1、2016-2017 学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题1 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1， 2，B= 2，3，4 ，则A（ UB）=（ ）A1 ，2 ，5 ，6 B 1，2，3，4 C2 D12 （5 分）直线 xy+3=0 的倾斜角是（ ）A30 B45 C60 D1503 （5 分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）Af （x）=2 x Bf（x）=log x Cf（x）= Df （x）=x|x |4 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC= ，AA 1=1，则异面直线 AD 与BC1 所成角为（ ）A30 B
2、45 C60 D905 （5 分）已知直线 l1 的方程为 Ax+3y+C=0，直线 l2 的方程为 2x3y+4=0，若 l1与 l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为（ ）A4 B4 C4 D与 A 有关6 （5 分）设 a=40.1，b=log 30.1，c=0.5 0.1，则（ ）Aa b c Bacb Cb ac Db c a7 （5 分）已知圆 x2+y2+2x2y+2a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦长为 4，则实数 a 的值是（ ）A 4 B3 C2 D 18 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C2 +4 D3 +49 （5 分）
3、函数 的零点所在的区间为（ ）A B C D10 （5 分）过点 A（3，5）作圆（x2） 2+（y 3） 2=1 的切线，则切线的方程为（ ）Ax=3 或 3x+4y29=0 By=3 或 3x+4y29=0C x=3 或 3x4y+11=0 Dy=3 或 3x4y+11=011 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ，BC= ，AC=1 ，ACB=90，则此球的体积等于（ ）A B C D812 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x ）+f（2x）=0；f （x2）=f（x） ，在 1，1上表达式为 f（ x
4、）= ，则函数 f（x）与函数 g（x ）= 的图象在区间3，3上的交点个数为（ ）A5 B6 C7 D8二、填空题13 （5 分）函数 y=ln（1 2x）的定义域是 14 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（f （4） ）= 15 （5 分）若直线（a+1）x +ay=0 与直线 ax+2y=1 垂直，则实数 a= 16 （5 分）已知 ， 是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列四个结论中，正确的有 （填写所有正确结论的编号）若 m ， n ，则 mn；若 m ， n ，则 mn；若 a，m ，则 m；若 mnm ，n，则 三、解答题17 （10 分）已知平面内两点 A（8， 6
5、） ，B（2， 2） （）求过点 P（2，3）且与直线 AB 平行的直线 l 的方程；（）求线段 AB 的垂直平分线方程18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA=2，E 是侧棱 PA 的中点（1）求证：PC平面 BDE（2）求三棱锥 PCED 的体积19 （12 分）已知函数 f（ x）=2 x+2ax（a 为实数） ，且 f（1）= （1）求函数 f（x）的解析式；（2）判断函数 f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数 f（x）在区间 0，+）的单调性，并用定义证明20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A
6、A 1底面 ABC，CAB=90 ，AB=AC=2，AA 1= ，M 为 BC 的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点（1）求证：平面 APM 平面 BB1C1C；（2）试判断直线 BC1 与 AP 是否能够垂直若能垂直，求 PB 的长；若不能垂直，请说明理由21 （12 分）已知半径为 的圆 C，其圆心在射线 y=2x（x0）上，且与直线x+y+1=0 相切（1）求圆 C 的方程；（2）从圆 C 外一点 P（x 0，y 0） ）向圆引切线 PM，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|=| PO|，求PMC 面积的最小值，并求此时点 P 的坐标22 （12 分）已知 aR，函数 f（x ）=l
7、og 2（ +a） （1）若 f（1）2，求实数 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）=f（x）log 2（a 4）x +2a5，讨论函数 g（x）的零点个数2016-2017 学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1 （5 分）设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1， 2，B= 2，3，4 ，则A（ UB）=（ ）A1 ，2 ，5 ，6 B 1，2，3，4 C2 D1【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，B=2，3，4， UB=1，5，6，又A=1，2，A（ UB） =1，故选：D2 （5 分）直线 xy+3=0 的倾斜角是（ ）A30 B45
