1、2016-2017 学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）一选择题：（本大题共计 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1 （4 分）ABC 中，若 a=1，c=2 ，B=60，则ABC 的面积为（ ）A B C1 D2 （4 分）已知 ，则 a10=（ ）A 3 B C D3 （4 分）在锐角ABC 中，a=2 ，b=2 ，B=45，则 A 等于（ ）A30 B60 C60 或 120 D30 或 1504 （4 分）不等式组 ，所表示的平面区域的面积等于（ ）A B C D5 （4 分）在 R 上定义运算 ，若 成立，则 x 的
2、取值范围是（ ）A （ 4，1） B （1，4） C （ ，4）（1，+） D （，1）（4，+）6 （4 分）在ABC 中，如果 sinA：sinB ：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ ）A B C D7 （4 分）一个等比数列a n的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ）A63 B108 C75 D838 （4 分）已知 x，y 是正数，且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A6 B12 C16 D249 （4 分）对于任意实数 a、b、c、d，命题：若 ab，c0，则 acbc；若 ab，则 ac2bc 2；若 ac2bc 2，则 ab； ；若 a
3、b0，cd0，则 acbd其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D410 （4 分）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ）A B C5 D611 （4 分）若不等式 ax2+2ax42x 2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，2） B （2，2 C （ ，2）2，） D （，212 （4 分）已知方程（x 2mx+2） （x 2nx+2）=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列，则|mn|=（ ）A1 B C D二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13 （4 分）不等式 1 的解集是 14 （
4、4 分）若等比数列a n的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna 1+lna2+lna3+lna17= 15 （4 分）在ABC 中，面积 ，则C 等于 16 （4 分）设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f（5） +f（4）+f（0）+f（5）+f （6）的值是 三、解答题（共 56 分，需要写出必要的解答和计算步骤）17 （10 分）若不等式 ax2+5x20 的解集是 ，则不等式ax25x+（a 21）0 的解集是 18 （10 分）已知a n是等差数列， Sn 是其前 n 项和已知 a1+a3=16，S 4=28（1）求数列a n的通项公式（2）
5、当 n 取何值时 Sn 最大，并求出这个最大值19 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，若向量=（ cosB，sinC） ， =（ cosC， sinB） ，且 （）求角 A 的大小；（）若 b+c=4，ABC 的面积 ，求 a 的值20 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c ，且bsinA+acosB=0（1）求角 B 的大小；（2）若 b=2，求ABC 面积的最大值21 （12 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n（n+1） （nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足：a n=
6、 + + + ，求数列b n的通项公式；（3）令 cn= （nN *） ，求数列c n的前 n 项和 Tn2016-2017 学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（本大题共计 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1 （4 分）ABC 中，若 a=1，c=2 ，B=60，则ABC 的面积为（ ）A B C1 D【解答】解：S ABC = = = 故选 B2 （4 分）已知 ，则 a10=（ ）A 3 B C D【解答】解： ，写出几项发现数列是一个具有周期性的数列，且周期是 3， ，故选 B3 （4 分
7、）在锐角ABC 中，a=2 ，b=2 ，B=45，则 A 等于（ ）A30 B60 C60 或 120 D30 或 150【解答】解：锐角ABC 中，由正弦定理可得 = ，sinA= B=45，a b，再由大边对大角可得 AB ，故 B=60，故选：B4 （4 分）不等式组 ，所表示的平面区域的面积等于（ ）A B C D【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，S 四边形 OBAC=SOBA +SOCA= 故选：C5 （4 分）在 R 上定义运算 ，若 成立，则 x 的取值范围是（ ）A （ 4，1） B （1，4） C （ ，4）（1，+） D （，1）（4，+）【解答】解：因为 ，所以 ，
8、化简得；x 2+3x4 即 x2+3x40 即（x 1） （x +4） 0，解得：4x1，故选 A6 （4 分）在ABC 中，如果 sinA：sinB ：sinC=2：3：4，那么 cosC 等于（ ）A B C D【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设 a=2k，b=3k，c=4k（k0）由余弦定理可得， =故选：D7 （4 分）一个等比数列a n的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ）A63 B108 C75 D83【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每 k 项的和也成等比数列则等比数列的第一个 n 项的和
9、为 48，第二个 n 项的和为 6048=12，第三个 n 项的和为： =3，前 3n 项的和为 60+3=63故选：A8 （4 分）已知 x，y 是正数，且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A6 B12 C16 D24【解答】解：x+y= （x+y） （ + ）=1+9+ + 10+2 =10+6=16，当且仅当 x=4，y=12 时取等号，故 x+y 的最小值是 16，故选：C9 （4 分）对于任意实数 a、b、c、d，命题：若 ab，c0，则 acbc；若 ab，则 ac2bc 2；若 ac2bc 2，则 ab； ；若 ab0，cd0，则 acbd其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3
