1、2016-2017 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1 （5 分）已知集合 M=xZ|x（x3）0，N=x|lnx1，则 MN= （ ）A1 ，2 B2，3 C0，1，2 D1，2，32 （5 分）函数 f（x ）=lnx 的零点所在的大致区间是（ ）A B （1，2） C （2，3） D （e ，+）3 （5 分）若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下些说法正确的是（ ）A若 m，则 m B若 m，m，则 C若 =m，=n，m
2、 n，则 D若 ， ，则 4 （5 分）已知函数 ，设 ，则有（ ）Af （a）f（b）f（c） Bf（a）f（c）f（b ） Cf（b）f （c）f（ a） Df （b）f （a）f（c）5 （5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A B C D6 （5 分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，若该病毒占据 64MB 内存（1MB=2 10KB） ，则开机后经过（ ）分钟A45 B44 C46 D477 （5 分）若当 xR 时，函数 f（x ）=a
3、 |x|始终满足 0|f （x）|1，则函数y=loga| |的图象大致为（ ）A B C D8 （5 分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程 与方程 y+1=k（x2）可表示同一直线；直线 l 过点 P（x 0，y 0） ，倾斜角为 90，则其方程为 x=x；其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D49 （5 分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（ ）A2R B C D10 （5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为
4、m） ，则该棱锥的全面积是（单位：m 2） （ ）A B C D11 （5 分）如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，则以下命题中，错误的命题是（ ）A点 H 是A 1BD 的垂心 BAH 垂直平面 CB1D1C AH 的延长线经过点 C1 D直线 AH 和 BB1 所成角为 4512 （5 分）已知函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数当 x0 时，f（x）=若关于 x 的方程f （x） 2+af（x）+b=0，a ，bR 有且仅有 6个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，
5、共 20 分.答案填在答卷上. ）13 （5 分）计算 的结果是 14 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 15 （5 分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 16 （5 分）已知：在三棱锥 PABQ 中，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP的中点，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH，则多面体ADGEBCHF 的体积与三棱锥 PABQ 体积之比是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17 （10 分）如图，在平行四边形 OABC 中，点 C（1，3）
6、 （1）求 OC 所在直线的斜率；（2）过点 C 作 CDAB 于点 D，求 CD 所在直线的方程18 （12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于CD，AE平面 CDE，且 AE=1，AB=2 （）求证：AB平面 ADE；（）求凸多面体 ABCDE 的体积19 （12 分）已知函数 为奇函数，（1）求 a 的值；（2）当 0x1 时，关于 x 的方程 f（x ）+1=t 有解，求实数 t 的取值范围；（3）解关于 x 的不等式 f（x 2mx）f （2x2m ） 20 （12 分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品 A 的收
7、益 f（x）与投资金额 x 的关系是 f（x）=k 1x， （f （x）的部分图象如图 1） ；投资股票等风险型产品 B 的收益 g（x ）与投资金额 x 的关系是 ， （g（x）的部分图象如图 2） ；（收益与投资金额单位：万元） （1）根据图 1、图 2 分别求出 f（x ） 、g （x ）的解析式；（2）该家庭现有 10 万元资金，并全部投资债券等稳键型产品 A 及股票等风险型产品 B 两种产品，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，AC=BC=CC 1=2，M ，N 分别为 AC
