1、2018 年北京市西城区中考数学全真模拟试卷（ 四）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1（3 分）设 a 是 9 的平方根，B=（ ） 2，则 a 与 B 的关系是（ ）Aa= B Ba=BC a=B D以上结论都不对2（3 分）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要 5 300 万美元，“5 300 万”用科学记数法可表示为（ ）A5.310 3B5.310 4C5.3 107 D5.3 1083（3 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2=a3 B（a 3） 2=a5 Ca+a 2=a3 Da 6a2=a
2、34（3 分）将不等式组 的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（ ）A B C D5（3 分）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）A B C D6（3 分）下列说法不正确的是（ ）A频数与总数的比值叫做频率B频率与频数成正比C在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率D用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确7（3 分）如图，将BAC 沿 DE 向BAC 内折叠，使 AD 与 AD 重合，AE 与AE 重合，若A=30，则1+2= （ ）A50 B60 C45 D以上都不对8（3 分）下列各图中，1 大于2 的是（ ）A B C D9（3 分）如图所示，向
3、一个半径为 R、容积为 V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积 y 与容器内水深 x 间的函数关系的图象可能是（ ）A B C D10（3 分）如图所示，台风过后某小学的旗杆在 B 处断裂，旗杆顶部 A 落在离旗杆底部 C 点 8 米处，已知旗杆长 16 米，则旗杆断裂的地方距底部（ ）A4 米 B5 米 C6 米 D8 米二填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）11（4 分） 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 12（4 分）从长度为 2，3，5，7 的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 13（4 分）如果 +（b 7） 2=0，则 的值为 14（
4、4 分）如图，M 是ABCD 的 AB 的中点，CM 交 BD 于 E，则图中阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为 15（4 分）分解因式：16m 24= 16（4 分）如图，四边形 ABCD 中，若去掉一个 60的角得到一个五边形，则1+2= 度17（4 分）如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=2，E，F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、EF，则AEF 的周长为 18（4 分）如图，APB=30，圆心在 PB 上的O 的半径为 1cm，OP=3cm，若O 沿 BP 方向平移，当O 与 PA 相切时，圆心 O 平移的距离为 cm三解答题（共 7 小题，满分 56 分）19（5
5、分）已知分式（ ） ，及一组数据：2，1，1，2，0 （1）从已知数据中随机选取一个数代替 x，能使已知分式有意义的概率是多少？（2）先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有意义的数代替 x 求值20（8 分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1、B 1、C 1 的坐标；（2）将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的 A 2B2C2，并求出点 A 到A2 的路径长21（8 分）为了解 2012 年全国中学生
6、创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参数同学的成绩，整理并制作如下统计图：请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量为 ；（2）补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，m= ，分数段 60 x70 的圆心角= ；（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 分数段内；（5）如果比赛成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 22（8 分）如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 ，然后在水平地面上向建筑物前进了 m 米，此时自B
7、 处测得建筑物顶部的仰角是 已知测角仪的高度是 n 米，请你计算出该建筑物的高度23（13 分）如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于 Q探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量 x 的取值范围；（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，
8、指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置并求出相应的 x 值，如果不可能，试说明理由24（14 分）已知，抛物线 y=ax2+ax+b（a0）与直线 y=2x+m 有一个公共点M（1，0），且 ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a=1 时，直线 y=2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0 ），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围25如图，已知二次函数 y
9、=x2+bx+c（c0 ）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若OQ=m，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由2018 年北京市西城区中考数学全真模拟试卷（ 四）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
10、1（3 分）设 a 是 9 的平方根，B=（ ） 2，则 a 与 B 的关系是（ ）Aa= B Ba=BC a=B D以上结论都不对【分析】由于正数的平方根有两个，且互为相反数，所以在此题中有 a 两种情况，要考虑全面【解答】解：a 是 9 的平方根，a=3，又 B=（ ） 2=3，a=b故选：A【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根2（3 分）据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要 5 300 万美元，“5 300 万”用科学记数法可表示为（ ）A5.310 3
