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2016-2017学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)若1,2A1,2,3,4,5 ,则满足条件的集合 A 的个数是( )A6 B8 C7 D92 (5 分)设 a,bR,集合 A=1,a+b,a,B=0, ,b,若 A=B,则 ba( )A2 B1 C1 D 23 (5 分)下列各组函数 f(x )与 g(x )的图象相同的是( )Af (x)=x ,g(x)=( ) 2 Bf(x)=x 2,g(x)= (x+1) 2C f( x)=1,g (x )=x 0D

2、f(x)= |x|,g(x)=4 (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(,0 )内为增函数的是( )Ay= ( ) x By=x 2 Cy=x 2+1 Dy=log 3( x)5 (5 分)三个数 a=0.32,b=log 20.3,c=2 0.3 之间的大小关系是( )Aa c b Babc Cb ac Db c a6 (5 分)下列叙述中错误的是( )A若点 P,P 且 =l ,则 PlB三点 A,B,C 能确定一个平面C若直线 a b=A,则直线 a 与 b 能够确定一个平面D若点 Al,Bl ,且 A,B ,则 l7 (5 分)方程 log2x+x=3 的解所在区间是( )A (0 ,

3、1 ) B (1,2) C (3,+) D2,3)8 (5 分)圆 x2+y2ax+2y+1=0 关于直线 xy=1 对称的圆的方程为 x2+y2=1,则实数 a 的值为( )A0 B1 C2 D29 (5 分)如图,在四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2 ,则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为( )A (60 +4 ) B (60+8 ) C (56+8 ) D (56+4 )10 (5 分)若直线 y=x+b 与曲线(x 2) 2+(y3) 2=4(0x4,1y3)有公共点,则实数 b 的取值范围是( )A1 2 ,3 B1

4、 ,3 C 1,1+2 D12 ,1+2 11 (5 分)如图,在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:水的部分始终呈棱柱状;水面四边形 EFGH 的面积不改变;棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;当 EAA1 时,AE+BF 是定值其中正确说法的是( )A B C D12 (5 分)若函数 f(x ) = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立,则实数 a 的取值范围是( )A (1 ,+) B (1,8) C (4,8) D4,8)二、填空题(本大题共 4 小题,每小

5、题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在空间直角坐标系中,已知 P(2 ,2,5) 、Q(5 ,4,z )两点之间的距离为 7,则 z= 14 (5 分)已知函数 f( x)=ax 2+(b 3)x +3,xa 22,a 是偶函数,则 a+b= 15 (5 分)已知两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0,则与它们等距离的平行线方程为 16 (5 分)已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条,则 a 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知全集 U

6、=R,集合 M=x|2x 5,N=x |a+1x2a +1()若 a=2,求 M( RN) ;()若 M N=M,求实数 a 的取值范围18 (12 分)已知ABC 的顶点 B( 1, 3) ,边 AB 上的高 CE 所在直线的方程为4x+3y7=0,BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 x3y3=0(1)求点 C 的坐标;(2)求直线 AB 的方程19 (12 分)如图,OAB 是边长为 2 的正三角形,记OAB 位于直线x=t(t 0)左侧的图形的面积为 f(t) 试求函数 f(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象20 (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, A

7、BC=90 ,BC=CC1,M、N 分别为 BB1、A 1C1 的中点()求证:CB 1平面 ABC1;()求证:MN平面 ABC121 (12 分)已知圆 C:x 2+y24x14y+45=0 及点 Q( 2,3) (1)若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ|的最大值和最小值;(2)若实数 m,n 满足 m2+n24m14n+45=0,求 k= 的最大值和最小值22 (12 分)已知指数函数 y=g(x)满足 g(3)=8,又定义域为实数集 R 的函数 f(x)= 是奇函数(1)讨论函数 y=f(x)的单调性;(2)若对任意的 tR,不等式 f(2t 3t2)+f(t 2k)0 恒成立,求