10、D4【解答】解：根据不等式的性质可知若 ab，c 0，则 acbc 或ac bc， 错误当 c=0 时， ac2=bc2=0，错误若 ac2bc 2，则 c0， ab 成立，正确当 a=1，b=1 时，满足 ab，但 不成立，错误若 ab0，cd0，则 acbd0 成立，正确故正确的是故选：B10 （4 分）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ）A B C5 D6【解答】解：正数 x， y 满足 x+3y=5xy， =13x+4y= （ ） （3x+4y ）= + + + +2 =5当且仅当 = 时取等号3x+4y5即 3x+4y 的最小值是 5故选：C11
11、（4 分）若不等式 ax2+2ax42x 2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，2） B （2，2 C （ ，2）2，） D （，2【解答】解：不等式 ax2+2ax42x 2+4x，可化为（a 2）x 2+2（a2）x40，当 a2=0，即 a=2 时，恒成立，合题意当 a2 0 时，要使不等式恒成立，需 ，解得2a2所以 a 的取值范围为（2，2故选 B12 （4 分）已知方程（x 2mx+2） （x 2nx+2）=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列，则|mn|=（ ）A1 B C D【解答】解：设这四个根为 x1，x 2，x 3，x 4，公比为
12、p 其所有可能的值为 ， ， ，由 得 x1x2x3x4=4，即 ，则 p6=64p=2当 p=2 时，四个根为 ，1，2 ，4，且 ，4 为一组， 1，2 为一组，则 +4=m，1+2=n，则 ；当 p=2 时，不存在任两根使得 x1x2=2，或 x3x4=2，p=2 舍去故选 B二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13 （4 分）不等式 1 的解集是 x |2x 【解答】解：不等式 ，移项得： 0，即 0，可化为： 或 ，解得：2x 或无解，则原不等式的解集是x|2x 故答案为：x|2x 14 （4 分）若等比数列a n的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2
13、e4，lna 1+lna2+lna3+lna17= 34 【解答】解：数列a n为等比数列，且 a7a11+a8a10=2e4，a 7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则 a8a10=e4，lna 1+lna2+lna17=ln（a 1a2a17）=34，故答案为：3415 （4 分）在ABC 中，面积 ，则C 等于 45 【解答】解：由三角形的面积公式得：S= absinC，而 ，所以 absinC= ，即 sinC= =cosC，则 sinC=cosC，即 tanC=1，又C （0，180 ） ，则C=45故答案为：4516 （4 分）设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的
14、方法，可求得 f（5） +f（4）+f（0）+f（5）+f （6）的值是 3 【解答】解： ，f（ 1x）= =f（ x）+f（ 1x）=f（ 5）+f（4）+ +f（0）+f（5）+f （6）=6 =3故答案为：3三、解答题（共 56 分，需要写出必要的解答和计算步骤）17 （10 分）若不等式 ax2+5x20 的解集是 ，则不等式ax25x+（a 21）0 的解集是 【解答】解：ax 2+5x20 的解集是 ，a 0 ，且 ，2 是方程 ax2+5x2=0 的两根韦达定理 2= ，解得 a=2；则不等式 ax25x+a210 即为2x 25x+30，解得 故不等式 ax25x+a210
15、的解集 故答案为：18 （10 分）已知a n是等差数列， Sn 是其前 n 项和已知 a1+a3=16，S 4=28（1）求数列a n的通项公式（2）当 n 取何值时 Sn 最大，并求出这个最大值【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，a 1+a3=16，S 4=282a 1+2d=16，4a 1+ d=28，联立解得：a 1=10，d=2a n=102（n1）=122n（2）令 an=122n0，解得 n6n=5，或 6 时，S n 取得最大值，为 S6= =3019 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，若向量=（ cosB，sinC） ，
16、=（ cosC， sinB） ，且 （）求角 A 的大小；（）若 b+c=4，ABC 的面积 ，求 a 的值【解答】解：（） =（cosB，sinC） ， =（ cosC，sinB） ， ，即 ，A+B +C=，B+C=A，可得 cos（B +C）= ，（4 分）即 ，结合 A（0，） ，可得 （6分）（）ABC 的面积 = = ， ，可得 bc=4 （8 分）又由余弦定理得： =b2+c2+bc，a 2=（b+c） 2bc=164=12，解之得 （舍负） （12 分）20 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c ，且bsinA+acosB=0（1）求角 B
17、 的大小；（2）若 b=2，求ABC 面积的最大值【解答】解：（1）由 bsinA+acosB=0 及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA0，sinB+cosB=0，即 tanB=1，又 0B， B= （2）由余弦定理，可得 = 2ac + ac，ac =2（2 ） ，当且仅当 a=c 时取等号S ABC = sinB = 1，故ABC 面积的最大值为： 121 （12 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n（n+1） （nN *）（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足：a n= + + + ，求数列b n的通项公式；（3）令 cn= （n
18、N *） ，求数列c n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n（n+1） （nN *） ，n2 时，a n=SnSn1=n（n +1）n （n 1）=2nn=1 时，a 1=S1=2，对于上式也成立a n=2n（2）数列b n满足：a n= + + + ，n2 时，anan1= =2b n=2（3 n+1） n=1 时， =a1=2，可得 b1=8，对于上式也成立b n=2（3 n+1） （3）c n= = =n3n+n，令数列n3 n的前 n 项和为 An，则 An=3+232+333+n3n，3A n=32+233+（n1） 3n+n3n+1，2A n=3+32+3nn3n+1= n3n+1，可得 An= 数列c n的前 n 项和 Tn= +
