1、第一章单元测试卷(时间：100 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是( C)A对角线互相平分 B对角线互相垂直C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列命题中，真命题是( D)A两条对角线垂直的四边形是菱形 B对角线垂直且相等的四边形是正方形C两条对角线相等的四边形是矩形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形3. 菱形的周长为 4，一个内角为 60，则较短的对角线长为( C)A2 B. C1 D.3124. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折
2、痕成( C)A22.5角 B30角 C45角 D60角,第 5 题图) ,第 6 题图) ,第 7 题图)5. 如图，点 E，F，G，H 分别为四边形 ABCD 的四边 AB，BC，CD，DA 的中点，则关于四边形 EFGH，下列说法正确的是( C)A一定不是平行四边形 B一定不是中心对称图形C可能是轴对称图形 D当 ACBD 时它是矩形6. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别是 6 cm，8 cm，AEBC 于点 E，则 AE的长是( B)A. cm B. cm C. cm D5 cm485 245 125 37. 如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 上的点(与 B，C
3、 两点不重合)，过点 D 作DEAC，DFAB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是( D)A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形B若 BDCD，则四边形 AEDF 是菱形C若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为( C)A3 B3.5 C2.5 D2.8,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题图)9. 如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另
4、一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这两个正方形重叠部分的面积是( D)A. B. C1 D. 112 33 33 210. 如图，点 E 为边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线上一点，BEBC，点 P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于 R，则 PQPR 的值为( D)A. B. C. D.22 12 32 2二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11. 已知菱形的周长是 20 cm，一条对角线长为 8 cm，则菱形的另一条对角线长为6cm.12. 矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件 ABBC(答案不唯一)
5、，使其成为正方形(只填一个即可)13. 如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEAD，ADE75，则AEB30.,第 13 题图) ,第 15 题图) ,第 16 题图)14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm 和 6 cm，则它的面积是 30cm2.15. 如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 的中点为 O，过点 O 作 OEBC 于点 E，连接 OA，已知 AB5，BC12，则四边形 ABEO 的周长为 20.16. 如图，MON45，OA 11，作正方形 A1B1C1A2，周长记作 C1；再作第二个正方形 A2B2C2A3，周长记作 C2；继续作第三个正方形 A3B3C3
6、A4，周长记作 C3；点A1，A 2，A 3，A 4在射线 ON 上，点 B1，B 2，B 3，B 4在射线 OM 上，依此类推，则第 n 个正方形的周长 Cn2 n1 .三、解答题(一)(本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)17. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的点，求证：AECE.证明：四边形 ABCD 为正方形，ABCB，ABECBE.在ABE 和CBE 中，ABECBE( SAS)，AECEAB CB， ABE CBE，BE BE， )18. 如图，已知菱形 ABCD 两条对角线 BD 与 AC 的长度之比为 34，周长为 40 cm，求菱形的高及
7、面积解：BDAC34，设 BD3x，AC4x，BO ，AO2x，又3x2AB 2BO 2AO 2，AB x，菱形的周长是 40 cm，AB40410( cm)，即52x10，x4，BD12 cm，AC16 cm，S 菱形 ABCD BDAC 121696( cm2)，52 12 12又S 菱形 ABCDABh，h 9.6( cm)，菱形的高是 9.6 cm，面积是 96 cm2961019. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边上一点，EFCE，交 AB 于点 F，若 DE2，矩形的周长为 16，且 CEEF，求 AE 的长解：EFEC，1390.在矩形 ABCD 中，AD90，3
