1、2024年山东省济南市历城区中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）A. B. C. D. 2. 自 2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道2023年一季度，济南新能源汽车总保有量约达111500辆将数字111500 用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D在的延长线上，如果，那么的度数是（ ）A. B. C. D. 4. 下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ）A.
2、2023B. 2024C. 2025D. 20266. “龙行朤朤，前程朋朋”表达了对未来的美好祝愿和期许现将分别印有“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 不等式组的所有整数解的和是（ ）A. 9B. 7C. 5D. 38. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 9. 已知，作图步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画
3、射线步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，于点P，Q，C；步骤3：连接，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. 垂直平分D. 10. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”例如点，都是“美丽点”已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 因式分解：=_12. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何
4、一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是_13. 若 且a为整数，则a的值是_14. 如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于_ 15. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出了“赵爽弦图”将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为_ 三、解答题（本大题共10个小题，共86分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 计算： 18.
5、先化简再求值： 其中19. 如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F求证：20. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为（参考数据： ，）（1）如图2，当A、B、C三点共线且时，求灯泡悬挂点 D 距离地面高度；（2）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长（结果精确到1 cm）21. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展
6、示环节从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，）： b甲学校学生成绩在这一组是：8080818282838384858686.587878888.589c乙学校学生成绩平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校50名学生成绩的中位数为_，优秀率为_（85分及以上为优秀）；（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在
7、本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_（填“A”或“B”）；（3）根据上述信息，推断_学校综合素质展示的水平更高，理由为_（至少从一个角度说明推断的合理性）；（4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由22. 如图，中，以 为直径交 于点，是 的切线，且，垂足是E，延长交于点F，连接 （1）求证：；（2）若，求的长23. 2024年是中国农历甲辰龙年元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，
8、所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？（2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？24. 【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：（1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的
9、两边长为x、y ，则 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_象限内的公共点坐标 （2）画出函数图象画函数 的图象；在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_个单位长度得到（3）研究函数图象平移直线，观察两函数的图象；当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_，周长m 的值为_；在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围【结论运用】（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_25. 综合与实践【问题情境】在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，
10、以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和（1）试判断和的位置关系，并说明理由 【实践探究】（2）“勤学小组”受此问题启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明【拓展探究】（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中， D 为 内一点，当，时，求线段的长 26. 如图1，抛物线与x轴交于点 A ，与直线交于点 ，点在y轴上点 P 从点 B 出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O 时停止（1）求抛物线的表达式；（2）在图1中过点 P 作 交抛物线于点D ，
11、连接，当四边形是平行四边形时，求的长（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点 P 速度的2倍，点 P 停止运动时点Q 也停止运动连接，求 的最小值2024年山东省济南市历城区中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱故选C2. 自 2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道2023年一季度，济南新能源汽车总保有量约达111500
12、辆将数字111500 用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数【详解】解：，故选：B3. 如图，在中，点D在的延长线上，如果，那么的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及平行线的性质：先算出，由三角形的内角和且，得，再由两直线平行，同旁内角互补，即可作答【详解】解：故选：D4. 下列以数学家名字命
13、名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可【详解】解：A不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合5. 已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ）A. 2023B.
14、 2024C. 2025D. 2026【答案】B【解析】【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案【详解】是方程 的解，故选B6. “龙行朤朤，前程朋朋”表达了对未来的美好祝愿和期许现将分别印有“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树
15、状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可【详解】解：把“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”分别记为、，列表得：共有种等可能出现的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的情况有种，抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为，故选：D7. 不等式组的所有整数解的和是（ ）A. 9B. 7C. 5D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题
16、的关键分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出整数解，相加即可得出答案【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：，不等式组的整数解为：，所有整数解的和是，故选：C8. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键【详解】解：、一次函数的图象经过第一、三、四象
17、限，则，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意； 、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意； 、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意； 故选：9. 已知，作图步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，于点P，Q，C；步
18、骤3：连接，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. 垂直平分D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可【详解】解：由作图可知：，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意；B为半圆的直径，选项B正确，不符合题意；C的度数未知，和互余，不一定等于，不一定等于，故选项D错误，符合题意故选：D10. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”例如点，都是“美丽点”已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点
19、”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“美丽点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键【详解】解：一个“美丽点”是，的图象上只有三个“美丽点”，对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，当时，有，化简得：，此方程无解，当时，有，化简得：，原二次函数为，当时，二次函数有最大值为2，当时，关于抛物线的对称轴直线的对称点为，当时，函数的最小值为，最大值
20、为2，的取值范围为：故选：C二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 因式分解：=_【答案】2（x+3）（x3）【解析】【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）故答案为：2（x+3）（x3）【点睛】考点：因式分解12. 七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面两幅图是由同一个七巧板拼成的 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是_【答案】【解析】【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论本题主要考查几何概率，七巧板，解题的关键是还原成七巧板中的图形，求得
21、阴影部分的面积【详解】解：如图，设大正方形的边长为a，则阴影部分的为标号为1，4，7的三角形的面积，即：，它停在阴影部分的概率；故答案为：13. 若 且a为整数，则a的值是_【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了无理数的估算先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出即可【详解】解：，即，故答案为：414. 如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于_ 【答案】6【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角和，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握正多边形的性质和三角形的内角和是解题的关键根据正多边形的性质和三角形的内角和解答即可【详解】解：五边形是正五边形，
