1、江苏省南京市鼓楼区二校联考2024届中考数学二模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 的值是（）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（ ）A. B. C. D. 4. 在三边长分别为a，b，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯某人从A处出发，沿直线走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ） A. 一直不变B. 逐渐变长C. 逐渐变短D. 先变短后变长6. 函数、在同
2、一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ）A B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上）7. 比较大小：_（填“”，“”，“”或“=”）【答案】【解析】【详解】试题分析：根据二次根式的性质可知，被开方数越大，所对应的二次根式就越大，因此可判断与=1的大小为1考点：二次根式的大小比较8. 因式分解_【答案】【解析】【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可【详解】解：故答案为：9. 小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：1
3、60，163，160，157，160这组数据的众数为_【答案】160【解析】【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，这组数据的众数为160，故答案为：160【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键10. 若函数的图象经过点（3，2）和点（2，3），写出一个符合条件的函数表达式_【答案】y= （答案不唯一，反比例函数，一次函数，二次函数均可）【解析】【分析】由两坐标可看出两点横纵坐标之积相等，可判断函数可以为反比例函数，k值可由任意一点横纵坐标之积求得【详解】解：由于某函数图象经过点A（3，2）和点B（
4、2，3），且两点横纵坐标之积相等，则此函数可以为反比例函数，k=32=6，满足条件的反比例函数可以为y=；故答案为y=（答案不唯一，反比例函数，一次函数，二次函数均可）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，结果即是比例系数11. 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意摸出1个球恰好是红球的概率为_【答案】【解析】【分析】根据一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可【详解】解：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意摸出1个球恰好是红
5、球的概率为：，故答案为：【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点是：概率所求情况数与总情况数之比12. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30，圆锥的侧面积为_【答案】2【解析】【详解】试题分析：如图，BAO=30，AO=，在RtABO中，tanBAO=，BO=tan30=1，即圆锥的底面圆的半径为1，AB=，即圆锥的母线长为2，圆锥的侧面积=考点：圆锥的计算13. 反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于A（2，1）和B两点，点B的纵坐标为3，若y1y2，则x的取值范围是_【答案】x2或x0【解析】【详解】反比例函数y1=与过点A（2，1），k1=1（2）=
6、2把y=3代入 反比例函数y1=，得3=，解得x=B（，3），当x2或x0时，y1y2故答案是：x2或x014. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在AD的延长线上，连接CE，点F是CE的中点，连接OF交CD于点G若DE=1，OF=1.5，则点C到DF的距离为_【答案】【解析】【分析】连接DF，先证明ODFOGF得到DFG=CFG，由此可以得到G是CD的中点，由中位线定理求出，设C到DF的距离为h，则，由此求解即可【详解】解：如图，连接DF，四边形ABCD是正方形，ADC=90，OD=OCCDE=90F是CE的中点，DF=CF=EF，又OF=OFODFOCF（SSS），
7、DFG=CFG，DG=CG，G是CD的中点，GF是CDE的中位线，OG是BCD的中位线，设C到DF距离为h，故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解15. 如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为2m，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是_（用含a的代数式表示） 【答案】a【解析】【分析】过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM，根据CM=CN以及
8、MCN的度数可得到CMN为等边三角形利用相应的三角函数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等详解】过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM 由题意得ABND，CNM为等边三角形（180457560，梯子长度相同），ACM75，AMC15AMN75，在MND中，NDMNsin75，在MAC中，AMMCsin75，MNMC，NDMAa故答案为：a【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键16. 如图，在中，分别在上，连接交于点若，则的值是_【答案】【解析】【分析】过点D作DHAC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，由题意易
9、得BDHEAB，由相似的性质及直角三角形的性质可得HBE=90，然后根据可求解【详解】解：过点D作DHAC，且DH=CE，连接EH、HB，则四边形HECD是平行四边形，如图所示：HAD=A=BDH=90，EFC=FEH，BDHEAB，HBD=BEA，又AEB+ABE=90，HBD +ABE=90，即；故答案为【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形，关键是根据题意得到三角形的相似，然后利用相似三角形的性质及三角函数进行求解即可三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算 （2）解方程 【答案】（1）
