1、2024年江苏省扬州市宝应县二模数学试卷一、选择题（每题3分，共24分.每小题只有一个选项是正确的）1. 下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是( )A. B. C. D. 3. 下列图形中不可以折叠成正方体的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车车流量与公车的车流量稳定；B. 小车的车流量的平均数较大；C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同
2、5. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）A. B. C. 3D. 8. 若点、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或二、填空题（每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）9. 芯片内部有数
3、以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米数据用科学记数法表示为_10 分解因式：_11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_12. 关于x，y的方程组的解满足，则_13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，；若，则的长是_14. 如图，中，是弦，点D在优弧上，则_15. 如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为_16. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，
4、高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为_17. 如图，O为原点，A(4，0)，E(0，3)，四边形OABC，四边形OCDE都为平行四边形，OC=5，函数y=(x0)的图象经过AB的中点F和DE的中点G，则k的值为_18. 如图，在矩形中，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为_三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：（2）化简：20. 解不等式组：，并判断、这两个数是否为该不等式组解？21. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取
5、本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（如图），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）被调查的学生人数是_；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？22. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.23. 如图，中，是边上
6、一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接（1）求证：；（2）若，试判断四边形形状，并证明你的结论24. 商贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？25. 如图，中，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求劣弧的长26. 如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值27. 在平面直角坐
7、标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B（1）如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点若，直接写出点坐标是_；点在过点的双曲线上，求的值；（2）如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系28. 定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形（1）如图1，中，点在上，点在的延长线上，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)； （2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，求证：四边形是准矩形； （3）如图3，准矩形中，且为锐角，当长最大时，求的值 2024年江苏省扬州市宝应县二模数学试
8、卷一、选择题（每题3分，共24分.每小题只有一个选项是正确的）1. 下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可【详解】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D2. 下列运算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了合并
9、同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案【详解】解：A，故此选项不合题意；B，故此选项不合题意；C，故此选项符合题意；D，故此选项不合题意故选：C3. 下列图形中不可以折叠成正方体的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：A，B，C都可以折叠成正方体，只有C有两个面重合，不能围成正方体故选D4. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车的车流量与公车的车流量稳定；B
10、. 小车的车流量的平均数较大；C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D. 小车与公车车流量的变化趋势相同【答案】B【解析】【分析】根据折线统计图逐项判断即可得【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意；B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意；C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意；D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键5. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个
11、顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质进行推理即可熟练掌握平行线性质是关键【详解】解：由图可知，直尺上下两边是平行线，故选：6. 一次函数的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数和判断即可【详解】解：中，图象一定经过一、三象限，又，图象一定经过一、三、四象限，不经过第二象限故选：B7. 我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，
12、利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形面积的计算过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，不妨设圆的半径为，过作于，在正十二边形中，正十二边形的面积为，的近似值为3，故选：C8. 若点、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质求得二次函数的对称轴直线即为直线，由
13、抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是【详解】解：，都在这个二次函数的图象上，二次函数的对称轴直线即为直线，解得，在对称轴左侧，在对称轴右侧，在中，令得，抛物线与轴交点为，关于对称轴直线的对称点为，解得；当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，且，解得，此时满足的条件为； 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线距离，解得：，此时满足的条件是，综上所述，或故选：D二、填空题（每题3分，共30分.不需写出
14、解答过程，请把答案直接填在相应位置上）9. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米数据用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：，故答案为：10. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解提公因式后利用完全平方公式因式分解即可【详解】解：；故答案为：11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范
15、围是_【答案】#【解析】【分析】本题主要考查二次根式、分式有意义的条件，根据二次根式、分式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则，解得：故答案为：12. 关于x，y的方程组的解满足，则_【答案】3【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解让方程组中的两个方程直接相减得到，于是得出，结合已知，即可得出的值【详解】解：，得，故答案为：313. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，；若，则的长是_【答案】【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理求出，再根据线段垂直平分线的性质求出【详解】解：，是
16、的垂直平分线，故答案为：14. 如图，中，是弦，点D在优弧上，则_【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确记忆利用圆周角定理是解题的关键连接，由圆周角定理可知，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解【详解】连接，如图 故答案为：15. 如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为_【答案】1【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，中位线定理是解题的关键根据平行四边形的性质，结合角的平分线，得到，再由角平分线及等量代换确定，根据等角对等边得出，结合E是的中点
