1、第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1掌握抛物线的几何性质(数学建模)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法(数学运算)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦的中点等问题(数学运算、逻辑推理)4能解决直线与圆锥曲线的综合应用问题(数学运算、逻辑推理)3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任
2、务型课堂 课后素养评价 知识点一 抛物线的几何性质 类型 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象 性质 焦点 F2，0 F 2，0 F 0，2 F 0，2 准线 x2 x2 y2 y2 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 类型 y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0)性质 范围 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0 对称轴 _ _ 顶点 _ 离心率 _ 开口 方向 _ _ _ _ x轴 y轴 O(0，0)e1 向右 向左 向上 向下 3.3.2 抛物线的简
3、单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：由题意，知抛物线方程为x22py(p0)，且23，即p6.因此抛物线方程为x212y.微训练 1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23y By26x Cx212y Dx26y 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 4 解析：由题意双曲线2316221(p0)的左焦点 3+216，0 在抛物线y22px的准线x2上，所以 3+216 2，解得p4.2若双曲线2316221(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p_
4、 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 直线与抛物线的位置关系 1已知直线ykx+b（k,bR）与抛物线y22px(p0)，联立直线与抛物线的方程，消去y可得k2x2(2kb2p)xb20，当k 0时，4p2 8kbp.直线与抛物线的位置关系及判定方法如下表：位置关系 公共点 判定方法 相交 _公共点 k0或 0，0 相切 _公共点 0 相离 _公共点 0)，设AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则有以下结论：(1)以AB为直径的圆与准线_；(2)|AB|2 0+2(焦点弦长与中
5、点坐标的关系)；(3)|AB|x1x2_；(4)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2_ 相切 p p2 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22.因为A，B在抛物线上，所以1281，228x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，所以1;21;24，所以直线AB的方程为y14(x1)，即4xy30.微训练 1在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30 C4xy30 D4xy30 3.3.
6、2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 8 解析：|AB|x1x2p628.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点若x1x26，则|AB|_ 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 抛物线几何性质的应用 任务二 直线与抛物线的位置关系 任务三 直线与圆锥曲线的综合问题 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 D 解析：因为抛物线方程是y24x，所以F(1，0)又因为PFx轴，所以P(
7、1，2)，把P点坐标代入曲线方程y(k0)，即12，所以k2.任务一 抛物线几何性质的应用 1设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A12 B1 C32 D2 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 4 解析：zx212y24x22x4(x1)23.因为y24x0，所以x0，)，所以当x0时，zmin4.2已知点P(x，y)在抛物线y24x上，则zx212y24的最小值为_ 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：由已知得2，所以2:224，解得
8、 3，即双曲线的渐近线方程为y 3x.而抛物线的准线方程为x2，于是A 2，32，2，32，从 而 AOB 的 面 积 为123 2 3，可得p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y24x.3已知双曲线22221(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为 3，求抛物线的标准方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】抛物线的几何性质在解决与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但又是在解题的过程中容易被忽视的隐含条件在解题时，应先注意抛物线的开口
9、方向、焦点位置，确定标准方程形式，然后利用条件求解要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：(方法一)设弦AB的端点坐标为 1，1，B(x2，y2)，则有1281，228x2，所以(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，所以y1y24(x1x2)，即41;21;2，所以弦AB 所在直线的斜率k4.所以弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.任务二 直线与抛物线的位置关系 探究活动 探究1：过点Q(4，1)作抛物线y28x的
10、弦AB，若弦AB恰被点Q平分，试求AB所在直线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (方法二)设弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立 28，4+1，消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B的纵坐标 由根与系数的关系得y1y28.又y1y22，所以k4.所以弦AB所在直线的方程为4xy150.3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：设直线l：y1k(x1)，将x22代入整理得ky22y2k20.当k0时，把y1代入y22x，得x12，直线l与抛物线C