10、；（2）【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先乘以公分母，化为整式方程，解方程求解即可，注意分式方程要检验【详解】解：（1）原式（2）方程两边同时乘以公分母，得经检验，是原方程的解【点睛】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，掌握负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，解分式方程是解题的关键18. 化简，从中选出你喜欢的整数值代入求值.【答案】，当时，值为1；当时，值为【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是运用分式的通分和约分来计算先对小括号里面的分式进行通分再相减；再根据完全平方公式将第二个分式的分母进行变形；最后相乘进行约
11、分、求值即可【详解】解：原式，根据题意x不能取，当时，原式当时，原式.19. 已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接（1）求证：；（2）当满足 时，四边形为正方形【答案】（1）见解析 （2），【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；（2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，点是的中点，在和中，；【小问2详解】解：当，时，四边形是正方形证明：由（1）知，又，四边形
12、是平行四边形，由（1）知，四边形是菱形，四边形是正方形故答案为：，20. 一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是红球的概率（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分 甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是_【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）列表共有12种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；（2）先列表，再求甲，乙两位同学所得分数
13、之和不低于10分的等可能结果，再由概率公式求解即可【小问1详解】根据题意，列表得：红1红2白黄红1（红2，红1）（白，红1）（黄，红1）红2（红1，红2）（白，红2）（黄，红2）白（红1，白）（红2，白）（黄，白）黄（红1，黄）（红2，黄）（白，黄）摸球的结果共有12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有2种结果，P（两次均摸到红球）=【小问2详解】根据题意，列表得：红1红2白黄红1（红1，红1）（红2，红1）（白，红1）（黄，红1）红2（红1，红2）（红2，红2）（白，红2）（黄，红2）白（红1，白）（红2，白）（白，白）（黄，白）黄（红1，黄）（红2，黄）（白，黄）（黄，黄）摸球的结果共有1
14、6种等可能结果，由题意可知：摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的有：（红1，红1）、（红2，红1）、（红1，红2）、（红2，红2）、（红1，黄）（红2，黄）、（黄，红1）、（黄，红2）共8种等可能结果，P（甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分）=故答案为：【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率21 2023年2月和3月，某地区5家烧烤店平均日营业额如下表： 烧烤店平均日营业额（万元）月份ABCDE2月3153153月245817
15、（1）2月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是_万元，3月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是_万元；（2）烧店B，D，E通过改良配方、增加营业时间等措施，3月份平均日营业额都比2月份有所增长，对比其他4家烧烤店的营业额后，他们3家都说自己3月份实施相关措施的效果最好，请你分别写出一条支持他们观点的理由【答案】（1）， （2）从营业额增长率看，B店营业额最好；从营业额增长金额看，D店营业额最好；从营业额看，E店营业额最好【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；（2）根据题意，分别从从营业额增长率看，营业额增长金额，营业额三个反面进行分析即可【小问1详解】解：2月份这5家烧烤店平均日营业
16、额的平均数：（万元），3月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数：（万元），故答案为：，；【小问2详解】解：B店增长率：，D店增长率：，E店增长率：，B店营业额最好；B店营业额增长金额：（万元），D店营业额增长金额：（万元），E店营业额增长金额：（万元），D店营业额最好；，E店营业额最好；综上：从营业额增长率看，B店营业额最好；从营业额增长金额看，D店营业额最好；从营业额看，E店营业额最好【点睛】本题主要考查了求数据的平均数以及从不同角度分析数据，解题的关键是掌握求平均数的方法以及从不同的角度分析数据22. 如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）；（1）在边上找一点，使得：
17、将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合；（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图中作出点【答案】（1）见详解 （2）见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质（1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合；（2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可【小问1详解】解：如图1所示：点即为所求作的点；【小问2详解】如图2所示：点即为所求作的点作图如下：延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点，作的角平分线交于
18、点，过点作的垂线交于点23. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）已知，测得时，点离地面的高度为调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了【解析】【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，当时，则，从而可
19、得答案【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ，四边形是平行四边形，当时，则，此时，当时，则，而，点离地面的高度升高了，升高了【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键24. 已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的.如图是客车、货车离C站的路程，与行驶时间的函数关系图象.（1）货车的速度为_；A、B两地间的路程为_；（2）求客车与x的函数关系式并直接写出货车与x的函数关系式.