8、，B 1C1 的中点（）求线段 MN 的长；（）求证：MN平面 ABB1A1；（）线段 CC1 上是否存在点 Q，使 A1B平面 MNQ？说明理由22 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2+bx+c（a，b，cR） （1）若 a0，b0，c=0，且 f（x）在0，2上的最大值为 ，最小值为2，试求 a，b 的值；（2）若 c=1，0a1，且| |2 对任意 x1，2恒成立，求 b 的取值范围 （用 a 来表示）2016-2017 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一
9、个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1 （5 分）已知集合 M=xZ|x（x3）0，N=x|lnx1，则 MN= （ ）A1 ，2 B2，3 C0，1，2 D1，2，3【解答】解：集合 M=xZ|x（x3）0=x Z|0x3=0，1，2，3，N=x|lnx1 =x|0xe ，则 M N=1，2故选：A2 （5 分）函数 f（x ）=lnx 的零点所在的大致区间是（ ）A B （1，2） C （2，3） D （e ，+）【解答】解：函数 ，f（ 2）=ln210，f （3） =ln3 0，故有 f（ 2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间为（2，3） ，故选
10、：C3 （5 分）若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下些说法正确的是（ ）A若 m，则 m B若 m，m，则 C若 =m，=n，m n，则 D若 ， ，则 【解答】解：若 m，则 m 与 平行、相交或 m，故 A 不正确；若 m ，m，则 ，因为 m 根据线面平行的性质在 内至少存在一条直线与 m 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故 B 正确；若 l=m，l=n，mn，则 或 与 相交，故 C 不正确；若 ，则 与 相交或平行，故 D 不正确故选 B4 （5 分）已知函数 ，设 ，则有（ ）Af （a）f（b）f（c）
11、Bf（a）f（c）f（b ） Cf（b）f （c）f（ a） Df （b）f （a）f（c）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数 f（x ）在（ 1，+）上单调递增，又 ， ， ，因此 bca，f（b）f（c）f（a） 故选：B5 （5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A B C D【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD 1 在右侧的射影是正方形的对角线，B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线如图 B故选 B6 （5 分）一种专门侵占内存的计算机病毒，
12、开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，若该病毒占据 64MB 内存（1MB=2 10KB） ，则开机后经过（ ）分钟A45 B44 C46 D47【解答】解：因为开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，所以 3 分钟后占据内存 22KB，两个 3 分钟后占据内存 23KB，三个 3 分钟后占据内存 24KB，故 n 个 3 分钟后，所占内存是原来的 2n+1 倍，则应有 2n+1=64210=216，n=15，153=45，故选：A7 （5 分）若当 xR 时，函数 f（x ）=a |x|始终满足 0
13、|f （x）|1，则函数y=loga| |的图象大致为（ ）A B C D【解答】解：当 xR 时，函数 f（x ）=a |x|始终满足 0|f（x）|1因此，必有 0a1先画出函数 y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数 y=loga| |=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选 B8 （5 分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程 与方程 y+1=k（x2）可表示同一直线；直线 l 过点 P（x 0，y 0） ，倾斜角为 90，则其方程为 x=x；其中正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：对于，斜率不
14、存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于，方程 （x 2）与方程 y+1=k（x 2） （xR ）不表示同一直线，故错；对于，直线 l 过点 P（x 0，y 0） ，倾斜角为 90，则其方程为 x=x0，正确；故选：B9 （5 分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（ ）A2R B C D【解答】解：由题意，水的体积= = ，容器中水的深度 h= = ，故选：C10 （5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m） ，则该棱
