1、20242025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷 2024.9总分：150分 时间：120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，若，则a=ABCD2若为第二象限角，则ABCD3函数的定义域为ABCD4.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，
2、则圆锥的体积为ABCD5已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是ABCD6已知是两个不重合的平面，为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是若，则若，则若，则若，则A BCD7. 函数有且仅有4个零点，则实数的取值范围是ABCD8已知正实数，则“”是“”的A 充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9下列导数运算正确的是ABCD10设函数，则下列说法正确的是A是奇函数 B在上是单调函数C的最小值为1 D当时，11如图，在棱长为1的正方体
3、中，点为线段的中点，且点满足 ，则下列说法正确的是A若，则B若，则平面C若，则平面D若时，直线与平面所成的角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12已知角的终边经过点，则.13在平面直角坐标系中，已知点，点在二次函数图象上，且使得的面积为，若满足条件的点共有两个，则实数的取值范围.14函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性. 16（15分）如图，平行六面体中，与交于点，底面是边长为的正方形，且
4、底面.（1）证明：；（2）若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值. 17.（15分）已知.（1）若，求的值；（2）证明：. 18（17分）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）.（1）若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中 心的距离；（2）若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值. 19（17分）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.（1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明；（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；（3
5、）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围. 20242025学年度第一学期高三年级第一次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1A 2C 3B 4A 5D 6B 7C 8C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9ACD 10ABD 11BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。125 13(8,10) 143ln3四、解答题：本题共5小题，共77分。15（1）.1分所以 时，； 时，则在上递减，在递增.4分所以的极小值为，极大值为.6分（2）.7分当时，所以在上递增.9分当时，时，；时，所以在上递增，在上递减.11分当时，时，； 时，所以在上递增
6、；在上递减.13分16.（1）证明：正方形，.1分底面，面，.3分，面，面.5分又面，.6分又平行六面体，.7分（2） 法一：综合法（略）；法二：向量法取中点，连接正方形，底面，面，面，面又面，是二面角的平面角.10分又二面角的正切值为，.11分建立如图所示的空间直角坐标系则底面,底面的一个法向量为.13分设直线与平面所成角为.14分.15分17.（1）.2分.3分.5分.6分.7分（2）欲证，即证即证即证即证即证即证，证毕.15分18.（1）正四棱柱是棱长为的正方体.2分.4分（2）.7分.10分令.12分在上递增，在递减.16分时，体积取得最大值.17分19.（1） 证明：，是一条支撑线.3分（）（2）直线是在定义域上的支撑线若，则时，；时，不合题意.4分直线是在定义域上的支撑线，恒成立令，时，；时，在上递增，在上递减的最大值为又易证在上递减，在上递增.7分设，在处的切线斜率为所以当在处的切线斜率为即时，点到直线的距离取得最小值为.9分（3） 直线是函数在上的支撑线若在上恒成立记.10分当时，在上单调递减，符合题意.11分当时，符合题意.13分当时，在上单调递减，符合题意.14分当时，在上单调递增，上单调递减，不符合题意.15分若在上恒成立在上不符合题意综上，符合题意.17分
