1、第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程圆的方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(数学抽象)2能根据所给条件求圆的标准方程(数学运算)3掌握点与圆的位置关系(数学运算、逻辑推理)2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 圆的标准方程 1圆的定义：平面上到_的距离等于_的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半
2、径 2确定圆的要素是_和_ 3圆的标准方程：如图，圆心为A(a，b)，半径为r 的圆的标准方程是_ 当ab0时，方程为x2y2r2，表示圆心在_，半径为r的圆 定点 定长 圆心坐标 半径(xa)2(yb)2r2 原点 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 圆(x1)2(y2)24的圆心、半径分别是()A(1，2)，4 B(1，2)，2 C(1，2)，4 D(1，2)，2 D 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 点与圆的位置关系 已知圆(xa)2(yb)2r2的圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为
3、M(x0，y0)，则点M与圆的位置关系如下表：位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上|MA|r(x0a)2(y0b)2r2 点在圆内|MA|r(x0a)2(y0b)2r2 点在圆外|MA|r(x0a)2(y0b)2r2 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2 解析：因为点P在圆x2y2m2上，所以(1)2324m2，所以实数m2.微训练 1已知点P(3，2)和圆(x2)2(y3)24，则它们的位置关系为()AP是圆心 BP在圆上 CP在圆内 DP在圆外 C 解析：因为(32)2(23)224，所以点P在圆内 2若点P 1，3 在圆x2y2m2上，则
4、实数m_ 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 圆的有关概念 任务二 求圆的标准方程 任务三 点与圆的位置关系 任务四 圆的标准方程的应用 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：由圆的标准方程(x2)2(y3)25，知圆心为(2，3)，半径为 5.故选A.任务一 圆的有关概念 1圆(x2)2(y3)25的圆心和半径分别是()A(2，3)，5 B(2，3)，5 C(2，3)，5 D(2，3)，5 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：圆心
5、为(2，3)，半径是3的圆的标准方程为(x2)2(y3)29.故选C.2圆心为(2，3)，半径是3的圆的标准方程为()A(x2)2(y3)29 B(x2)2(y3)23 C(x2)2(y3)29 D(x2)2(y3)23 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 D 解析：根据题意，x0，两边同时平方得x2y21.由此确定图形为半圆故选D.3方程x 1 2表示的图形是()A两个半圆 B两个圆 C圆 D半圆 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1用直接法求圆的标准方程的关键 圆的标准方程由圆心坐标和半径决定，因
6、此求出圆心坐标和半径即可写出圆的标准方程 2几种特殊位置的圆的标准方程 特殊位置 标准方程 圆心在x轴上(xa)2y2r2 圆心在y轴上 x2(yb)2r2 与x轴相切(xa)2(yb)2b2 与y轴相切(xa)2(yb)2a2 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：设圆心坐标为(0，b)，由题意知0 12+221，解得b2.故圆的标准方程为x2(y2)21.任务二 求圆的标准方程 1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21 2.4.1 圆的标
7、准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，3)，所 以 a 4，b 6，所 以 圆 的 半 径 r 4 22+0+32 13，从而所求圆的标准方程是(x2)2(y3)213.2已知一个圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213 C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(1)因为圆心为(3，4)，设半径为r，又圆过坐标
8、原点，所以r3 02+4 025,所以圆的标准方程为(x3)2(y4)225.3求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(3，4)且经过原点；(2)圆心为(1，1)且与直线xy4相切；(2)设圆的半径为r，因为圆与xy4相切，所以r1+1412+12 2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)22.2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设圆心为(a，b)，半径为r，由题意得 2+222，022 1.r2 22+1 021，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)21.(3)经过点A(2，0)，B(2，2)，且以AB为直径；2.4.1 圆的标准方程圆的标
9、准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(方法一)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，依题意得 3 2+1 22，1 2+3 22，3 20，即 2+2 6 22 10，2+2+2 62 10，3 20，解得 2，4，10 故所求圆的标准方程是(x2)2(y4)210.(4)经过点A(3，1)，B(1，3)，且圆心在直线3xy20上 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (方法二)直线AB的斜率k3113 12，可知AB的垂直平分线m的斜率为2，AB中点的横坐标和纵坐标分别为x3121，1+322.因此m的方程为y22(x1)，即2xy0.