11、只有一个公共点 12，1.当k0时，44k(2k2)8k28k4.由0得，k1 32，此时l与C有且只有一个公共点；探究2：已知抛物线C：y22x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 当k1:32时，0，此时l与C无公共点；当1;32k0，l与C有两个公共点 综上，k1:32时，l与C无公共点；k1 32或k0时，l与C有且只有一个公共点；1;32k0或0k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则 1221，2222，并整理得2;12;1
12、21:2.又2;12;11，y1y24，所以2p4.因此抛物线C的方程为y24x.评价活动 1已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2，2)为AB的中点，求抛物线C的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：由 24，4，消去y，得x212x160.因为直线yx4与抛物线相交于不同的两点A，B，所以可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216，y1x14，y2x24.因为(x1，y1)，(x2，y2)，且 x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)12+12 4
13、 1+2161616412160，所以，即OAOB.2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，O为原点求证：OAOB.3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)将直线方程与抛物线方程联立，消去y后得到关于x的方程k2x2(2km2p)xm20.(1)若k0，则 当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0时，直线与抛物线相离，无交点(2)若k0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重
14、合 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 直线与圆锥曲线的综合问题 1试问是否存在一条斜率为k(k0)的直线l与椭圆23y21交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由 1 1 2 2 3 3 4 4 解：设直线l：ykxm为满足条件的直线，P为线段MN的中点，欲满足条件，只要APMN即可 由 +，23+21，得(13k2)x26mkx3m230.3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设M(x1，y1)，N(x2，
15、y2)，则xP1:22 31:32，yPkxPm1:32，所以kAP32;:13.因为APMN，所以32;:13 1(k0)，所以m32:12.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)0，得1k0,n0,mn），椭圆过点A(0，2)，B32，1，则 41，94+1，解得m13，14，所以椭圆E的方程为24+231.2(2022全国乙卷(理)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，2)，32，1 两点(1)求E的方程；1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：由题知
16、A(0，2)，B32，1，所以AB：y223x.若过点P(1，2)的直线斜率不存在，即直线的方程为x1.代入23+241，可得M 1，2 63，1，2 63，将y2 63代入AB方程y23x2，可得T 6+3，2 63，由得到H 2 6+5，2 63.求得直线HN的方程为y 2+2 63x2，直线恒过点(0，2)(2)设过点P(1，2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点 1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 若过点P(1，2)的直线斜率存在，设方程
17、为kxy(k2)0，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立 +2 0，23+241，得(3k24)x26k(2k)x3k(k4)0，可得 1+26(2)324，123(4)324，1+2;8(2:)324，124(4:4;22)324，且x1y2x2y1;2432:4(*)1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 联立 1，23 2，可得T312+3，1，H(3y16x1，y1)可求得此时HN：yy21;231:6;1;2(xx2)，将(0，2)代入，整理得2(x1x2)6(y1y2)x1y2x2y13y1y21
18、20，将(*)代入，得24k12k29648k24k4848k24k236k2480，显然成立，综上，可得直线HN过定点(0，2)1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：由 2 4，24，解得 4，4 或 1，2.所以A(4，4)，B(1，2)，所以|AB|3 5.设P(x0，y0)为AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d20;0;4515022 0 4 12 50 12 9.3如图，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这
19、个最大面积 1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为2y04，所以(y01)290.所以d12 59(y01)2.从而当y01时，dmax92 5，Smax1292 5 3 5274.因此，当点P的坐标为14，1 时，PAB的面积取得最大值，最大值为274.1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：设kABk(k0)，因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以kACk(k0)设AB的方程是yk(x4)2.由方程组 4+2，2，
20、消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.4如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值 1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为A(4，2)，B(xB，yB)为直线AB与抛物线的交点，所以4xB162;16:42，即xB42;4:12.以k代换上式中的k，得xC42:4:12，所以kBC;4:2;4:2;:;8;82+22;882 14.所以直线BC的斜率为定值 1 1 2 2 3 3 4 4 3.3.2 抛物
21、线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1.求参数的最值、范围的方法：利用一元二次方程根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域，确定参数的取值范围 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2.圆锥曲线中定点问题的两种解决方法：引进参数法：引进动点的坐标或动直线方程中的系数为参数表示变化量，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点 特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 3.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