15、锥的全面积是（单位：m 2） （ ）A B C D【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为 2，底面边长为 2，故它们的面积皆为 =2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为 ，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2 ，同理可求出侧面底边长为 ，可求得此两侧面的面积皆为 = ，故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = ，故选 A11 （5 分）如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，则
16、以下命题中，错误的命题是（ ）A点 H 是A 1BD 的垂心 BAH 垂直平面 CB1D1C AH 的延长线经过点 C1 D直线 AH 和 BB1 所成角为 45【解答】解：因为三棱锥 AA1BD 是正三棱锥，所以顶点 A 在底面的射影 H 是底面中心，所以选项 A 正确；易证面 A1BD 面 CB1D1，而 AH 垂直平面 A1BD，所以 AH 垂直平面 CB1D1，所以选项 B 正确；连接正方体的体对角线 AC1，则它在各面上的射影分别垂直于 BD、A 1B、A 1D 等，所以 AC1平面 A1BD，则直线 A1C 与 AH 重合，所以选项 C 正确；故选 D12 （5 分）已知函数 y=
17、f（x）是定义域为 R 的偶函数当 x0 时，f（x）=若关于 x 的方程f （x） 2+af（x）+b=0，a ，bR 有且仅有 6个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D【解答】解：依题意 f（x ）在（ ，2）和（0，2）上递增，在（2，0）和（2，+）上递减，当 x=2 时，函数取得极大值 ；当 x=0 时，取得极小值 0要使关于 x 的方程f（ x） 2+af（x）+b=0，a，b R有且只有 6 个不同实数根，设 t=f（x） ，则则有两种情况符合题意：（1） ，且 ，此时a=t 1+t2，则 ；（2）t 1（0，1 ， ，此时同理可得 ，综上可得 a 的范围是 故
18、选答案 C二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.答案填在答卷上. ）13 （5 分）计算 的结果是 2 【解答】解：运算=1 + +lg2+lg5=10.4+0.4+1=2故答案为 214 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 【解答】解：4 a=2，2 2a=2，即 2a=1解得 a=lgx=a ，lgx=x= ，故答案为：15 （5 分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2xy=0 或x+y3=0 【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3 ，则所求直线的方程为
19、 x+y=3 即 x+y3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2 ，则所求直线的方程为 y=2x 即 2xy=0综上，所求直线的方程为：2xy=0 或 x+y3=0故答案为：2xy=0 或 x+y3=016 （5 分）已知：在三棱锥 PABQ 中，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP的中点，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH，则多面体ADGEBCHF 的体积与三棱锥 PABQ 体积之比是 【解答】解：D，C ，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，EF AB，DCAB，则
20、 EFDC，又 EF平面 PCD，DC 平面 PCD，EF平面 PCD，又 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCD=GH，EFGH，设三棱锥 PABQ 体积为 V，则 VPDCQ= ， ，= = 多面体 ADGEBCHF 的体积与三棱锥 PABQ 体积之比是 故答案为： 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17 （10 分）如图，在平行四边形 OABC 中，点 C（1，3） （1）求 OC 所在直线的斜率；（2）过点 C 作 CDAB 于点 D，求 CD 所在直线的方程【解答】解：（1）点 O（0，0） ，点 C（
21、1，3） ，OC 所在直线的斜率为 （2）在平行四边形 OABC 中，AB OC，CDAB，CDOCCD 所在直线的斜率为 CD 所在直线方程为 ，即 x+3y10=018 （12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于CD，AE平面 CDE，且 AE=1，AB=2 （）求证：AB平面 ADE；（）求凸多面体 ABCDE 的体积【解答】证明：（）AE平面 CDE，CD平面 CDE，AE CD，又在正方形 ABCD 中，CDAD ，AE AD=A，CD平面 ADE，又在正方形 ABCD 中，AB CD ，AB平面 ADE（6 分）解：（）连接 BD，设 B 到平面