8、实数 k 的取值范围2016-2017 学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)若1,2A1,2,3,4,5 ,则满足条件的集合 A 的个数是( )A6 B8 C7 D9【解答】解:1,2A 1,2,3,4,5,集合 A 中除了含有 1,2 两个元素以外,至少必须含有另外一个元素,因此满足条件的集合 A 为1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2 ,3 ,5 ,1,2 ,4 ,5,1,2,3 ,4,5 共 7 个故选:C2 (5 分

9、)设 a,bR,集合 A=1,a+b,a,B=0, ,b,若 A=B,则 ba( )A2 B1 C1 D 2【解答】解:a,bR,集合 A=1,a+b,a,B=0, ,b,A=B , ,解得 a=1,b=1,ba=2故选:A3 (5 分)下列各组函数 f(x )与 g(x )的图象相同的是( )Af (x)=x ,g(x)=( ) 2 Bf(x)=x 2,g(x)= (x+1) 2C f( x)=1,g (x )=x 0Df(x)= |x|,g(x)=【解答】解:对于 A,f( x)=x(x R) ,与 g(x)= ( ) 2=x(x0)的定义域不同,不是同一函数,图象不同;对于 B,f(x)

10、=x 2(x R) ,与 g(x )=(x+1) 2(x R)的对应关系不同,不是同一函数,图象不同;对于 C,f (x)=1(xR) ,与 g(x )=x 0=1(x 0)的定义域不同,不是同一函数,图象不同;对于 D,f(x)= |x|= ,与 g(x)= 的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数,图象相同故选:D4 (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(,0 )内为增函数的是( )Ay= ( ) x By=x 2 Cy=x 2+1 Dy=log 3( x)【解答】解:函数 y=( ) x 是非奇非偶函数,在(,0)内为减函数,故 A不满足条件;函数 y=x2 既是偶函数又在( ,0)内为

11、增函数,故 B 满足条件;y=x2+1 是偶函数,但在(,0)内为减函数,故 C 不满足条件;y=log3(x)是非奇非偶函数,在( ,0 )内为减函数,故 D 不满足条件;故选:B5 (5 分)三个数 a=0.32,b=log 20.3,c=2 0.3 之间的大小关系是( )Aa c b Babc Cb ac Db c a【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log 20.30,由指数函数的性质可知:0a1,c 1bac故选 C6 (5 分)下列叙述中错误的是( )A若点 P,P 且 =l ,则 PlB三点 A,B,C 能确定一个平面C若直线 a b=A,则直线 a 与 b 能够确定一个平面

12、D若点 Al,Bl ,且 A,B ,则 l【解答】解:在 A 中,若点 P,P 且 =l ,则由公理二知 Pl,故 A 正确;在 B 中,三点 A,B,C 不共线时,能确定一个平面;三点 A,B ,C 共线时,不能确定一个平面,故 B 错误;在 C 中,若直线 ab=A,则由公理三知直线 a 与 b 能够确定一个平面,故 C 正确;在 D 中,若点 Al,Bl ,且 A,B ,则由公理一知 l,故 D 正确故选:B7 (5 分)方程 log2x+x=3 的解所在区间是( )A (0 ,1 ) B (1,2) C (3,+) D2,3)【解答】解:设 f(x)=log 2x+x3,在(0,+)上

13、单调递增f( 2)=1+23=0,f (3)=log 230根据函数的零点存在性定理得出:f(x )的零点在2,3区间内方程 log2x+x=3 的解所在的区间为2,3 ,故选:D8 (5 分)圆 x2+y2ax+2y+1=0 关于直线 xy=1 对称的圆的方程为 x2+y2=1,则实数 a 的值为( )A0 B1 C2 D2【解答】解:圆 x2+y2ax+2y+1=0 即(x ) 2(y+1) 2= ,表示以 A( , 1)为圆心,以| |为半径的圆关于直线 xy1=0 对称的圆 x2+y2=1 的圆心为(0, 0) ,故有 1=1,解得 a=2,故选:D9 (5 分)如图,在四边形 ABC