11、B5.310 4C5.3 107 D5.3 108【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：5 300 万=5 300103 万美元=5.310 7 美元故选 C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列计算正确的是（ ）Aaa 2=a3 B（
12、a 3） 2=a5 Ca+a 2=a3 Da 6a2=a3【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、aa 2=a3，正确；B、应为（a 3） 2=a32=a6，故本选项错误；C、 a 与 a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误D、应为 a6a2=a62=a4，故本选项错误故选：A【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并4（3 分）将不等式组 的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（ ）A B C
13、 D【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可【解答】解： ，由得，x1；由得 x1，故此不等式组的解集为：1x1，在数轴上表示为： 故选：A【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一此不等式组，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别5（3 分）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）A B C D【分析】根据左视图是从左面看到的图判定则可【解答】解：左面看去得到的正方形从左往右依次是 2，1故选：B【点评】本题主要考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，难度适中6（
14、3 分）下列说法不正确的是（ ）A频数与总数的比值叫做频率B频率与频数成正比C在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率D用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确【分析】根据频率、频数的概念和性质分析各个选项【解答】解：A、是频率的概念，正确；B、是频率的性质，正确；C、在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频数，错误；D、用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确，正确故选：C【点评】在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数；比值 称为事件 A 发生的频率，并记为fn（A），用文字表示定义为：每个对象出现的
15、次数与总次数的比值是频率7（3 分）如图，将BAC 沿 DE 向BAC 内折叠，使 AD 与 AD 重合，AE 与AE 重合，若A=30，则1+2= （ ）A50 B60 C45 D以上都不对【分析】1+ADE+EDA=180 ；2+AED+DEA=180据此得1+2的表达式，结合三角形内角和定理求解【解答】解：1=1802ADE；2=180 2AED1+2=3602 （ADE+AED）=3602（18030 ）=60故选：B【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系8（3 分）下列各图中，1 大于2 的是（ ）A B
16、 C D【分析】根据对顶角相等的性质；两直线平行，同位角相等的性质；同弧所对的圆周角相等；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质根据各性质对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、根据对顶角相等，得：1=2，故本选项错误B、根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，得1 大于2，正确；C、根据同弧所对的圆周角相等，得：1=2，故本选项错误；D、根据两条直线平行，同位角相等，以及对顶角相等，得：1=2，故本选项错误故选：B【点评】本题主要考查对顶角相等的性质，平行线的性质和三角形的外角性质，圆周角的性质，熟练掌握性质是解题的关键9（3 分）如图所示，向一个半径为 R、容
17、积为 V 的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积 y 与容器内水深 x 间的函数关系的图象可能是（ ）A B C D【分析】水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故容器内水的体积 y 与容器内水深x 间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可【解答】解：根据球形容器形状可知，函数 y 的变化趋势呈现出，当 0xR时，y 增量越来越大，当 Rx2R 时，y 增量越来越小，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故 y 关于 x 的函数图象是先凹后凸故选：A【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而
18、逐渐变快，对应图象是曲线从缓逐渐变陡10（3 分）如图所示，台风过后某小学的旗杆在 B 处断裂，旗杆顶部 A 落在离旗杆底部 C 点 8 米处，已知旗杆长 16 米，则旗杆断裂的地方距底部（ ）A4 米 B5 米 C6 米 D8 米【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出【解答】解：设旗杆未折断部分长为 x 米，则折断部分的长为（ 16x）m，根据勾股定理得：x 2+82=（16 x） 2，可得：x=6m，即距离地面 6 米处断裂，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求
19、解二填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）11（4 分） 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 【分析】分别根据“a 的相反数是 a；负数的绝对值是它的相反数；一个数的倒数等于 1 除以这个数”即可求解【解答】解： 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 = 故本题的答案是 ， ， 【点评】本题分别考查了相反数、绝对值、倒数的定义另外，注意 的分母有理化12（4 分）从长度为 2，3，5，7 的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于 【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可把满足的个数除以 4 即可得出概率【解答
20、】解：长度为 2，3，5，7 的四条线段中任意选取三条共有：2，3 ，5 ；2，3，7 ；2，5 ，7；3，5 ，7，能构成三角形的为：3、5、7，只有 1 组，因此概率为 【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比13（4 分）如果 +（b 7） 2=0，则 的值为 3 【分析】首先利用偶次方的性质以及二次根式的性质进而得出 a，b 的值，进而求出答案【解答】解： +（b 7） 2=0，a=2，b=7，则 = =3故答案为：3【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键
