1、第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(数学建模)2掌握双曲线的标准方程及其求法(数学运算)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(逻辑推理)3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 双曲线的定义 一般地，我们把平面内与两个
2、定点F1，F2的距离的_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这_叫做双曲线的焦点，_叫做双曲线的焦距 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 B 解析：动点到两定点的距离的差为常数4，而常数小于两定点之间的距离，故点P的轨迹为双曲线的一支 微训练 1已知F1(3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|PF2|4，则点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支 C不存在 D一条射线 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 B 解析：根据双曲线的定义
3、，乙甲，但甲D 乙，只有当2a0，b0)22221(a0，b0)焦点坐标 _ _ a，b，c的关系 c2_ F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a2b2 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：b2c2a2725224.对焦点位置进行分类讨论可知选项C正确故选C.微训练 1已知a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A2252241 B2252241 C2252241或2252241 D2252240或2252240 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2，0 解
4、析：双曲线的方程可化为21211，所以a21，b21，c2a2b22，所以c 2，因为焦点在x轴上，所以右焦点坐标为2，0.2若双曲线的方程为x2y21，则它的右焦点坐标为_ 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 双曲线定义的应用 任务二 求双曲线的标准方程 任务三 双曲线的应用 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 双曲线定义的应用 1设P是双曲线2162201上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点若|PF1|9，则|PF2|()A1 B17 C1或17 D
5、以上答案均不对 B 解析：由双曲线定义知|PF1|PF2|8.又因为|PF1|9，所以|PF2|1或17，但双曲线的右顶点到右焦点的距离最小为ca6421，所以|PF2|17.3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2 3 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 2.由题意知|F1F2|2c4.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF212:22;1222 1 212，所以|PF1|PF2|8，所以12 1212sin 602 3.2已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF
6、2的面积为_ 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1或9 解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2.因为N为PF1的中点，所以ON是PF1F2的中位线，所以|ON|122.因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或|PF2|18.所以|ON|1或|ON|9.3已知双曲线的方程是216281，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|(O为原点)的大小为_ 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1双曲线定义的应用要注意三点：
7、(1)2a是双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值；(2)2a|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴 2在焦点三角形PF1F2中，常利用正弦定理、余弦定理或勾股定理，结合|PF1|PF2|2a，建立a与|PF1|PF2|的联系 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值是常数且小于|C1C2|6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x2281(x1)任务二 求双曲线的标准方程 探究活动 探究1：已知圆C1：(x3
8、)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，你能求出点M的轨迹方程吗？3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为216221(b0)把点A的坐标代入，得b2161516090)把点A的坐标代入，得b29，所以所求双曲线的标准方程为216291.探究2：分别根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)a4，经过点A 1，4 103；3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，n0)和焦点在y轴上(m0
9、，n0)两类情况，此时可以避免分类讨论，从而简化运算 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 1 2 2 3 3 4 4 解：因为方程22:232;1表示双曲线，所以(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c22|m|4，解得|m|1，所以1n3.任务三 双曲线的应用 1已知方程22:232;1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是什么？3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 1 2 2 3
10、 3 4 4 解：设点D的坐标为5，0，则点A，D是双曲线的焦点 连接MD，BD(图略)，由双曲线的定义，得|MA|MD|2a2.所以|MA|MB|2|MB|MD|2|BD|.又B是圆x2 521上的点，圆心为C 0，5，半径为1，故|BD|CD|1 101.从而|MA|MB|2|BD|101.当点M，B在线段CD上时取等号，即 +的最小值为 101.2已知双曲线的方程为x2241.如图，点A的坐标为 5，0，B是圆C：x2 521上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|MB|的最小值 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 1 2 2 3
11、3 4 4 解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直 角坐标系(图略)根据题意，得A(2，0)，B(2，0)，所以 C 3，3，所以 3+22+322 7.因为|MA|MB|2 ，所以点的轨迹是双曲线2231的右支 总费用为a|MB|a|MC|a(|MB|MC|)因为|MB|MC|MA|2|MC|AC|22 72，当M，A，C三点共线时，等号成立，所以总费用最低为 2 7 2 a万元 3如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，并修建两条公路MB，MC
12、，以便于向B，C两地转运货物经测算，公路的造价是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 4党的二十大报告指出：“如期实现建军一百年奋斗目标，加快把人民军队建成世界一流军队，是全面建设社会主义现代化国家的战略要求”为贯彻会议精神，某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到该指挥中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置(声音的传播速度为
13、340 m/s，相关各点均在同一平面内)1 1 2 2 3 3 4 4 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020)设P(x，y)为袭击位置，则|PB|PA|3404|AB|.由双曲线定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线的 左支上，且a680，c1 020.所以b21 0202680253402.所以双曲线的方程为268022534021(x680).1 1 2 2 3 3 4 4 3.2.1 双曲线
14、及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 又|PA|PC|，因此点P在直线yx上 把yx代入式，得x680 5.所以P 680 5，680 5，680 10(m)故该枚炮弹的袭击位置在指挥中心北偏西45方向，距指挥中心680 10 m处 1 1 2 2 3 3 4 4 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