14、D 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2 ,则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为( )A (60 +4 ) B (60+8 ) C (56+8 ) D (56+4 )【解答】解:四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的几何体,如右图:S 表面 =S 圆台下底面 +S 圆台侧面 +S 圆锥侧面 =r22+(r 1+r2)l 2+r1l1= =(60+4 ),故选:A10 (5 分)若直线 y=x+b 与曲线(x 2) 2+(y3) 2=4(0x4,1y3)有公共点,则实数 b 的取值范围是( )A1 2 ,3 B1 ,3 C 1,1+2 D12

15、,1+2 【解答】解:由题意,圆心到直线的距离 d= =2,b=12 ,(0,3)代入直线 y=x+b,可得 b=3,直线 y=x+b 与曲线(x2) 2+(y3) 2=4(0x4,1y3)有公共点,实数 b 的取值范围是1 2 ,3,故选 A11 (5 分)如图,在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:水的部分始终呈棱柱状;水面四边形 EFGH 的面积不改变;棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;当 EAA1 时,AE+BF 是定值其中正确说法的是( )A B C D【解答】解

16、:水的部分始终呈棱柱状;从棱柱的特征平面 AA1B1B 平行平面CC1D1D 即可判断 正确;水面四边形 EFGH 的面积不改变;EF 是可以变化的 EH 不变的,所以面积是改变的,是不正确的;棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;由直线与平面平行的判断定理,可知A1D1EH ,所以结论正确;当 EAA1 时,AE+BF 是定值水的体积是定值,高不变,所以底面面积不变,所以正确故选:C12 (5 分)若函数 f(x ) = 且满足对任意的实数 x1x 2 都有0 成立,则实数 a 的取值范围是( )A (1 ,+) B (1,8) C (4,8) D4,8)【解答】解:对任意的实数 x1x

17、 2 都有 0 成立,函数 f(x )= 在 R 上单调递增, ,解得:a 4,8) ,故选:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在空间直角坐标系中,已知 P(2 ,2,5) 、Q(5 ,4,z )两点之间的距离为 7,则 z= 11 或 1 【解答】解:空间直角坐标系中,点 P(2,2,5) 、Q(5,4,z)两点之间的距离为 7, =7,即(z5) 2=36解得 z=11 或 1故答案为:11 或114 (5 分)已知函数 f( x)=ax 2+(b 3)x +3,xa 22,a 是偶函数,则 a+b= 4 【解答】解:函数 f(x )=ax 2

18、+(b 3)x+3,x a22,a 是偶函数a 22+a=0a=2 或 1a 22 aa=1偶函数的图象关于 y 轴对称, =0b=3a +b=4故答案为:415 (5 分)已知两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0,则与它们等距离的平行线方程为 12x+8y15=0 【解答】解:两条平行直线 3x+2y6=0 与 6x+4y3=0,设与它们等距离的平行线的方程为:3x+2y+b=0,由题意可得: ,解得 b= 与它们等距离的平行线的方程为:12x+8y15=0故答案为 12x+8y15=016 (5 分)已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,要使过定点 A(1,2)

19、作圆的切线有两条,则 a 的取值范围是 ( , ) 【解答】解:将圆的方程配方得(x+ ) 2+(y+1) 2= ,圆心 C 的坐标为( ,1) ,半径 r= ,条件是 43a20 ,过点 A(1,2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外,即 化简得 a2+a+90 由 43a20, a2+a+90,解之得 a ,aR故 a 的取值范围是( , ) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知全集 U=R,集合 M=x|2x 5,N=x |a+1x2a +1()若 a=2,求 M( RN) ;()若 M N=M,求实数 a 的取

