1、2017-2018 学年吉林省长春市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共计 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1 （5 分）若 a+i=（b+i） （ 2i） （其中 a，b 是实数，i 为虚数单位） ，则复数 a+bi在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）命题“x 0（0，+） ，lnx 0=x01”的否定是（ ）Ax 0（0，+） ，lnx 0x 01 B x0（0，+） ，lnx 0=x01C x（0，+） ，lnx x1 Dx （0，+） ，lnx=x13 （5
2、分）文已知直线 y=x+b 的横截距在2，3 范围内，则直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率是（ ）A B C D4 （5 分）已知 p：|x|2；q：x 2x20，则 q 是 p 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ）A B C D6 （5 分）甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为 ，则下列判断正确的是（ ）A ；甲比乙成绩稳定 B ；乙比甲成绩稳定C ；甲比乙成绩稳定 D ；乙比甲成绩稳定7 （5 分）对具有线性相关关系的变量 x，y，测
3、得一组数据如下x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 =10.5x+ ，据此模型预测当 x=10 时，y 的估计值为（ ）A105.5 B106 C106.5 D1078 （5 分）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 若要从身高在120，130） ，130，140） ，140， 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在140 ，150 内的学生中选取的人数应为（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l
4、交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则|AB| 等于（ ）A10 B8 C6 D410 （5 分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为 40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生 09 之间整数值的随机数，并制定用 1，2，3，4，5 表示下雨，用 5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20 组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两
5、天下雨的概率近似为（ ）A B C D11 （5 分）设点 P 是以 F1，F 2 为左、右焦点的双曲线 =1（a0，b0）左支上一点，且满足 =0，tan PF 2F1= ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D12 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A （1 ，2 B （1，2） C2，+） D （2，+）二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合，且其渐近线方程为 3x4y=0，则该双曲线的标准
6、方程为 14 （5 分）已知下列四个命题（1） “若 xy=0，则 x=0 且 y=0”的逆否命题；（2） “正方形是菱形” 的否命题；（3） “若 ac2 bc2，则 ab”的逆命题；（4） “若 m 2，则不等式 x22x+m0 的解集为 R”，其中真命题为 15 （5 分）过双曲线 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则ABF 2（F 2 为右焦点）的周长是 16 （5 分）P 为抛物线 x2=4y 上一点，A （1，0） ，则 P 到此抛物线的准线的距离与 P 到点 A 之和的最小值为 三、解答题（共 70 分，其中第 17 题 10 分其余各题 12 分需要写出必要的解答和计算步骤）
7、17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 C1： （ 为参数） ，将C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和 2 倍后得到曲线 C2 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：（ cos+sin）=4（1）试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程；（2）在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小，并求此最小值18 （12 分）已知命题 p：函数 y=（1a） x 是增函数，q：关于 x 的不等式x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立，若 pq 为假，pq 为真，求 a
8、 的取值范围19 （12 分）已知抛物线 C：y 2=4x 与直线 y=2x4 交于 A，B 两点（1）求弦 AB 的长度；（2）若点 P 在抛物线 C 上，且ABP 的面积为 12，求点 P 的坐标20 （12 分）椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆C 上，且 PF1PF 2，|PF 1|= ，|PF 2|= ，（1）求椭圆的方程 （2）若直线 L 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B关于点 M 对称，求直线 L 的方程21 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，直线 y=x+2过椭圆
9、 C 的左焦点 F1（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设过点 A（0，1）的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、N，当MON 的面积为 时，求直线 l 的方程22 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）中，离心率 e= ，过点A（0 ， b）和 B（a，0 ）的直线和原点的距离为 （1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E（1，0） ，若直线 l：y=kx+2（k 0）与椭圆交于 C，D 两点，是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆恰过点 E？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由2017-2018 学年吉林省长春市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本