22、CDE 的距离为 h，ABCD，CD平面 CDE，AB平面 CDE，又 AE 平面 CDE，h=AE=1，又 = ， = ，又 = = ，凸多面体 ABCDE 的体积 V=VBCDE+VBADE= （12 分）19 （12 分）已知函数 为奇函数，（1）求 a 的值；（2）当 0x1 时，关于 x 的方程 f（x ）+1=t 有解，求实数 t 的取值范围；（3）解关于 x 的不等式 f（x 2mx）f （2x2m ） 【解答】解：（1）xR，f（0）=0 ，a=1 （3 分）（2） ，0x 1，23 x+14 （5 分） （7 分） （8 分）（3） 在 R 上单调递减， （9 分）f（x 2
23、mx）f（2x2m）x 2mx2x2m （10 分）x2（m +2）x +2m0（x 2） （xm）0 （11 分）当 m2 时，不等式的解集是x|2x m当 m=2 时，不等式的解集是x |x=2当 m2 时，不等式的解集是x|mx 2 （14 分）20 （12 分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品 A 的收益 f（x）与投资金额 x 的关系是 f（x）=k 1x， （f （x）的部分图象如图 1） ；投资股票等风险型产品 B 的收益 g（x ）与投资金额 x 的关系是 ， （g（x）的部分图象如图 2） ；（收益与投资金额单位：万元） （1）根据图 1
24、、图 2 分别求出 f（x ） 、g （x ）的解析式；（2）该家庭现有 10 万元资金，并全部投资债券等稳键型产品 A 及股票等风险型产品 B 两种产品，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）设投资为 x 万元，由题意，知 f（1.8）=0.45 ，g （4）=2.5；解得 k1= ，k 2= ，f（ x）= x，x 0 g（ x）= ，x 0；（2）设对股票等风险型产品 B 投资 x 万元，则对债券等稳键型产品 A 投资（10x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为 y 万元，则 y= ，x0设 =t，则 x=t2，0 t y= ，
25、当 t= ，也即 x= 时，y 取最大值 答：对股票等风险型产品 B 投资 万元，对债券等稳键型产品 A 投资 万元时，可获最大收益 万元21 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，AC=BC=CC 1=2，M ，N 分别为 AC，B 1C1 的中点（）求线段 MN 的长；（）求证：MN平面 ABB1A1；（）线段 CC1 上是否存在点 Q，使 A1B平面 MNQ？说明理由【解答】解：（）连接 CN，因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC，所以 ACCC 1，（2 分）因为 ACBC，所以 AC平面 BCC1B1 （3 分）因为 MC=1， CN
26、= = ，所以 MN= （4 分）（）证明：取 AB 中点 D，连接 DM，DB 1 （5 分）在ABC 中，因为 M 为 AC 中点，所以 DMBC， DM= BC在矩形 B1BCC1 中，因为 N 为 B1C1 中点，所以 B1NBC，B 1N= BC所以 DMB 1N，DM=B 1N所以四边形 MDB1N 为平行四边形，所以 MNDB 1 （7 分）因为 MN平面 ABB1A1，DB 1平面 ABB1A1（8 分）所以 MN平面 ABB1A1 （9 分）（）解：线段 CC1 上存在点 Q，且 Q 为 CC1 中点时，有 A1B平面 MNQ （11 分）证明如下：连接 BC1，在正方形 B
27、B1C1C 中易证 QNBC 1又 A1C1平面 BB1C1C，所以 A1C1QN ，从而 NQ平面 A1BC1（12 分）所以 A1BQN （13 分）同理可得 A1BMQ，所以 A1B平面 MNQ故线段 CC1 上存在点 Q，使得 A1B平面 MNQ （14 分）22 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2+bx+c（a，b，cR） （1）若 a0，b0，c=0，且 f（x）在0，2上的最大值为 ，最小值为2，试求 a，b 的值；（2）若 c=1，0a1，且| |2 对任意 x1，2恒成立，求 b 的取值范围 （用 a 来表示）【解答】 （1）抛物线的对称轴为 ，当 时，即 b4a 时，当 时， ，f（x ） min=f（2）=4a+2b+c=2， ，a=2，b=3当 时，即 b4a 时，f（x ）在0，2上为增函数，f（x ） min=f（0）=0 与 f（x） min=2 矛盾，无解，综合得：a=2，b=3（2） 对任意 x1，2恒成立，即 对任意 x1，2恒成立，即 对任意 x1，2恒成立，令 ，则 ，0a1 ， ，（）若 ，即 时，g（x）在1，2单调递减，此时，即 ，得 ，此时 ， （）若 ，即 时，g（x）在 单调递减，在单调递增，此时， ，只要 ，当 时， ，当 时， ， 综上得： 时， ； 时， ； 时，
