1、第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位用空间向量研究直线、平面的位置关系置关系 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系(数学抽象)2能用向量方法证明直线与平面、平面与平面垂直的有关判定定理(逻辑推理)第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 第第3课时课时
2、 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 线线垂直 如图，设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1l2_u1u2_ 知识点二 线面垂直 如图，设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则l_R，使得u_ 知识点三 面面垂直 如图，设平面，的法向量分别为n1，n2，则_n1n2_ u1u2 0 un n n1n2 0 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：因为a2u，所以au，所以l，故选A.微训练 1已知a(2，4，2)是直线l的方向向量，u(1，2，1)是平
3、面的法向量，则直线l与平面的位置关系是()Al Bl Cl与相交但不垂直 Dl或l 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 垂直 解析：u1u20，则.2已知u1(1，0，1)，u2(0，2，0)分别为平面，的法向量，则平面，的位置关系为_ 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 利用空间向量判断位置关系 任务二 应用空间向量证明线线、线面垂直 任务三 利用空间向量证明面面垂直 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习
4、 任务型课堂 课后素养评价 任务一 利用空间向量判断位置关系 1若d(4，2，3)是直线l的方向向量，n(1，3，0)是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是()A垂直 B平行 C直线l在平面内 D相交但不垂直 D 解析：显然d与n不平行，因此直线l与平面不垂直又dn4(1)23302，即d与n不垂直，从而直线l与平面不平行且直线l不在平面内，故直线l与平面相交但不垂直故选D.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 B 解析：依题意得 (1，2，1)，而 2+2 40，4400，所以PAAB，PAAD.又ABADA，AB，AD平面A
5、BCD，所以PA平面ABCD.故选B.2在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则直线PA与平面ABCD的关系是()A平行 B垂直 C直线在平面内 D相交但不垂直 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】利用空间向量判断位置关系的方法(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后
6、素养评价 提示：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a.依题意可得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，t)(0ta)，则1(a，a，ta)又(a，a，0)，所以1 a2a20，所以1，即A1EBD.任务二 利用空间向量证明线线、线面垂直 探究活动 探究1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点试证明：A1EBD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：(
7、方法一)如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.探究2：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长 都为2，D为CC1的中点试证明：AB1平面A1BD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 取B1C1的中点O1，以O为原点，以，O1，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A10，2，3，A 0，0，3，B1(1，2，0)所以1 1，2，3，1 1，2，3，(
8、2，1，0)第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为1 11(1)22 3 30，1 1(2)21 3 00，所以11，1，即AB1BA1，AB1BD.又因为BA1BDB，BA1平面A1BD，BD平面A1BD，所以AB1平面A1BD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (方法二)建系同方法一 设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则 1，即 1 +2+30，2+0.令x1，得平面A1BD的一个法向量为n 1，2，3.又1 1，2，3，所以n1，即1n.所以AB1平
9、面A1BD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：如图，以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，(1，1，0)，(1，0，1)，1(1，1，1)，所以 1(1，1，0)(1，1，1)0，1(1，0，1)(1，1，1)0.所以1，1，即PB1CP，PB1CA.又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC，故PB1平面PAC.评价活动 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAD1，AA12，P为
10、DD1的中点求证：PB1平面PAC.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 利用空间向量证明面面垂直 1如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，AB
11、BCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；证明：取BC的中点O，连接PO.因为侧面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，所以PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过 点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立 空间直角坐标系，如图所示 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 不妨设CD1，则ABBCPBPC2，所以PO 3.所以A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P 0，0，3.所以(2，1，0)，1，2，3.因为 (2)1(1)(2)0 3 0，所以，
12、所以PABD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：取PA的中点M，连接DM，则M12，1，32.因为32，0，32，1，0，3，所以 32 1+0 0+32 3 0，所以，即DMPB.(2)平面PAD平面PAB.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为 3210(2)32 3 0，所以，即DMPA.又因为PAPBP，PA平面PAB，PB平面PAB，所以DM平面PAB.因为DM平面PAD，所以平面PAD平面PAB.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、
13、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：点E为CC1的中点 理由如下：设底面ABCD的中心为点O，正方体边长为a，连接A1O，OE.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O2，2，0，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，E(0，a，t)(0ta)，则 2，2，t，12，2，.2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点若平面A1BD平面EBD，试确定点E的位置 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 易知A1OBD.又平面A1BD平面EBD，所以A
14、1O平面EBD，所以A1OOE.又(a，a，0)，则1 0，1 0，即 22+220，2424+0，所以t2.所以当E为CC1的中点时，能使平面A1BD平面EBD.第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求出两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直 2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形中的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度 第第3课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