21、14（4 分）如图，M 是ABCD 的 AB 的中点，CM 交 BD 于 E，则图中阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为 1：3 【分析】设平行四边形的面积为 1，则DAM 的面积= SDAB = SABCD，而由于= = ，所以EMB 上的高线与DAB 上的高线比为 = ，所以 SEMB= SDAB = ，于是 SDEC =4SMEB = ，由此可以求出阴影面积，从而求出面积比为 【解答】解：设平行四边形的面积为 1，四边形 ABCD 是平行四边形，S DAB = SABCD，又M 是 ABCD 的 AB 的中点，则 SDAM = SDAB = SABCD，而 = = ，EMB 上的高线与
22、 DAB 上的高线比为= = ，S EMB = SDAB = ，S DEC =4SMEB = ，S 阴影面积 =1 = ，则阴影部分的面积与ABCD 的面积比为 故填空答案： 另解：过点 E 作 EGAB 于 H，交 CD 于 G，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ABCD ，EF CD，S ABCD=ABHG，点 M 是 AB 的中点，AM=BM= AB= CD，BM CD，BME DCE， = ，EG=2EH，GH=3EH，S 非阴影部分 =SAMD +SBME +SCDE = AMGH+ BMEH+ CDEG= AB3EH+ ABEH+ AB2EH=2ABEH=2AB GH=
23、ABGH，S 阴影部分 =SABCDS 非阴影部分 = ABGH，阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为： ABGH：ABGH=1：3，【点评】此题主要考查平行四边形的性质和相似比的内容，比较复杂，有一定的综合性15（4 分）分解因式：16m 24= 4（2m+1）（2m1） 【分析】原式提取 4，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=4（4m 21）=4 （2m+1）（2m 1），故答案为：4（2m+1）（2m1）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键16（4 分）如图，四边形 ABCD 中，若去掉一个 60的角得到一个五边形，则1+2= 240 度【分析
24、】利用四边形的内角和得到B+C +D 的度数，进而让五边形的内角和减去B+C+D 的度数即为所求的度数【解答】解：四边形的内角和为（42）180=360，B+C+D=36060=300，五边形的内角和为（52）180=540，1+2=540300=240，故答案为：240【点评】考查多边形的内角和知识；求得B+C+D 的度数是解决本题的突破点17（4 分）如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=2，E，F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、EF，则AEF 的周长为 3 【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定方法得，三角形 ABC 是等边三角形则 AEBC ，根据勾股定理求得 AE 的
25、长，同理得到 EF 的长，根据已知可推出AEF 是等边三角形，从而得到其周长是 3 【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，B=60，ABC 为等边三角形，AC=AB=AD=CD，CAD=60，BAD=120 ，E 为 BC 的中点，AE BC， EAC=30，AE= ，同理：AF= ，AE=AF，CAF=30EAF=60 ，AEF 是等边三角形，EF= ，AEF 的周长为 3 故答案为：3 【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是证明AEF 是等边三角形18（4 分）如图，APB=30，圆心在 PB 上的O 的半径为
26、 1cm，OP=3cm，若O 沿 BP 方向平移，当O 与 PA 相切时，圆心 O 平移的距离为 1 或 5 cm【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得OCP=90，又由APB=30，OC=1cm，即可求得 OP 的长，继而求得答案【解答】解：如图 1，当O 平移到O 位置时，O 与 PA 相切时，且切点为C，连接 OC，则 OCPA，即OCP=90 ，APB=30，OC=1cm，OP=2OC=2cm，OP=3cm，OO=OPOP=1（cm ）如图 2：同理可得：OP=2cm，OO=5cm故答案为：1 或 5【点评】此题考查了切线的性质与含 30角的直角三角形的性质此题难度适中，
27、注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用三解答题（共 7 小题，满分 56 分）19（5 分）已知分式（ ） ，及一组数据：2，1，1，2，0 （1）从已知数据中随机选取一个数代替 x，能使已知分式有意义的概率是多少？（2）先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的，且使已知分式有意义的数代替 x 求值【分析】（1）根据分式有意义的条件及概率公式即可得出结论；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，由分式有意义的条件选出合适的 x 的值代入进行计算即可【解答】解：（1）分式有意义，x 210，即 x1，使已知分式有意义的概率= ；（2）原式= （x+1）（x1）=x2x+x+1
28、=x2+1，当 x=0 时，原式=1 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键20（8 分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1、B 1、C 1 的坐标；（2）将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的 A 2B2C2，并求出点 A 到A2 的路径长【分析】（1）分别作出点 A、B 、C 关于 y 轴的对称点，再顺次连接可得；（2）分别作出点 A、B 绕点 C 逆时针旋转 90得到其对应点，再顺次连
29、接可得，绕后利用弧长公式计算可得答案【解答】解：（1）如图所示，A 1B1C1 即为所求，A1（ 4， 4）、 B1（ 1，1）、C 1（ 3，1）；（2）如图所示，A 2B2C2 即为所求，CA= = 、ACA 2=90，点 A 到 A2 的路径长为 = 【点评】本题主要考查作图轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义和性质及弧长公式21（8 分）为了解 2012 年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参数同学的成绩，整理并制作如下统计图：请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量为 300 ；（2）补全频数分
