 试求函数 f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象【解答】解：（1）当 0t1 时，如图，设直线 x=t 与OAB 分别交于 C、D 两点，则|OC|=t，又 ， ，（2）当 1t2 时，如图，设直线 x=t 与OAB 分别交于 M、N 两点，则|AN|=2 t，又 ，（3）当 t2 时，综上所述
22、20 （12 分）如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ABC=90 ，BC=CC1，M、N 分别为 BB1、A 1C1 的中点（）求证：CB 1平面 ABC1；（）求证：MN平面 ABC1【解答】解：（）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C底面 ABC，且侧面 BB1C1C底面 ABC=BC，ABC=90 ，即 ABBC ，AB平面 BB1C1 （2 分）CB 1平面 BB1C1C，AB CB 1（4 分）BC=CC 1，CC 1BC ，BCC 1B1 是正方形，CB 1 BC1，ABBC 1=B，CB 1平面 ABC1（）取 AC1 的中点 F，连 BF、NF
23、（7 分）在AA 1C1 中， N、F 是中点，NF AA1，又正方形 BCC1B1 中 BM AA1，NF BM，且 NF=BM（8 分）故四边形 BMNF 是平行四边形，可得 MNBF，（10 分）BF面 ABC1，MN 平面 ABC1，MN面 ABC1（12 分）21 （12 分）已知圆 C：x 2+y24x14y+45=0 及点 Q（ 2，3） （1）若 M 为圆 C 上任一点，求 |MQ|的最大值和最小值；（2）若实数 m，n 满足 m2+n24m14n+45=0，求 k= 的最大值和最小值【解答】解：（1）圆 C： x2+y24x14y+45=0 可化为（x2） 2+（y7） 2=
24、8，圆心坐标为 C（2，7） ，半径 r=2 ，|QC|= =4 ，|MQ| max=4 +2 =6 ，|MQ| min=4 =2；（2）由题意， （m，n）是圆 C 上一点，k 表示圆上任意一点与（2，3）连线的斜率，设直线方程为 y3=k（x+2） ，直线与圆 C 相切时，k 取得最值，即=2 ，k=2 ，k 的最大值为 2+ ，最小值为 2 22 （12 分）已知指数函数 y=g（x）满足 g（3）=8，又定义域为实数集 R 的函数 f（x）= 是奇函数（1）讨论函数 y=f（x）的单调性；（2）若对任意的 tR，不等式 f（2t 3t2）+f（t 2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范
25、围【解答】解：（1）设 g（ x）=a x， （a0 且 a1 ） ，g （3）=a 3=8，故 a=2，f （x）= ，任取实数 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）= = ，x 1x 2，考虑 y=2x 在 R 递增， 0， 0， （1+ ） （ 1+ ）0，f（ x1）f （x 2） ，y=f（x）在 R 递减；（2）要使 f（2t3t 2）+f（t 2k）0 恒成立，即 f（2t3t 2）f（t 2k）成立，即 f（2t3t 2）f（kt 2）成立，由（1）得：2t3t 2kt 2，即 k2t 2+2t 恒成立，设 h（t）= 2t2+2t=2 + ，h（t） max= ，故 k