17、，O是的中点，得到是的中位线，计算即可，【详解】平行四边形的对角线、相交于点O，O是的中点，平分，E是的中点，O是的中点，是的中位线，故答案为：116. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为_【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案【详解】解：设抛物线的解析式为由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，解得：，抛物线的解析式为：，当时，水管的高度为，故答案为：1
18、7. 如图，O为原点，A(4，0)，E(0，3)，四边形OABC，四边形OCDE都为平行四边形，OC=5，函数y=(x0)的图象经过AB的中点F和DE的中点G，则k的值为_【答案】9【解析】【分析】（1）根据两平行四边形对边平行且相等可知：OE=3，OA=4，并由设出C、B、D的坐标；（2）表示出点F和G的坐标，并根据反比例函数列等式，求出a与b的关系：3a=4b，a=；（3）由OC的长及点C的坐标列式：a2+b2=52，求出a与b的值；（4）写出点G或点F的坐标，计算k的值【详解】解：A（4，0），E（0，3），OE=3，OA=4，由OABC和OCDE得：OEDC，BCOA且DC=OE=3，
19、BC=OA=4，设C（a，b），则D（a，b+3）、B（4+a，b），AB的中点F和DE的中点G，G，F，函数y=（x0）的图象经过点G和F，则=，3a=4b，a=，OC=5，C（a，b），a2+b2=52，b=3，b0，b=3，a=4，F（6，），k=6=9；故答案为9【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质18. 如图，在矩形中，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即
20、可求解【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆，四边形是矩形，与相切，当取得最大值时，取得最大值，如上图，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由翻折得：，在中，解得：，的最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算；（1）先根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，再根据负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；（2）先
21、将括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可【详解】解：（1）；（2）20. 解不等式组：，并判断、这两个数是否为该不等式组的解？【答案】不等式组的解集为：；、是该不等式组的解【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再进行判断即可关键是求出不等式组的解集【详解】解：解不等式得：；解不等式得：，不等式组的解集为：，、是该不等式组的解21. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成
22、如下两幅不完整的统计图（如图），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）被调查学生人数是_；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？【答案】（1） （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（2）利用（1）中所求，得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数【小问1详解】解：被调查的学生人数为：（人）；故答案为：【小问2详解】喜欢艺体类的学生数为：（人），如图所示： 【小问3详解】全校最喜爱文学类图书的学生约有：（
23、人）【点睛】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键22. 临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 （2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数，再利用概率公式计算可得【详解】
24、（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果，他选择“享受美食”的概率是故答案为（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数为7，他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率为【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23. 如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接（1）求证：；（2）若，
25、试判断四边形的形状，并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）由得，继而结合、即可判定全等；（2）根据，且是边上的中线可得，结合四边形是平行四边形可得答案【小问1详解】解：是的中点，；小问2详解】四边形是菱形，四边形是平行四边形，是边上的中线，四边形是菱形【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键24. 商贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少
26、，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？【答案】今年月份每辆车的销售价格是万元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设今年月份每辆车的销售价格是万元，则去年每辆车的销售价格为万元，利用数量总价单价，结合今年月份销售数量与去年一整年的相同，列出分式方程，解方程即可【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格是万元，则去年每辆车的销售价格为万元，根据题意得：解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：今年月份每辆车的销售价格是万元25. 如图，中，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点（1）求证：是的切线；（2）若，求劣弧的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据
27、等边对等角性质和平行线的判定和性质证得，从而证得是的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出，根据三角函数的定义求得，进而得到，然后根据弧长公式解答即可【小问1详解】证明：连接，是O的半径，是O的切线；【小问2详解】连接，,，劣弧的长【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以解直角三角形等，综合运用这些知识是解决问题的关键26. 如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值【答案】（1）该抛物线的表达式为； （2）的最小值为【解析】【分
28、析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值；（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；（2）利用轴对称求最小值即可，的最小值为即，通过勾股定理求解即可【小问1详解】把，代入得：解得：该抛物线的表达式为；【小问2详解】由（1）得：抛物线的表达式为对称轴，顶点 设直线解析式为，将，代入得：，解得直线解析式为，当时， 点A关于对称轴的对称点为点的最小值为即的最小值为27. 在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B（1）如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点若，直接写出点的坐标是_；点在过点的双曲线上，求的值；（2）如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段
29、绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系【答案】（1）；或 （2）或【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，折叠的性质；（1）设反比例函数解析式为，根据题意得：当，求得，从而求出反比例函数解析式为，根据条件确定，从而确定；根据点在过点的双曲线上，将代入计算即可；（2）当点与点关于轴对称时，可得，当点绕点旋转时，得到点，点在上，过点作轴于点，则，进而解答即可【小问1详解】解：(1)如图，设反比例函数解析式为，根据题意得：当，反比例函数解析式为，过点作轴的垂线，根据题意得：，故答案为：；根据题意得：，点上，或；【小问2详解】如图2，当点与点关于轴对称时，当点绕点旋转时，得
30、到点，点在上，过点作轴于点，则，即 ，点在上，综上所述： 和的数量关系是或28. 定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形（1）如图1，中，点在上，点在的延长线上，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)； （2）如图2，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，求证：四边形是准矩形； （3）如图3，准矩形中，且为锐角，当长最大时，求的值 【答案】（1）是 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，即可判定四边形是准矩形；（2）由四边形为平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出，即可得证；（3）过点作，则四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质求出，设根据相似三角形的性质求出，再根据二次函数的最值求解即可【小问1详解】解：，则四边形是准矩形，故答案为：是；【小问2详解】证明：四边形为平行四边形，且根据折叠的性质得，四边形是准矩形；【小问3详解】解：如图3，过点作， 四边形是平行四边形，设，当时，有最大值，长最大时，的值为【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、准矩形的判定、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟记平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键
