1、湖南省长沙市2025 届高三八月开学六校联合检测届高三八月开学六校联合检测 数学试题（含答案）数学试题（含答案）满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效写在试卷、草稿
2、纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单选题一、单选题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题所给的四个选在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合2,1,0,1,2M=，2
3、02xNxx+=，MN=（）A2,1,0,1 B0,1,2 C2 D2,2 2若复数 z 满足 1 iiz=，则z=（）.A1 B2 C2 D5 3已知()()()1,1,2,1,3,abcx=，若()3/abc，则x等于（）A6 B5 C4 D3 4已知344在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A13a B36a C36a D01a=，则（）A0a B0a C()0.6P Xa=10已知函数3()1f xxx=+，则（）A()f x有两个极值点 B()f x有一个零点 C点(0,1)是曲线()yf x=的对称中心 D直线2yx=是曲线()yf x=的切线 11“脸谱”是戏曲舞台演出时的化
4、妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线 C半圆1C的方程为()2290 xyy+=，半椭圆2C的方程为221(0)916xyy+=则下列说法正确的是（）A点 A 在半圆1C上，点 B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OAOB，则OAB面积的最大值为 6 B曲线 C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为 7 C若()()0,7,0,7AB，P是半椭圆2C上的一个动点，则 cosAPB的最小值为19 D画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司
5、 的圆上 称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C扩充为整个椭圆C：()22144916xyy+=后，椭圆C的蒙日圆方程为2225xy+=三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12双曲线()222210,0 xyabab=的渐近线方程为2yx=，则双曲线的离心率为 13函数()2lnf xx=+与函数()exg x=公切线的斜率为 .14已知三个正整数的和为 8，用X表示这三个数中最小的数，则X的期望EX=.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答
6、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知ABC中，,a b c分别为内角,A B C的对边，且()()2 sin2sin2sinaAbcBcbC=+.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是ABC 的角平分线，且2AD=，3b=，求ABC 的面积.16如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 底面 ABCD，2PAAB=，E为线段 PB的中点，F为线段 BC 上的动点 (1)证明：平面AEF 平面 PBC；(2)若直线 AF与平面 PAB所成的角的余弦值为2 55，求点 P 到平面 AEF的距离 17已知1l，2l是过点()0,2的两条互相垂直的直线
7、，且1l与椭圆22:14xy+=相交于 A，B两点，2l与椭圆相交于 C，D 两点(1)求直线1l的斜率 k 的取值范围；(2)若线段AB，CD的中点分别为 M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标 试卷第 4 页，共 4 页 18已知函数()21e12xf xaxx=.(1)讨论()f x的导函数()fx的单调性；(2)若对任意()0,0 xf x恒成立，求a的取值范围.19 某企业的设备控制系统由()*21Nkk个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01pp，则|2Nx x=或2x，而2,1,0,1,2M=，所以2MN=.故选：C 2B【分析】根据复数的除法运算化简，
8、即可由模长公式求解.【详解】由1 iiz=得()()()1 ii1 i1 iii iz=，所以2z=，故选：B 3A【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解.【详解】因为()()()1,1,2,1,3,abcx=，所以()31,2ab=，又因为()3/abc，所以60 x=，解得6x=.故选：A.4B【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出23cos1 sin445=，再利用和角的余弦公式进行求解.【详解】因为344，所以042，解得36a=，所以0a，A 正确，B 错误 对于 C,D 由对称性有()()20.6P XaP Xa=，所以()1 0.60.4P X
9、a恒成立，故()f x单调递增，故()f x不存在两个极值点，故选项 A错误.选项 B:(1)10,(1)30,ff=又()f x单调递增，故()f x有一个零点，故选项 B 正确，选项 C：()()2,fxf x+=(0)1,f=故点(0,1)是曲线()yf x=的对称中心，故选项 C 正确，选项 D：令312xxx+=，即310 xx+=，令()()321,31g xxxgxx=+=，则令()2312fxx+=，则3,3x=答案第 4 页，共 14 页 当3,3x=34 3()1,39f=+则当切线斜率为2切点为3 4 3(,1)39+则切线方程为：4 3312(),93yx+=与2yx=
