1、第七章 图形与变换第 24 讲 图形的平移、对称和旋转A 组 基础题组一、选择题1.(2017 江西)下列图形中,是轴对称图形的是( )2.(2018 青岛)观察下列四个图形,中心对称图形是( )3.(2017 青岛)如图,若将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90得到A 1B1C1,则顶点 B 的对应点 B1的坐标为( )A.(-4,2) B.(-2,4) C.(4,-2) D.(2,-4)4.(2018 青岛)如图,三角形纸片 ABC 中,AB=AC,BAC=90,点 E 为AB 的中点.沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕 EF 交 BC于点 F,已知 EF= ,则 BC
2、的长是( )32A. B.3 C.3 D.3322 2 35.(2017 菏泽)如图,矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(-4,5),D 是 OB 的中点,E 是 OC 上的一点,当ADE 的周长最小时,点 E 的坐标是( )A.(0,43)B.(0,53)C.(0,2)D.(0,103)6.(2018 济宁)如图,在平面直角坐标系中,点 A,C 在 x 轴上,点 C 的坐标为(-1,0),AC=2.将 RtABC 先绕点 C 顺时针方向旋转 90,再向右平移 3 个单位长度,则变换后点 A 的对应点坐标是 ( )A.(2,2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(2,-1)7.(201
3、7 滨州)如图,点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点,且MPN 与AOB 互补,若MPN 在绕点 P 旋转的过程中,其两边分别与OA,OB 相交于 M,N 两点,则有以下结论:(1)PM=PN 恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形 PMON 的面积不变;(4)MN 的长不变,其中正确的个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题8.(2017 滨州)如图,将矩形 ABCD 沿 GH 对折,点 C 落在 Q 处,点 D 落在 AB 边上的 E 处,EQ 与 BC 相交于点 F,若 AB=6,AD=8,AE=4,则EBF的周长为 . 9.将一个含 45角的三角板 ABC 按
4、如图所示方式摆放在平面直角坐标系中,将其绕点 C 顺时针旋转 75,点 B 的对应点 B恰好落在 x 轴上,若点 C 的坐标为(1,0),则点 B的坐标为 . 三、解答题10.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为 1 个单位长度,ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,3),B(-4,0),C(0,0).(1)画出将ABC 先向上平移 1 个单位长度,再向右平移 5 个单位长度后得到的A 1B1C1;(2)画出将ABC 绕原点 O 顺时针方向旋转 90得到A 2B2O;(3)在 x 轴上存在一点 P,满足点 P 到点 A1与点 A2的距离之和最小,请直接写出 P 点的坐标.11.(2
5、017 烟台)【操作发现】(1)如图 1,ABC 为等边三角形,现将三角板中的 60角与ACB 重合,再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转(旋转角大于 0且小于30),旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D,在三角板斜边上取一点 F,使 CF=CD,线段 AB 上取点 E,使DCE=30,连接 AF,EF.求EAF 的度数;DE 与 EF 相等吗?请说明理由;【类比探究】(2)如图 2,ABC 为等腰直角三角形,ACB=90,先将三角板的90角与ACB 重合,再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转(旋转角大于 0且小于 45),旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D,在三角板另一直角边上
6、取一点 F,使 CF=CD,线段 AB 上取点 E,使DCE=45,连接 AF,EF,请直接写出探究结果:求EAF 的度数;线段 AE,ED,DB 之间的数量关系.B 组 提升题组一、选择题1.(2018 滨州)如图,AOB=60,点 P 是AOB 内的定点且 OP= ,若3点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点,则PMN 周长的最小值是( )A. B. C.6 D.3362 3322.如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=12,点 E 是 BC 的中点,连接 AE,将ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 F 处,连接 FC,则 sinECF=( )A. B.34 2