22、是等边三角形，故答案为：615. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出了“赵爽弦图”将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为_ 【答案】50【解析】【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键【详解】解：正方形的边长为10，“赵爽弦图”中正方形的边长5，空白处的面积大正方形的面积小正方形面积故答案为：16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为_ 【答案
23、】【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解【详解】解：是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180得到，故，即，则，同理可得， ， ，故点的坐标为，即故答案为：三、解答题（本大题共10个小题，共86分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 计算： 【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键根据特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值、开立方相关知识进行计算即可【详解】解：原式18. 先化简再求值： 其中【答案】， 6【解析】【分析】本题主要考查了分
24、式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可【详解】解：，当时，原式19. 如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F求证：【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键由，可得，则，证明，则，由，可得【详解】证明：，即20. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为（参考数据： ，）（1）如图2，当A、B、C三点共线且时，求
25、灯泡悬挂点 D 距离地面的高度；（2）在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长（结果精确到1 cm）【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键（1）过点 D 作于点 E在中，根据得出，即可得出答案；（2）过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H在中，利用得出，从而求得、，在中，利用得出，即可解题小问1详解】解：过点 D 作于点 E在中， ，解得，灯泡悬挂点D距离地面的高度为（）【小问2详解】解：过点D向地面作
26、垂线，垂足F，过点C作于点G，延长交于点H在中，解得，（），（）， 在中，解得，的长为21. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，）： b甲学校学生成绩在这一组的是：8080818282838384858686.587878888.589c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：平均数中位数众数优秀率83.3
27、847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校50名学生成绩的中位数为_，优秀率为_（85分及以上为优秀）；（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_（填“A”或“B”）；（3）根据上述信息，推断_学校综合素质展示的水平更高，理由为_（至少从一个角度说明推断的合理性）；（4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由【答案】（1）； （2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； （4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入
28、选【解析】【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键（1）根据中位数的定义求解即可；（2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；（3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；（4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可【小问1详解】解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82，中位数为：；优秀率为；故答案为：；【小问2详解】解：A成绩为83
29、分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分；B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分；故A的排名更靠前；故答案为：A；【小问3详解】解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；【小问4详解】解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得，而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分，答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选22.
30、 如图，中，以 为直径的交 于点，是 的切线，且，垂足是E，延长交于点F，连接 （1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，则，由切线的性质可知，则，进而结论得证；（2）求出，证明，得到，求出，进而求出的长【小问1详解】证明：如图，连接 ，是 的切线，【小问2详解】如图，连接， 由（1）可知，为的直径，为的中点，又，即，解得，【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键23. 2024年是中国农历甲辰龙年元旦前
31、，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？（2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？【答案】（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别
32、是60元、64元 （2）每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元【解析】【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键（1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；（2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是a元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于6000（需要减去支出1300元各项费用），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出”列不等式，求解即可【小问1详解】解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
33、根据题意得： ，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（元/件）答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；【小问2详解】设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元由题意得：解得：“吉祥龙”公仔标价至少是90元答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元24. 【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：（1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_象
34、限内的公共点坐标 （2）画出函数图象画函数 的图象；在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_个单位长度得到（3）研究函数图象平移直线，观察两函数的图象；当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_，周长m 的值为_；在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围【结论运用】（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_【答案】（1） 一；（2）图见解析；图见解析，（3），8；0个交点时，；2个交点时，（4）【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移
35、、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键（1）根据x、y是边长求解即可；（2）利用描点法画函数 的图象即可；利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可；（3）联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； 由并结合图象可求解；（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可【详解】解：（1）x、y是边长，故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，故答案为：一；（2）列表：x1248y421描点、连线得函数 的图象如图：列表：x01y0描点、连线得函数的图象如图，由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移
36、个单位长度得到，故答案为：；（3）由得，由，得，此时，解得，当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，故答案为：，8；如图，由并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，由得，由题意，该方程有实数根，则，解得，故答案为：25 综合与实践【问题情境】在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和（1）试判断和的位置关系，并说明理由 【实践探究】（2）“勤学小组”受此问题启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，
37、点的对应点为，点的对应点为，连接，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明【拓展探究】（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中， D 为 内一点，当，时，求线段的长 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3）【解析】【分析】（）延长交 于点，由和 都是等腰直角三角形即可求证；（）延长交于点，证明，根据性质和角度和差即可求证；（）如图过点C作， 并截取 ，连接，证明，可得，求解，可得过A作 垂足为N，为等腰直角三角形，再进一步解答即可【详解】解：，理由：如图，延长交 于点，和 都是等腰直角三角形，；（2），理由：如图，延长交于点， ；（3） 如图
38、过点C作， 并截取 ，连接，在中， ， ， ， ，在直角中， ， ， 过A作 垂足为N，为等腰直角三角形， 在直角中， 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和角所对直角边是斜边的一半，锐角三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用26. 如图1，抛物线与x轴交于点 A ，与直线交于点 ，点在y轴上点 P 从点 B 出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O 时停止（1）求抛物线的表达式；（2）在图1中过点 P 作 交抛物线于点D ，连接，当四边形是平行四边形时，求的长（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点 P 速
39、度的2倍，点 P 停止运动时点Q 也停止运动连接，求 的最小值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据平行四边形的性质，得到，设，则，两点见距离公式求出的值，进而求出点坐标，即可得出结果；（3）在下方作，使得，证明，推出，勾股定理求出的长即可【小问1详解】解：抛物线过点， ；【小问2详解】轴，轴，四边形是平行四边形；，点P在上，设，解得，【小问3详解】如图，由题意得，连接在下方作，使得， ，（当M，Q，B三点共线时最短），的最小值为，即的最小值为