20、（3）出发后经过_两车间路程是70km？【答案】（1）60，840； （2）， （3）5.5小时或6.5小时【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程；（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出客车与的函数关系式和货车与的函数关系式；（3）根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可【小问1详解】（1）由图象可得，客车的速度：，则货车速度：，与两地间路程为：，故答案为：60，84
21、0；【小问2详解】设客车与的函数关系式是，解得，即客车与的函数关系式是；当时，设货车与的函数关系式是，货车的速度为，该函数过点，解得，即当时，货车与的函数关系式是；，当时，设货车与的函数关系式是，点，在该函数图象上，解得，即当时，货车与的函数关系式是；由上可得，货车与的函数关系式是；【小问3详解】当两车相遇前相距70千米时，解得，当两车相遇后相距70千米时，解得，综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米故答案为：5.5小时或6.5小时25. 已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为点在图象
22、上，且求的取值范围；若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 【答案】（1）； （2） 0或；4或【解析】【分析】（1）将代入，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为；（2）图象的解析式分为两部分，当或时，此时与轴的两个交点为，；当时，根据对称性求出解析式为，即，此时与轴的两个交点为，所以当点在图象上，且时，可得的取值范围是或；先根据求出自变量的取值范围是或，又由知或，根据不等式的性质即可得出或【小问1详解】解： 抛物线过点，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】，当时，解得或2，与轴交于点，当时，解得，顶点为，它关于直线对称点的坐标为，当或时，图象的解析式不变，仍然为；当时，图象的解析式
23、为，即，当时，解得或1，如果点在图象上，且时，或；由图象可知，时，解得或或，又或，或故答案为或【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，对称轴与坐标轴平行时二次函数解析式的特点，不等式的性质，难度适中运用数形结合是解题的关键26. 如图，内接于O，的平分线AF交O于点G，过G作分别交AB，AC的延长线于点D，E（1）求证：DE是O的切线；（2）已知，点I为的内心，求GI的长【答案】（1）见详解 （2）GI的长为4【解析】【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到BAG=CAG，根
24、据垂径定理得到OGBC，根据平行线的性质得到OGEF，然后问题可求证；（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到BAI=CAI，ABI=CBI，推出BIG=GBI，得到BG=IG，根据相似三角形的性质即可得到结论【小问1详解】证明：连接OG，BAC的平分线AF交O于点G，BAG=CAG，OGBC，OGEF，OG是O的半径，DE是O的切线；【小问2详解】解：连接BI，BG，点I为的内心，BI平分ABC，AG平分BAC，BAI=CAI，ABI=CBI，BIG=GBI，AF=6，FG=2，（负根舍去），GI的长为4【点睛】本题主要考查切线的判定与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定与性质
25、及相似三角形的性质与判定是解题的关键27. 三角尺是几何学习中常用的学具【重温旧知】（1）图是课本上三角尺的3种摆放方式借助图中的和，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做_；图中，的度数是_，三角尺的直角边和三角尺的直角边之间的数量关系是_；图中确认弦是圆的直径的定理是_ 【探索研究】（2）如图，将图中的一副三角尺和叠放在一起，使得点，分别在，边上，我们在同一平面内研究下面两个问题当时，求的值；若的长为，直接写出顶点和的距离的最大值（用含的代数式表示） 【答案】（1）互补，75，直径所对的圆周角为直角 （2）；【解析】【分析】（1）根据互补的定义，即可得出和的关系；根据三角板中各个角的度数
26、，即可求出；根据，即可得出和之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出弦是圆的直径；（2）证明，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；连接点C和中点M，连接点E和中点M，在中，当点C、M、E在同一条直线上时，此时最大【小问1详解】解：由图可知，三角板的两个直角顶点重合，则和互补；由图可知：；，；，弦是圆的直径（直径所对的圆周角为直角），故答案为：互补，75，直径所对的圆周角为直角；【小问2详解】解：根据题意可得：，由（1）可知，则，； 连接点C和中点M，连接点E和中点M，点M为中点，根据勾股定理可得：，在中，当点C、M、E在同一条直线上时，此时最大，顶点和的距离的最大值 【点睛】本题主要考查了互补的定义，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，相似三角形对应边成比例，三角形两边之和大于第三边