8、290，12.又EFEC，EFACED( AAS)，AECD.设AEx，则 DCx.由矩形的周长为 16 得 2x28，x3，即 AE 的长为 3四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)20. 如图，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OBCOCB.(1)求证：平行四边形 ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，OBCOCB，OBOC，ACBD，平行四边形 ABCD 是矩形(2)ABAD(或 ACBD 答案不唯一)理由：四边形 ABCD 是矩形，又ABAD，四
9、边形 ABCD 是正方形(或：四边形 ABCD 是矩形，又ACBD，四边形 ABCD 是正方形)21. 如图，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E.(1)求证：DCAEAC；(2)只需添加一个条件，即 ADBC(答案不唯一)，可使四边形 ABCD 为矩形，请加以证明解：(1)在DCA 和EAC 中， DCAEAC( SSS) (2)添加 ADBC，可DC EA，AD CE，AC CA， )使四边形 ABCD 为矩形理由：ABDC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形CEAE，E90，由(1)知DCAEAC，DE90，四边形 ABCD为矩形22. 如图，在ABC 中，ACB90
10、，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F在 DE 的延长线上，且 AFCEAE.(1)求证：四边形 ACEF 是平行四边形；(2)当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由解：(1)由题意知FDCDCA90，EFCA，AEFEAC.AFCEAE，FAEFEACECA.又AEEA，AECEAF，EFCA，四边形 ACEF 是平行四边形 (2)当B30时，四边形 ACEF 是菱形理由：B30，ACB90，AC AB.DE 垂直平分12BC，BECE.AECE，AEBECE AB，ACCE，由(1)得四边形 ACEF 是平行四12边形，四边形 ACEF 是菱
11、形五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)23. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C处，折痕为 EF.(1)求证：BEBF；(2)若ABE20，求BFE 的度数；(3)若 AB6，AD8，求 AE 的长解：(1)由题意得BEFDEF.四边形 ABCD 为矩形，DEBF，BFEDEF，BEFBFE，BEBF (2)四边形 ABCD 为矩形，ABF90；而ABE20，EBF902070；又BEFBFE，BFE 的度数为 55 (3)由题意知 BEDE；设 AEx，则BEDE8x，由勾股定理得(8x) 26 2x 2，解得 x ，
12、即 AE 的长为74 7424. 如图，在 RtABC 中，B90，AC60 cm，A60，点 D 从点 C 出发沿CA 方向以 4 cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是 t s(0t15)过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF.(1)求证：AEDF；(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由；(3)当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由解：(1)DFC90，C30，DC
13、4t，DF2t，又AE2t，AEDF (2)能，理由：ABBC，DFBC，AEDF，又AEDF，四边形 AEFD 为平行四边形，当AEAD 时，四边形 AEFD 为菱形，即 604t2t，解得 t10，当 t10 秒时，四边形AEFD 为菱形 (3)当DEF90时，由(1)知四边形 AEFD 为平行四边形，EFAD，ADEDEF90，A60，AED30，AD AEt，又12AD604t，即 604tt，解得 t12；当EDF90时，四边形 EBFD 为矩形，在RtAED 中A60，则ADE30，AD2AE，即 604t4t，解得 t ；若152EFD90，则 E 与 B 重合，D 与 A 重合
14、，此种情况不存在综上所述，当 t s 或 12 152s 时，DEF 为直角三角形25. 已知正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，CD 上的点，连接 AE，BF 相交于点 H，且 AEBF.(1)如图 1，连接 AC 交 BF 于点 G，求证：AGFAEB45；(2)如图 2，延长 BF 到点 M，连接 MC，若BMC45，求证：AHBHBM；(3)如图 3，在(2)的条件下，若点 H 为 BM 的三等分点，连接 BD，DM，若 HE1，求BDM 的面积解：(1)四边形 ABCD 是正方形，ABCBCD90，ACBACD45，AEBF，AEBFBC90，FBCBFC90AEBBFC
15、，AGFBFCACF，AGFAEB45 (2)过 C 作 CKBM于 K，BKCAHB90，BMC45，CKMK，四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABHBCK，ABHBCK( AAS)，BHCKMK，AHBK，BMBKMKAHBH (3)由(2)得，BHCKMK，H 为 BM 的三等分点，BHHKKM，过 E 作 ENCK 于 N，四边形 HENK 是矩形，HKENBH，BHEENC，BHEENC( ASA)，HECNNK1，CKBH2，BM6，连接 CH，HKMK，CKMH，BMC45，CHCM，MCH90，BCHDCM，BHCDMC( SAS)，BHDM2，BHCDMC135，DMB90，BDM 的面积为 DMBM612
