1、第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1掌握空间向量的夹角与长度的概念(直观想象)2掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(数学运算)3能用向量的数量积解决立体几何问题(数学运算)1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 空间
2、向量的夹角 1定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，b，则AOB叫做向量a，b的_，记作_ 2夹角的范围 通常规定，_这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且a，b_如果a，b2，那么向量a，b_，记作_ 夹角 a，b 0a，b b，a 互相垂直 ab 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中，向 量 1与 夹 角 的 大 小 为_ 60 解析：因为BC1AD1，AD1C是等边三角形，所以1，1，60.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课
3、堂 课后素养评价 知识点二 空间向量的数量积、运算律 1定义 已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作ab，即_其中，_称为向量a在向量b上的投影向量特别地，零向量与任意向量的数量积为0.|a|b|cosa，b ab|a|b|cosa，b|a|cosa，b|1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2线面角 如图，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到向量，向量_称为向量a在平面上的_这时，向量_的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角 投影向量，1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量
4、的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则ab_ 共线 同向：ab_ 反向：ab_ 模 aa_|a|2，|a|_，|_|a|b|夹角 若为a，b的夹角，则cos _ ab0|a|b|a|b|a|a|cosa，a ()|1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 4空间向量的数量积满足的运算律(1)(a)b_，R；(2)ab_(交换律)；(3)(ab)c_(分配律)(ab)ba acbc 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂
5、课后素养评价 微训练 1已知e1，e2为单位向量，且e1e2.若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6 B6 C3 D3 B 解析：由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2下列式子中正确的是()A|a|aa2 B(ab)2a2b2 Ca(ab)ba2 D|ab|a|b|D 解析：根据数量积的定义知，A，B，C均不正确故选D.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素
6、养评价 任务型课堂 02 任务一 空间向量数量积的运算 任务二 利用数量积证明空间中的垂直关系 任务三 利用向量的数量积求夹角和模长 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 空间向量数量积的运算 1(多选)如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列各式中，结果等于a2的是()A2 B2 C2 D2 AB 解析：2 a2；2 a2；2 a2；2 12a2.故选AB.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2已知a3p2q，bp
7、q，p和q是互相垂直的单位向量，则ab()A1 B2 C3 D4 A 解析：因为pq，且|p|q|1，所以ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 _ 14a2 解 析：12+12 12 14 +14 2 142cos6014a2.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务二 利用数量积证明空间中的垂直关系 1在空间四边形ABCD中，已知ABCD，ACB
8、D，那么AD与BC的位置关系为_(填“平行”或“垂直”)垂直 解析：因为 +2 0，所以AD与BC垂直 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：如图，连接ON，设AOBBOCAOC，c，则|a|b|c|.又12+1212+12+14(ab c)，cb，所以 14+(cb)14 +2+2 142 cos 2 cos 2+2 0.所 以 ，即OGBC 2如图，已知在空间四边形OABC中，AOBBOC AOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中 点，G是MN的中点求证：OGBC.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问
9、题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：设11，11，1c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.因 为 11+1+12+c 12+12，ba，+12+12 112+12 12c，3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 所 以1 +12+12(b a)cb ca12 122+12 212 12(b2 a2)122 2 0，所 以1，即A1OBD.同理可证1，即A1OOG.又因为OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD，所以A1O
10、平面GBD.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】用向量法证明空间中垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示关键向量；(3)结合向量的数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 利用向量的数量积求夹角和模长 探究活动 探究1：某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形钢筋混凝土构件已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3，并且每两个力之间的夹角都是
11、60.(重力加速度g取10 m/)(1)向量F1和F2的夹角为_ 提示：(1)120 2s1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：设每个力大小为|F0|，合力为F，则|F|2(F1F2F3)(F1F2F3)(F1F2F3)26 02.所以|F|6 0.因为|F|5 0001050 000(N)，所以|F0|50 000625 000 63(N)(2)每个力最小为多少时，才能提起这块钢筋混凝土构件？1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 探究2：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有
12、棱长都为a，BAA1CAA160.(1)求|1|，|1|；提示：因为1+1，所以 12 +12 2+2 1+12 a22aa cos 60a2 3a2，所以 1 3a.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为11+1 +1，所以 12 +1 2 2+12+2+2 1 2 2 1 a2a2a2a2a2a22a2，所以 1 2a.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2)求向量1与1夹角的余弦值 提示：因为1 1 +1 +1 +1 1+1 +1 +12 2 aa cos 60aa cos
13、 60a2a2a2，所以cos1，1111123 266.故向量1与1夹角的余弦值为66.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 评价活动 如图，在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB2AM，CN12，求 .解：因为+23 13 13+13+23，所以 13+13+23219 2+192+49 229 49 +49 19 2+19 2+49 219 229 2+29 259531.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1利用数量积求异面直线所成角的余
14、弦值的步骤：(1)分别在两条异面直线上取向量a，b；(2)求向量夹角的余弦值cosa，b；(3)得出结果，即cos|cosa，b|.2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量a的长度|a|表示此距离；(2)用其他向量表示向量a；(3)利用公式aa|a|2，求出|a|.1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1.1.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 点击右图进入 课 后 素 养 评 价 谢谢观看 THANK YOU!本资料由【小草数学网】 从网络为您收集整理 部分为网友提供。资料版权属原作者，如侵犯您的权益请联系删除。