20、值范围【解答】解:()若 a=2,则 N=x|3x 5,则 RN=x|x5 或 x3;则 M ( RN)= x|2x 3;()若 M N=M,则 NM,若 N=,即 a+12a+1,得 a0,此时满足条件,当 N,则满足 ,得 0a 2,综上 a218 (12 分)已知ABC 的顶点 B( 1, 3) ,边 AB 上的高 CE 所在直线的方程为4x+3y7=0,BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 x3y3=0(1)求点 C 的坐标;(2)求直线 AB 的方程【解答】解:(1)设 D(a,b ) ,则 C(2a+1,2b+3) , ,解得 ,D(0,1) , C(1,1) ;(2)CEAB,

21、且直线 CE 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 ,直线 AB 的方程为 ,即 3x4y9=0由 ,解得 ,A(3,0 ) ,直线 AB 方程为: ,化简整理得,3x4y9=019 (12 分)如图,OAB 是边长为 2 的正三角形,记OAB 位于直线x=t(t 0)左侧的图形的面积为 f(t) 试求函数 f(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象【解答】解:(1)当 0t1 时,如图,设直线 x=t 与OAB 分别交于 C、D 两点,则|OC|=t,又 , ,(2)当 1t2 时,如图,设直线 x=t 与OAB 分别交于 M、N 两点,则|AN|=2 t,又 ,(3)当 t2 时,综上所述

22、20 (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ABC=90 ,BC=CC1,M、N 分别为 BB1、A 1C1 的中点()求证:CB 1平面 ABC1;()求证:MN平面 ABC1【解答】解:()在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧面 BB1C1C底面 ABC,且侧面 BB1C1C底面 ABC=BC,ABC=90 ,即 ABBC ,AB平面 BB1C1 (2 分)CB 1平面 BB1C1C,AB CB 1(4 分)BC=CC 1,CC 1BC ,BCC 1B1 是正方形,CB 1 BC1,ABBC 1=B,CB 1平面 ABC1()取 AC1 的中点 F,连 BF、NF

23、(7 分)在AA 1C1 中, N、F 是中点,NF AA1,又正方形 BCC1B1 中 BM AA1,NF BM,且 NF=BM(8 分)故四边形 BMNF 是平行四边形,可得 MNBF,(10 分)BF面 ABC1,MN 平面 ABC1,MN面 ABC1(12 分)21 (12 分)已知圆 C:x 2+y24x14y+45=0 及点 Q( 2,3) (1)若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ|的最大值和最小值;(2)若实数 m,n 满足 m2+n24m14n+45=0,求 k= 的最大值和最小值【解答】解:(1)圆 C: x2+y24x14y+45=0 可化为(x2) 2+(y7) 2=

24、8,圆心坐标为 C(2,7) ,半径 r=2 ,|QC|= =4 ,|MQ| max=4 +2 =6 ,|MQ| min=4 =2;(2)由题意, (m,n)是圆 C 上一点,k 表示圆上任意一点与(2,3)连线的斜率,设直线方程为 y3=k(x+2) ,直线与圆 C 相切时,k 取得最值,即=2 ,k=2 ,k 的最大值为 2+ ,最小值为 2 22 (12 分)已知指数函数 y=g(x)满足 g(3)=8,又定义域为实数集 R 的函数 f(x)= 是奇函数(1)讨论函数 y=f(x)的单调性;(2)若对任意的 tR,不等式 f(2t 3t2)+f(t 2k)0 恒成立,求实数 k 的取值范

25、围【解答】解:(1)设 g( x)=a x, (a0 且 a1 ) ,g (3)=a 3=8,故 a=2,f (x)= ,任取实数 x1x 2,则 f(x 1)f(x 2)= = ,x 1x 2,考虑 y=2x 在 R 递增, 0, 0, (1+ ) ( 1+ )0,f( x1)f (x 2) ,y=f(x)在 R 递减;(2)要使 f(2t3t 2)+f(t 2k)0 恒成立,即 f(2t3t 2)f(t 2k)成立,即 f(2t3t 2)f(kt 2)成立,由(1)得:2t3t 2kt 2,即 k2t 2+2t 恒成立,设 h(t)= 2t2+2t=2 + ,h(t) max= ,故 k