10、不相等，当33x=时同样切线方程不为2yx=，故选项 D 错误.故选：BC.11ABD【分析】选项 A，易得3OA=，4OB，从而判断；选项 B 根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项 C 由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到PA、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出 cosAPB 的最小值；选项 D 中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程【详解】解：对于 A，因为点 A在半圆1C上，点 B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OAOB，则3OA=，4OB，则13622AOBSOA OBOB=，当B位于椭圆的下
11、顶点时取等号，所以OAB面积的最大值为 6，故 A 正确；对于 B，半圆1C上的点到O点的距离都是3，半椭圆2C上的点到O点的距离的最小值为3，最大值为4，所以曲线 C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为 7，故 B 正确；对于 C，()()0,7,0,7AB是椭圆221916xy+=的两个焦点，在PAB 中，2 7AB=，由余弦定理知：22222|()2cos22PAPBABPAPBABPAPBAPBPAPBPAPB+=()2282821818111284PAPBPAPBPAPBPAPB=+，当且仅当PAPB=时取等号，答案第 5 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 所以
12、cosAPB的最小值为18，故 C 错误；对于 D，由题意知：蒙日圆的圆心 O坐标为原点(0，0)，在椭圆C：221(44)916xyy+=中取两条切线：3x=和4y=，它们交点为()3,4，该点在蒙日圆上，半径为22345+=此时蒙日圆方程为：2225xy+=，故 D 正确 故选：ABD 123【分析】根据根据渐近线方程求出ba，再根据离心率公式即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0 xyabab=的渐近线方程为2yx=，所以2ba=，所以双曲线的离心率2213bea=+=.故答案为：3.131 或e【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即
13、可求得斜率.【详解】不妨设公切线与函数()2lnf xx=+的切点为()11,x y，与函数()exg x=的切点为()22,xy；易知()1fxx=，()exgx=，因此公切线斜率为211exx=，因此21e1xx=，可得()21lne0 xx=，即12ln0 xx+=又易知221121211eln21xyyxxxxxx=，整理可得2111121eln2xxxxxxx=，即11111lnlnxxxx=，即()()111 ln10 xx+=，解得11ex=或11x=；因此可得斜率为111x=或11ex=.故答案为：1 或e 答案第 6 页，共 14 页 1497【分析】利用组合的知识与隔板法，
14、分类讨论求得1X=与2X=对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解.【详解】设这三个正整数分别为,x y z，则题意可得()*8,xyzx y z+=N，所以随机变量X可能取值为 1 和 2，用隔板法可求得：事件总情况为27C种，当1X=时，分两种情况：三个数中只有一个 1，有1134C C种；三个数中有两个 1，有23C种，所以1X=时，112343127C CC5C7P+=；当2X=时，也分两种情况：三个数中只有一个 2，有13C种；三个数中有两个 2，有23C种，所以2X=时，1233227CC2C7P+=，所以52912777EX=+=.故答案为：97【点睛】关键点点睛：本题解决
15、的关键在于利用隔板法求得事件总情况为27C种，再分类讨论1X=与2X=对应的概率，从而得解.15(1)23(2)9 32 【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面积关系ABCABDCADSSS=+解出c，再根据三角形面积公式计算答案即可【详解】（1）在ABC中，由正弦定理及()()2 sin2sin2sinaAbcBcbC=+得：222abbcc=，.答案第 7 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 由余弦定理得2221cos22bcaAbc+=，又0A得243k，则32k，同理2143k，则223333k恒成立，求参数的取值范围问题，转化
16、为利用导数分类讨论求解函数()f x的最小值，判断最小值是否大于零即可.【详解】（1）由题可知()e1xfxax=.设()()g xfx=，则()exgxa=.当0a 时，()e0 xgxa=在R上恒成立，所以()()g xfx=在(),+上单调递增.当0a 时，令()0gx，得lnxa，令()0gx，得lnxa时，()yfx=在(),lna上是减函数，在()ln,a+上是增函数.（2）当0a 时，()fx在()0,+上单调递增，()00f=，答案第 13 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 则()()0,fxf x在()0,+上单调递增，故()()00f xf=成立；当01a单调递增，故()()00f xf=成立；当1a 时，当0lnxa时，()()e0,xgxafx=在()0,lna上单调递减，又()00f=，所以()()0,fxf x在()0,lna上单调递减，则()()00f xf时，10kkpp+，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，当12p 时，10kkpp+，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