10、大题共计 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ）1 （5 分）若 a+i=（b+i） （ 2i） （其中 a，b 是实数，i 为虚数单位） ，则复数 a+bi在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：由 a+i=（b+ i） （2i）=（2b +1）+（2b ）i，得 ，解得 a=3，b=1复数 a+bi 在复平面内所对应的点的坐标为（3，1） ，位于第一象限故选：A2 （5 分）命题“x 0（0，+） ，lnx 0=x01”的否定是（ ）Ax 0（0，+） ，lnx 0x 01 B x0（0，+
11、） ，lnx 0=x01C x（0，+） ，lnx x1 Dx （0，+） ，lnx=x1【解答】解：命题的否定是：x （0，+） ，lnxx1，故选：C3 （5 分）文已知直线 y=x+b 的横截距在2，3 范围内，则直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率是（ ）A B C D【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为 3（ 2）=5 ，直线在 y 轴上的截距 b 大于 1，直线横截距小于1，“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的区间长度为1 （2）=1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P=故选 A4 （5 分）已知 p：|x|
12、2；q：x 2x20，则 q 是 p 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|2，得 2x2，由 x2x20 得1x2，则 q 是 p 的充分不必要条件，故选：A5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ）A B C D【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=1i=2，s=不满足条件 i5，i=3 ，s=不满足条件 i5，i=4 ，s=不满足条件 i5，i=5 ，s=满足条件 i5，退出循环，输出 s 的值为： 故选：B6 （5 分）甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为
13、 ，则下列判断正确的是（ ）A ；甲比乙成绩稳定 B ；乙比甲成绩稳定C ；甲比乙成绩稳定 D ；乙比甲成绩稳定【解答】解：5 场比赛甲的得分为 16、17、28、30、34，5 场比赛乙的得分为15、26、28 、 28、33 = （16+17+28+30+34）=25， = （15+26 +28+28+33）=26= （81+64+9+25+81）=52， = （121+4 +4+49）=35.6 ，乙比甲成绩稳定故选 D7 （5 分）对具有线性相关关系的变量 x，y，测得一组数据如下x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 =1
14、0.5x+ ，据此模型预测当 x=10 时，y 的估计值为（ ）A105.5 B106 C106.5 D107【解答】解：根据表中数据，计算 = （2+4+5+6+8）=5 ，= （20+40+60+70+80）=54，代入回归直线方程 =10.5x+ 中，计算 = 10.5 =5410.55=1.5，回归直线方程为 =10.5x+1.5；当 x=10 时，y 的估计值为 =10.510+1.5=106.5故选：C8 （5 分）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 若要从身高在120，130） ，130，140） ，140， 150三组内
15、的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在140 ，150 内的学生中选取的人数应为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：直方图中各个矩形的面积之和为 1，10（0.005+0.035 +a+0.02+0.01）=1，解得 a=0.03由直方图可知三个区域内的学生总数为 10010（0.03+0.02+0.01）=60 人其中身高在140，150 内的学生人数为 10 人，所以身高在140，150 范围内抽取的学生人数为 10=3 人故选 B9 （5 分）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则|AB| 等于
16、（ ）A10 B8 C6 D4【解答】解：由题设知知线段 AB 的中点到准线的距离为 4，设 A，B 两点到准线的距离分别为 d1，d 2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8故选 D10 （5 分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为 40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生 09 之间整数值的随机数，并制定用 1，2，3，4，5 表示下雨，用 5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20 组随机数907 966 191 925 271 932 812 458
17、569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）A B C D【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共 5 组随机数，所求概率为 = ，故选 B11 （5 分）设点 P 是以 F1，F 2 为左、右焦点的双曲线 =1（a0，b0）左支上一点，且满足 =0，tan PF 2F1= ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解： =0，tan PF 2F1= ，PF 1
18、 PF2，且 |PF1|：|PF 2|=2：3，|PF 2|PF1|=2a，|PF 2|=6a，|PF 1|=4a，在 RTPF 1F2 中，|F 1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，4c 2=36a2+16a2，解得 e=故选：D12 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A （1 ，2 B （1，2） C2，+） D （2，+）【解答】解：已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ，离心率
19、 e2= ，e2，故选 C二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合，且其渐近线方程为 3x4y=0，则该双曲线的标准方程为 =1 【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为 3x4y=0，则设双曲线的方程为 =1， （t0） ，抛物线 x2=20y 的焦点为（0，5） ，则双曲线的焦点在 y 轴上，且 c=5，则 t0，则有 9t+16t=25，解可得 t=1；则双曲线的标准方程为 =1；故答案为： =114 （5 分）已知下列四个命题（1） “若 xy=0，则 x=0 且 y=0”的逆否命题；（2）
20、“正方形是菱形” 的否命题；（3） “若 ac2 bc2，则 ab”的逆命题；（4） “若 m 2，则不等式 x22x+m0 的解集为 R”，其中真命题为 （4） 【解答】解：“ 若 xy=0，则 x=0 且 y=0”的逆否命题，可通过判断原命题的真假判断不正确；故（1）不正确，“正方形是菱形 ”的否命题，写出否命题进行判断知（2）不正确，“若 ac2bc 2，则 ab” 的逆命题，写出逆命题进行判断，当 c=0 时， （3）不正确；“若 m 2，则不等式 x22x+m0 的解集为 R”，由判断式结合一元二次方程的判别式看出函数与横轴没有交点，判断出（4）正确，故答案为：（4）15 （5 分）