8、 C60 D150【解答】解：设直线 xy+3=0 的倾斜角为 由直线 xy+3=0 化为 y= x+3，tan= ， 0， ） ，=60 故选 C3 （5 分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）Af （x）=2 x Bf（x）=log x Cf（x）= Df （x）=x|x |【解答】解：对于 A，B，非奇非偶函数；对于 C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于 D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，故选：D4 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC= ，AA 1=1，则异面直线 AD 与BC1 所成角为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：如
9、图，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，A（ ） ，D （0，0 ，0） ，B（ ，0） ，C 1（0， ，1） ，=（ ） ， =（ ，0，1） ，设异面直线 AD 与 BC1 所成角为 ，则 cos= = = =30 异面直线 AD 与 BC1 所成角为 30故选：A5 （5 分）已知直线 l1 的方程为 Ax+3y+C=0，直线 l2 的方程为 2x3y+4=0，若 l1与 l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为（ ）A4 B4 C4 D与 A 有关【解答】解：直线 2x3y+4=0 与 y 轴的交点（0， ） ，代入直线 Ax
10、+3y+C=0，可得 4+C=0，解得 C=4故选 B6 （5 分）设 a=40.1，b=log 30.1，c=0.5 0.1，则（ ）Aa b c Bacb Cb ac Db c a【解答】解：a=4 0.11 ，b=log 30.10，0c=0.5 0.11，a cb故选：B7 （5 分）已知圆 x2+y2+2x2y+2a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦长为 4，则实数 a 的值是（ ）A 4 B3 C2 D 1【解答】解：圆 x2+y2+2x2y+2a=0 即 （x+1） 2+（ y1） 2=22a，故弦心距 d= = 再由弦长公式可得 22a=2+4，a= 2，故选：C8 （5 分
11、）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A3 B4 C2 +4 D3 +4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积 S=2 +（2+）2=3+4，故选：D9 （5 分）函数 的零点所在的区间为（ ）A B C D【解答】解：函数 在（0，+）上单调递增因为 ， ， ，所以 ，所以根据根的存在性定理可知函数 的零点所在的区间为 故选 D10 （5 分）过点 A（3，5）作圆（x2） 2+（y 3） 2=1 的切线，则切线的方程为（ ）Ax=3 或 3x+4y29=0 By=3 或 3x+4y29=0C x=3
12、 或 3x4y+11=0 Dy=3 或 3x4y+11=0【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3） ；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为： kxy3k+5=0，由点到直线的距离公式可得： =1解得：k= ，所以切线方程为：3x+4y29=0；当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，满足圆心（2，3）到直线 x=3 的距离为圆的半径 1，x=3 也是切线方程；故选 A11 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ，BC= ，AC=1 ，ACB=90，则此球的体积等于（ ）A B C D8【解答】解
13、：三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ，BC=，AC=1，ACB=90， AA1=AA 1=2，BC= ，AC=1，ACB=90，ABC 外接圆的半径 R=1，外接球的半径为 = ，球的体积等于 = ，故选：C12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x ）+f（2x）=0；f （x2）=f（x） ，在 1，1上表达式为 f（ x）= ，则函数 f（x）与函数 g（x ）= 的图象在区间3，3上的交点个数为（ ）A5 B6 C7 D8【解答】解：由 f（x）+f（2 x）=0，可得函数 f（x）的图象关于点 M（1，0）对称由 f（x2 ）=f （x）
14、 ，可得函数 f（x）的图象关于直线 x=1 对称又在1，1上表达式为 f（x）= ，可得图象：进而得到在区间 3，3上的图象画出函数 g（ x）= 在区间3，3上的图象，其交点个数为 6 个故选：B二、填空题13 （5 分）函数 y=ln（1 2x）的定义域是 x|x 【解答】解：根据题意：12x0x故答案为：x|x 14 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（f （4） ）= 3 【解答】解：f（x）= ，f（ 4）=（ ） 47=9，f（f（ 4） ）=f（9）= =3故答案为：315 （5 分）若直线（a+1）x +ay=0 与直线 ax+2y=1 垂直，则实数 a= 0 或3
15、【解答】解：当 a=0 时，两条直线方程分别化为：x=0 ，2y=1 ，此时两条直线垂直，因此 a=0 满足条件当 a0 时，两条直线的斜率分别为 ， ，而 （ ）=1，此时 a=3综上可得：a=0 或3故答案为：0 或316 （5 分）已知 ， 是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列四个结论中，正确的有 （填写所有正确结论的编号）若 m ， n ，则 mn；若 m ， n ，则 mn；若 a，m ，则 m；若 mnm ，n，则 【解答】解：若 m， n，则 m 与 n 的关系不确定，故错误；如果 m，n ，那么平面 内存在直线 l 使， ml，n l，故 mn，故正确；如果 ，m，那么 m