7、5C. D.35 453.(2018 山西)如图,在 RtABC 中,ACB=90,A=60,AC=6,将ABC 绕点 C 沿逆时针方向旋转得到ABC,此时点 A恰好在 AB 边上,则点 B与点 B 之间的距离为( )A.12 B.6 C.6 D.62 34.(2017 德州)如图放置的两个正方形,大正方形 ABCD 边长为 a,小正方形 CEFG 边长为 b(ab),M 在 BC 边上,且 BM=b,连接 AM,MF,MF 交 CG于点 P,将ABM 绕点 A 旋转至ADN,将MEF 绕点 F 旋转至NGF,给出以下五个结论:MAD=AND;CP=b- ;ABMNGF;S2四边形 AMFN=
8、a2+b2;A,M,P,D 四点共圆.其中正确的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题5.(2018 威海改编)如图,将矩形 ABCD(纸片)折叠,使点 B 与 AD 边上的点 K 重合,EG 为折痕,点 C 与 AD 边上的点 K 重合,FH 为折痕,已知1=67.5,2=75,EF= +1,则 BC 的长为 . 3三、解答题6.(2018 德州)再读教材:宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我5-12们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2
9、)第一步,在矩形纸片一端,利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;第二步,如图,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平;第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB 折到图中所示的 AD 处;第四步,展平纸片,按照所得的点 D 折出 DE,使 DEND,则图中就会出现黄金矩形.问题解决:(1)图中 AB= (保留根号); (2)如图,判断四边形 BADQ 的形状,并说明理由;(3)请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由;实际操作:(4)结合图,请在矩形 BCDE 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.第七章 图形与变换第 24 讲 图形的
10、平移、对称和旋转A 组 基础题组一、选择题1.C 2.C3.B 如图,点 B1的坐标为(-2,4),故选 B.4.B AB=AC,BAC=90,B=45.由折叠的性质可得BAF=B=45,AFB=180-B-BAF=90.在 RtABF 中,点 E 是 AB 的中点,EF 是斜边 AB 上的中线,AB=2EF=2 =3.在32RtABC 中,AB=AC=3,根据勾股定理得 BC= =3 .32+32 25.B 作 A 关于 y 轴的对称点 A,连接 AD 交 y 轴于 E,则此时,ADE 的周长最小.四边形 ABOC 是矩形,ACOB,AC=OB,A 的坐标为(-4,5),A(4,5),B(-
11、4,0),D 是 OB 的中点,D(-2,0).设直线 DA的解析式为 y=kx+b(k0), 解得5=4+,0=-2+, =56,=53,直线 DA的解析式为 y= x+ ,56 53当 x=0 时,y= ,53E ,故选 B.(0,53)6.A 由题意可知旋转之后点 A 的对应点坐标为(-1,2),再向右平移3 个单位长度后,点 A 的对应点坐标为(2,2),故选 A.7.B 如图,作 PEOA 于 E,PFOB 于 F.PEO=PFO=90,EPF+AOB=180.MPN+AOB=180,EPF=MPN,EPM=FPN.OP 平分AOB,PEOA 于 E,PFOB 于 F,PE=PF,在
12、 RtPOE 和 RtPOF 中,=,=,POEPOF,OE=OF.在PEM 和PFN 中,=,=,=,PEMPFN,EM=NF,PM=PN,故(1)正确,S PEM =SPFN ,S 四边形 PMON=S 四边形 PEOF=定值,故(3)正确,OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值,故(2)正确,MN 的长度是变化的,故(4)错误.故选 B.二、填空题8.答案 8解析 设 AH=a,则 DH=AD-AH=8-a,在 RtAEH 中,EAH=90,EH 2=AE2+AH2,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,(8-a) 2=42+a2,解得 a=3.BFE+BEF=90,BEF+
13、AEH=90,BFE=AEH.又EAH=FBE=90,EBFHAE, = = = . -23C HAE =AE+EH+AH=AE+AD=12,C EBF = CHAE =8.239.答案 (1+ ,0)2解析 ACB=45,BCB=75,ACB=120,ACO=60.又AOC=90,OAC=30,AC=2OC.点 C 的坐标为(1,0),OC=1,AC=2OC=2.ABC 是等腰直角三角形,AB=BC= ,BC=BC= ,OB=1+ ,B点的坐标为(1+ ,0).2 2 2 2三、解答题10.解析 (1)如图所示,A 1B1C1为满足题意的三角形.(2)如图所示,A 2B2O 为满足题意的三角