21、过双曲线 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则ABF 2（F 2 为右焦点）的周长是 28 【解答】解：由双曲线 的标准方程可得 a=4，由双曲线的定义可得：AF2AF1=2a，BF 2 BF1=2a，AF 2+BF2 AB=4a=16，即 AF2+BF2 6=16，AF 2+BF2 =22ABF 2（F 2 为右焦点）的周长是：（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF 2+BF2 ）+AB=22+6=28故答案为：2816 （5 分）P 为抛物线 x2=4y 上一点，A （1，0） ，则 P 到此抛物线的准线的距离与 P 到点 A 之和的最小值为 【解答】解：抛物线方程为
22、x2=4y，焦点 F（0，1） ，又A（1，0） ，|AF|= = ，由抛物线定义可知点 P 到准线的距离 d 与|PF|相等，d+|PA |=|PF|+|PA|AF|= ，故答案为： 三、解答题（共 70 分，其中第 17 题 10 分其余各题 12 分需要写出必要的解答和计算步骤）17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 C1： （ 为参数） ，将C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和 2 倍后得到曲线 C2 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：（ cos+sin）=4（1）试写出曲线 C
23、1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程；（2）在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小，并求此最小值【解答】解：（1）把 C1： （ 为参数） ，消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，故曲线 C1：的极坐标方程为 =1再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通方程为 + =1，即 + =1故曲线 C2 的极参数方程为 （ 为参数） （2）直线 l：（ cos+sin）=4，即 x+y4=0，设点 P（ cos，2sin） ，则点 P 到直线的距离为 d= = ，故当 sin（+ ）=1 时，d 取得最小值，此时，=2k+ ，k z，点P（1 ， ） ，故曲线 C
24、2 上有一点 P（1， ）满足到直线 l 的距离的最小值为 18 （12 分）已知命题 p：函数 y=（1a） x 是增函数，q：关于 x 的不等式x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立，若 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围【解答】解：若 y=（1a） x 是增函数，则 1a1，即 a0，若不等式 x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立，则判别式=4a 2160，即 a24，得2a2，若 pq 为假，pq 为真，则 p，q 为一真一假，若 p 真 q 假，则 ，即 a2，若 p 假 q 真，则 ，即 0a2，综上 0a2 或 a 219 （12 分）已知抛物线 C：y 2=4x
25、与直线 y=2x4 交于 A，B 两点（1）求弦 AB 的长度；（2）若点 P 在抛物线 C 上，且ABP 的面积为 12，求点 P 的坐标【解答】解：（1）抛物线 C：y 2=4x 与直线 y=2x4 交于 A，B 两点把 y=2x4 代入抛物线 C：y 2=4x，得 y22y8=0，解得 y1=2，y 2=4，A（1， 2） ，B（4 ，4） ，弦 AB 的长度|AB|= =3 （2）设 P（ ，y） ，点 P 到直线 AB 的距离 d= ，ABP 的面积为 12，S ABP = = =12，解得|y 22y8|=16，解得 y=4 或 y=6P（4，4）或 P（9，6） 20 （12 分
26、）椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆C 上，且 PF1PF 2，|PF 1|= ，|PF 2|= ，（1）求椭圆的方程 （2）若直线 L 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B关于点 M 对称，求直线 L 的方程【解答】解 （1）PF 1PF 2，|PF 1|= ，|PF 2|= ，2a=|PF 1|+|PF2|= + =6，即 a=3，且 4c2|PF 1|2+|PF2|2=（ ） 2+（ ） 2=解得 c2= ，b 2=9 = ，故椭圆的方程为 ，（2）设 A（m，n） ，B（x，y） ，圆的标准方程为（
27、x+2） 2+（y 1） 2=5，圆心 M（2，1 ） ，A，B 关于 M 对称， ，即 ，A，B 都在椭圆上， ，两式相减得 ，即 ，即直线 AB 的斜率 k= ，直线方程为 y1= （x+2） ，即 56x81y+193=021 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，直线 y=x+2过椭圆 C 的左焦点 F1（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设过点 A（0，1）的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、N，当MON 的面积为 时，求直线 l 的方程【解答】解：（1）直线 y=x+2 过椭圆 C 的左焦点 F1F 1（2，0） ，即c=2由离心率 e= ，得 a=2 ，b
28、2=a2c2=4椭圆 C 的标准方程为：（2）依题意知过点 A（0， 1）的直线 l 的斜率一定存在，故设直线 l 的方程为y=kx1，设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2）由 ，得（1+2k 2）x 24kx6=0，SMON = = =解得 k=1直线 l 的方程为：y= x122 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）中，离心率 e= ，过点A（0 ， b）和 B（a，0 ）的直线和原点的距离为 （1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E（1，0） ，若直线 l：y=kx+2（k 0）与椭圆交于 C，D 两点，是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆恰过点 E？若存在，求出直线
29、 l 的方程，若不存在，说明理由【解答】解：（1）直线 AB： =1，化为 bxayab=0，过点 A（0，b）和 B（a，0）的直线和原点的距离为 = ，又 ，a 2=b2+c2，联立解得 a2=3，b=1，椭圆的方程为： =1（2）假设存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆恰过点 E设 C（ x1，y 1） ，D （x 2，y 2） 联立 ，化为（1+3k 2） x2+12kx+9=0，=144k 236（ 1+3k2）0，化为 k21x 1+x2= ，x 1x2= y1y2=（kx 1+2） （kx 2+2）=k 2x1x2+2k（x 1+x2）+4=（x 1+1，y 1） （x 2+1，y 2）=（x 1+1） （x 2+1）+y 1y2=（1+k 2）x 1x2+（2k +1）（x 1+x2）+5=0 ， +5=0，化为 ，满足0直线 CD 的方程为： ，化为 7x6y+12=0