16、 与 无公共点，则 m，故正确；如果 mn，m ，n，那么 与 的关系不确定，故错误；故答案为：三、解答题17 （10 分）已知平面内两点 A（8， 6） ，B（2， 2） （）求过点 P（2，3）且与直线 AB 平行的直线 l 的方程；（）求线段 AB 的垂直平分线方程【解答】解：（）因为 ，（2 分）所以由点斜式 得直线 l 的方程 4x+3y+1=0（4 分）（）因为 AB 的中点坐标为（ 5， 2） ，AB 的垂直平分线斜率为 （6 分）所以由点斜式 得 AB 的中垂线方程为 3x4y23=0（8 分）18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA
17、底面 ABCD，且 PA=2，E 是侧棱 PA 的中点（1）求证：PC平面 BDE（2）求三棱锥 PCED 的体积【解答】证明：（1）连结 AC、BD，交于点 O，连结 OE，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，O 是 AC 中点，E 是侧棱 PA 的中点，OEPC，PC平面 BDE，OE平面 BDE，PC平面 BDE解：（2）四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA=2，E 是侧棱 PA 的中点，PA CD，ADCD，PA AD=A，CD平面 PAD，S PDE = = = ，三棱锥 PCED 的体积 VPCED=VCPDE= = =
18、 19 （12 分）已知函数 f（ x）=2 x+2ax（a 为实数） ，且 f（1）= （1）求函数 f（x）的解析式；（2）判断函数 f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数 f（x）在区间 0，+）的单调性，并用定义证明【解答】解：（1）f（x ）=2 x+2ax（a 为实数） ，且 f（1）= f（ 1）=2+2 a= 得 2a= ，即 a=1，则函数 f（x ）的解析式 f（x）=2 x+2x；（2）f（x）=2 x+2x=（2 x2x）=f （x ） ，则函数 f（x ）是偶函数（3）设 0x 1x 2，f（x 1）f（x 2）= + =（ ）（1 ）=（ ） ，y=2 x 是增函数
19、， 0，当 x0 时， 1，则 10，f（ x1）f（x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，函数 f（x）是增函数20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，CAB=90 ，AB=AC=2，AA 1= ，M 为 BC 的中点，P 为侧棱 BB1 上的动点（1）求证：平面 APM 平面 BB1C1C；（2）试判断直线 BC1 与 AP 是否能够垂直若能垂直，求 PB 的长；若不能垂直，请说明理由【解答】证明：（1）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，CAB=90 ，AB=AC=2，AA 1= ，M 为 BC 的中点，P 为侧棱 BB
20、1 上的动点AMBC ，AMBB 1，BC BB1=B，AM平面 BB1C1C，AM平面 APM，平面 APM平面 BB1C1C解：（2）以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（0 ，2，0 ） ，C 1（2，0， ） ，A（0，0，0） ，设 BP=t， （0 ） ，则 P（ 0，2，t ） ，=（ 2，2， ） ， =（0，2，t ） ，若直线 BC1 与 AP 能垂直，则 ，解得 t= ，t= BB 1= ，直线 BC1 与 AP 不能垂直21 （12 分）已知半径为 的圆 C，其圆心在射线 y=2x（x0）上，且与直线x+y+1
21、=0 相切（1）求圆 C 的方程；（2）从圆 C 外一点 P（x 0，y 0） ）向圆引切线 PM，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|=| PO|，求PMC 面积的最小值，并求此时点 P 的坐标【解答】解：（1）已知圆的半径为 ，设圆心 C（a，2a） （a 0） ，圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= ，a=1圆心 C（1 ，2 ） 则圆的方程为：（x+1） 2+（y2） 2=2；（2）点 P（x 0，y 0） ，则 PO= ，PM= ，由|PM|=|PO|，得 2x04y0+3=0，PM=PO= = = 当 时，PM= 因此，PM 的最小值为 PMC 面积的最小值是： = 此时点
22、 P 的坐标为（ ， ） 22 （12 分）已知 aR，函数 f（x ）=log 2（ +a） （1）若 f（1）2，求实数 a 的取值范围；（2）设函数 g（x）=f（x）log 2（a 4）x +2a5，讨论函数 g（x）的零点个数【解答】解：（1）若 f（1）2，则 log2（1+a） 2，即 01+a 4 ，解得：a （1，3） ； （2）令函数 g（x）=f（x）log 2（a 4）x +2a5=0，则 f（x）=log 2（a4 ）x +2a5，即 +a=（a4）x+2a5，即（a 4）x 2+（a5）x1=0 ，当 a=4 时，方程可化为：x1=0，解得：x=1，此时 +a=（a4）x+2a5=3 ，满足条件，即 a=4 时函数 g（x）有一个零点；当（a5 ） 2+4（a 4）=0 时，a=3 ，方程可化为： x22x1=0，解得：x= 1，此时 +a=（a4）x+2a5=2 ，满足条件，即 a=3 时函数 g（x）有一个零点；当（a5 ） 2+4（a 4）0 时，a3，方程有两个根，x= 1，或 x= ，当 x=1 时， +a=（a 4）x+2a 5=a1，当 a1 时，满足条件，当 x= 时， +a=（a4 ）x+2a5=2a4，当 a2 时，满足条件，综上可得：1a2 时，函数 g（x）有一个零点；a 2 且 a3 且 a4 时函数 g（x）有两个零点；