30、布直方图；（3）在扇形统计图中，m= 30 ，分数段 60x70 的圆心角= 36 ；（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在 80x90 分数段内；（5）如果比赛成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 60% 【分析】（1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量；（2）根据 80x90 组频数即可补全直方图；（3）90 300 即为 70x80 组频率，可求出 m 的值，利用 360乘以对应的比例求得分数段 60x70 的圆心角；（4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可（5）将比赛成绩 80
31、 分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率【解答】解：（1）此次调查的样本容量为 300.1=300；（2）第三组的频数是 300309050=120（3）70 x 80 一组的百分比是： =0.3=30%，则 m=30，分数段 60x70 的圆心角是 360 =36；故答案是：30，36；（4）中位数为第 150 个数据和第 151 个数据的平均数，而第 150 个数据和第151 个数据位于 80x90 这一组，故中位数位于 80x90 这一组，故答案是：80x90；（5）将 80x90 和 90x100 这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为 60%【点评】本题考查了频数分布
32、直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22（8 分）如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 ，然后在水平地面上向建筑物前进了 m 米，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是 已知测角仪的高度是 n 米，请你计算出该建筑物的高度【分析】首先由题意可得 BE= ，AE= ，又由 AEBE=AB=m 米，即可得 =m，继而可求得 CE 的长，又由测角仪的高度是 n 米，即可求得该建筑物的高度【解答】解：由题
33、意得：BE= ，AE= ，AE BE=AB=m 米， =m（米），CE= （米），DE=n 米，CD= +n（米）该建筑物的高度为：（ +n）米【点评】此题考查了仰角的应用注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用23（13 分）如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于 Q探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形
34、PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量 x 的取值范围；（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置并求出相应的 x 值，如果不可能，试说明理由【分析】（1）PQ=PB ，过 P 点作 MNBC 分别交 AB、DC 于点 M、N，可以证明 RtMBP RtNPQ ；（2）S 四边形 PBCQ=SPBC +SPCQ 分别表示出PBC 于PCQ 的面积就可以（3）PCQ 可能成为等腰三角形当点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合，PQ=QC，当点 Q 在 DC 的延长
35、线上，且 CP=CQ 时，就可以用 x 表示出面积【解答】解：（1）PQ=PB，（1 分）过 P 点作 MNBC 分别交 AB、DC 于点 M、N，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，AM=PM，又AB=MN，MB=PN，BPQ=90 ，BPM+NPQ=90；又MBP+BPM=90，MBP= NPQ，在 RtMBP RtNPQ 中，RtMBP RtNPQ ，（ 2 分）PB=PQ（2）S 四边形 PBCQ=SPBC +SPCQ ，AP=x，AM= x，CQ=CD2NQ=1 x，又S PBC = BCBM= 1（1 x）= x，SPCQ = CQPN= （1 x）（1 x），= + ，S 四
36、边形 PBCQ= x+1（0x ）（4 分）（3）PCQ 可能成为等腰三角形当点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合，PQ=QC，此时，x=0 （5 分）当点 Q 在 DC 的延长线上，且 CP=CQ 时，（6 分）有：QN=AM=PM= x，CP= x，CN= CP=1 x，CQ=QNCN= x（1 x）= x1，当 x= x1 时，x=1 （7 分）【点评】此题主要考查正方形及直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用24（14 分）已知，抛物线 y=ax2+ax+b（a0）与直线 y=2x+m 有一个公共点M（1，0），且 ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点
37、 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a=1 时，直线 y=2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0 ），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围【分析】（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0 ）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点
38、 N 的坐标，根据 ab，判断 a0，确定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得DMN的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），a +a+b=0，即 b=2a，y=ax 2+ax+b=ax2+ax2a=a（x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ ， ）；（2）直线 y=2x+m 经过点 M（1，0），0=21+m，解得
39、 m=2，y=2x2，则 ，得 ax2+（a2 ） x2a+2=0，（x1）（ax+2a2）=0，解得 x=1 或 x= 2，N 点坐标为（ 2， 6），a b ，即 a2a ，a 0 ，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x= = ，E （ ，3），M（ 1，0）， N（ 2， 6），设DMN 的面积为 S，S=S DEN+S DEM= |（ 2）1| （ 3）|= ，（3）当 a=1 时，抛物线的解析式为：y=x 2x+2=（x ） 2+ ，有 ，x2x+2=2x，解得：x 1=2， x2=1，G（1，2），点 G、H 关于原点对称，H （1，2），设直线 GH 平移后
40、的解析式为：y=2x+t，x2x+2=2x+t，x2x2+t=0，=14（t2）=0 ，t= ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入 y=2x+t，t=2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2t 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大25如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（c0 ）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M