10、又圆心在直线3xy20上，所以圆心是这两条直线的交点 联立方程 2 0，3 20，解得 2，4.所以圆心坐标为(2，4)又半径r2 32+4 12 10，则所求圆的标准方程是(x2)2(y4)210.2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (方法三)设圆心为C，因为圆心在直线3xy20上，故可设圆心C的坐标为(a，3a2)又|CA|CB|，故 32+3 32+12+3 52，解得a2，所以圆心为(2，4)，半径r|CA|10.故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】
11、求圆的标准方程常用待定系数法，一般步骤是：设设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)；列由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解解方程组，求出a，b，r；代将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设圆心的坐标为O(x0，y0)，半径为r，由题意得 01+52，0442，得 02，00.所以圆心O的坐标为(2，0)任务三 点与圆的位置关系 1已知A(1，4)，B(5，4)两点求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，3)，E(5，1)三点与圆的位置关系 2.4.1 圆的标准方程圆的
12、标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 又r2 52+0+425，所以圆的标准方程为(x2)2y225.因为|OC|2(52)2(10)210r2，所以点E在圆外 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(1)因为点M(6，9)在圆上，所以(65)2(96)2a2，即a210.又a0，所以a 10.2已知圆N的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围(2)因为|PN|3 52+3 62 13，|QN|5 52+3 623，|PN
13、|QN|，所以点P在圆外，点Q在圆内所以3a 13.2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：易知点A，B，C不共线，设A，B，C三点确定的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)把A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)代入得 0 2+5 22，1 2+2 22，3 2+4 22，解得 3，1，225.所以A，B，C三点确定的圆的标准方程为(x3)2(y1)225.把(7，2)代入上述圆的标准方程，方程成立，所以点D在圆上故A，B，C，D四点共圆 3判断A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)，D(7，2)四点是否共圆 2.4.1 圆的标准方程圆的
14、标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】判断点(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系，只需将(x0，y0)代入圆的标准方程若(x0a)2(y0b)2r2，则点(x0，y0)在圆内；若(x0a)2(y0b)2r2，则点(x0，y0)在圆上；若(x0a)2(y0b)2r2，则点(x0，y0)在圆外.2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：如图，易得 12+12的最大值为1 02+1+42+2 262，最小值为 1 02+1+42 2 262.任务四 圆的标准方程的应用 探究活动 设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一
15、点 探究1：12+12的几何意义是什么？提示：表示点P与点(1，1)间的距离 探究2：怎样求 12+12的最大值、最小值？2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 2 解析：圆(x1)2(y1)21的圆心为(1，1)，圆心到直线xy2的距离为1121+1 2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1 2.评价活动 1圆(x1)2(y1)21上的点到直线xy2的距离的最大值是_ 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，圆 心C(0，4)，半径
16、r2，因此+12+12表 示点A(1，1)与该圆上的点的距离 因为|AC|2(1)2(14)24，所以点A(1，1)在圆外，如图所示 而|AC|0+12+4+12 10，所以+12+12的最大值为 r10+2，最小值为 r 102.2已知x，y满足x2(y4)24，求+12+12的最大值与最小值 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】与圆有关的最值问题利用数形结合法是解题关键(1)设圆上任意一点的坐标为(x，y)，则 2+2表示圆上的点到点(a，b)的距离(2)求圆外的点到圆上的点的距离的最值，先求该点到圆心的距离，再加减半径长即可(3)求圆上的点到一条直线的距离的最值，先求圆心到直线的距离，再根据直线与圆的位置关系，加减半径长 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
