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江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一次联考+数学试卷(含答案)

1、20242025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷 2024.9总分:150分 时间:120分钟注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将答题卡交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设集合,若,则a=ABCD2若为第二象限角,则ABCD3函数的定义域为ABCD4.已知圆锥的底面半径为,侧面积为,

2、则圆锥的体积为ABCD5已知,且与夹角为锐角,则实数的取值范围是ABCD6已知是两个不重合的平面,为两条不同的直线,给出下列命题,其中是真命题的个数是若,则若,则若,则若,则A BCD7. 函数有且仅有4个零点,则实数的取值范围是ABCD8已知正实数,则“”是“”的A 充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9下列导数运算正确的是ABCD10设函数,则下列说法正确的是A是奇函数 B在上是单调函数C的最小值为1 D当时,11如图,在棱长为1的正方体

3、中,点为线段的中点,且点满足 ,则下列说法正确的是A若,则B若,则平面C若,则平面D若时,直线与平面所成的角为,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12已知角的终边经过点,则.13在平面直角坐标系中,已知点,点在二次函数图象上,且使得的面积为,若满足条件的点共有两个,则实数的取值范围.14函数与和分别交于,两点,设在处的切线的倾斜角为,在处的切线的倾斜角为,若,则.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(13分)已知函数.(1)若,求函数的极值;(2)讨论函数的单调性. 16(15分)如图,平行六面体中,与交于点,底面是边长为的正方形,且

4、底面.(1)证明:;(2)若二面角的正切值为,求直线与平面所成角的余弦值. 17.(15分)已知.(1)若,求的值;(2)证明:. 18(17分)设计一个帐篷,它下部的形状是正四棱柱,上部的形状是正四棱锥,且该帐篷外接于球(如图所示).(1)若正四棱柱是棱长为的正方体,求该帐篷的顶点到底面中 心的距离;(2)若该帐篷外接球的半径,设,该帐篷的体积为,则当为何值时,体积取得最大值. 19(17分)函数满足:对任意,恒成立(或恒成立),则称直线是函数在上的支撑线.(1)下列哪些函数在定义域上存在支撑线?选择其中一个证明;(2)动点在函数图象上,直线是在定义域上的支撑线,求点到直线的距离最小值;(3

5、)直线是函数在上的支撑线,求实数的取值范围. 20242025学年度第一学期高三年级第一次联考数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1A 2C 3B 4A 5D 6B 7C 8C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。9ACD 10ABD 11BC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。125 13(8,10) 143ln3四、解答题:本题共5小题,共77分。15(1).1分所以 时,; 时,则在上递减,在递增.4分所以的极小值为,极大值为.6分(2).7分当时,所以在上递增.9分当时,时,;时,所以在上递增,在上递减.11分当时,时,; 时,所以在上递增

6、;在上递减.13分16.(1)证明:正方形,.1分底面,面,.3分,面,面.5分又面,.6分又平行六面体,.7分(2) 法一:综合法(略);法二:向量法取中点,连接正方形,底面,面,面,面又面,是二面角的平面角.10分又二面角的正切值为,.11分建立如图所示的空间直角坐标系则底面,底面的一个法向量为.13分设直线与平面所成角为.14分.15分17.(1).2分.3分.5分.6分.7分(2)欲证,即证即证即证即证即证即证,证毕.15分18.(1)正四棱柱是棱长为的正方体.2分.4分(2).7分.10分令.12分在上递增,在递减.16分时,体积取得最大值.17分19.(1) 证明:,是一条支撑线.3分()(2)直线是在定义域上的支撑线若,则时,;时,不合题意.4分直线是在定义域上的支撑线,恒成立令,时,;时,在上递增,在上递减的最大值为又易证在上递减,在上递增.7分设,在处的切线斜率为所以当在处的切线斜率为即时,点到直线的距离取得最小值为.9分(3) 直线是函数在上的支撑线若在上恒成立记.10分当时,在上单调递减,符合题意.11分当时,符合题意.13分当时,在上单调递减,符合题意.14分当时,在上单调递增,上单调递减,不符合题意.15分若在上恒成立在上不符合题意综上,符合题意.17分