14、形.(3)P .(165,0)作点 A1关于 x 轴的对称点 A3,连接 A2A3,与 x 轴交于点 P,则点 P 即为所求的点.A 2的坐标为(3,1),A3的坐标为(4,-4),A 2A3所在直线的解析式为 y=-5x+16.令 y=0,则 x= .165P 点的坐标为 .(165,0)11.解析 (1)ABC 是等边三角形,AC=BC,BAC=B=60,DCF=60,ACF=BCD,在ACF 和BCD 中, =,=,=, ACFBCD(SAS),CAF=B=60,EAF=BAC+CAF=120.DE=EF.理由如下:DCF=60,DCE=30,FCE=60-30=30,DCE=FCE.在
15、DCE 和FCE 中, =,=,=, DCEFCE(SAS),DE=EF.(2)EAF=90.ABC 是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,BAC=B=45,DCF=90,ACF=BCD.在ACF 和BCD 中, =,=,=, ACFBCD(SAS),CAF=B=45,AF=DB,EAF=BAC+CAF=90.AE 2+DB2=DE2,理由如下:DCF=90,DCE=45,FCE=90-45=45,DCE=FCE.在DCE 和FCE 中, =,=,=, DCEFCE(SAS),DE=EF.在 RtAEF 中,AE 2+AF2=EF2,又AF=DB,AE 2+DB2=DE2.B 组 提升题
16、组一、选择题1.D 作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD,分别交OA、OB 于点 M、N,如图,则 MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC= ,BOP=BOD,AOP=AOC,3PN+PM+MN=ND+MC+MN=DC,COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120,此时PMN 周长最小.作 OHCD 于 H,则 CH=DH,OCH=30,OH= OC= ,12 32CH= OH= ,332CD=2CH=3,PMN 周长最小为 3.故选 D.2.D 过点 E 作 EHCF 于点 H.由折叠的性质得 BE=EF,BEA=FEA.点 E 是 BC 的中点,CE=
17、BE,EF=CE,FEH=CEH.AEB+FEA+FEH+CEH=180,AEB+CEH=90.又CEH+ECH=90,AEB=ECH,sinECF=sinAEB= .易求得 AE=10,sinECF=sinAEB= = .故选 D.810453.D 如图,连接 BB,由旋转可知 AC=AC,BC=BC,A=60,ACA为等边三角形,ACA=60,BCB=ACA=60,BCB为等边三角形.在 RtABC 中,A=60,AC=6,则 BC=6 ,3BB=BC=6 ,故选 D.34.D 四边形 ABCD 是正方形,BAD=ADC=B=90,BAM+DAM=90,将ABM 绕点 A 旋转至ADN,N
18、AD=BAM,AND=AMB,DAM+NAD=NAD+AND=90,DAM=AND,故正确;四边形 CEFG 是正方形,PCEF,MPCMFE, = ,大正方形 ABCD 边长为 a,小正方形 CEFG 边长为 b(ab),BM=b,EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a, = ,-CP=b- ,故正确;2将MEF 绕点 F 旋转至NGF,GN=ME,AB=a,ME=a,AB=ME=NG,在ABM 与NGF 中, =,=90,=, ABMNGF.故正确;将ABM 绕点 A 旋转至ADN,AM=AN,将MEF 绕点 F 旋转至NGF,NF=MF,ABMNGF,AM=NF,四边形 AMF
19、N 是菱形,BAM=NAD,BAM+DAM=NAD+DAN=90,NAM=90,四边形 AMFN 是正方形.在 RtABM 中,a 2+b2=AM2,S 四边形 AMFN=AM2=a2+b2.故正确;四边形 AMFN 是正方形,AMP=90,ADP=90,AMP+ADP=180,A,M,P,D 四点共圆,故正确.故选 D.二、填空题5.答案 3+ +2 3解析 由题意得3=180-21=45,4=180-22=30,BE=EK,KF=FC.过点 K 作 KMEF,垂足为 M.设 KM=x,则 EM=x,MF= x,3x+ x= +1.3 3解得 x=1,EK= ,KF=2,2BC=BE+EF+
20、FC=EK+EF+KF=3+ + ,2 3BC 的长为 3+ + .2 3三、解答题6.解析 (1) .5(2)四边形 BADQ 是菱形.理由如下:四边形 ACBF 是矩形,BQAD.ABDQ,四边形 ABQD 是平行四边形,由折叠的性质可知 AB=AD,四边形 ABQD 是菱形.(3)黄金矩形有矩形 BCDE,矩形 MNDE.理由:AD=AB= ,AN=AC=1,5CD=AD-AC= -1.5又BC=2, = ,5-12矩形 BCDE 是黄金矩形.MN=2,DN=AD+AN= +1,5 = = ,21+5 5-12矩形 MNDE 是黄金矩形.(4)如图,在矩形 BCDE 上添加线段 GH,使得四边形 GCDH 为正方形,此时四边形 BGHE 是黄金矩形.长 GH= -1,宽 HE=3- .5 5
