1、第七章 推理与证明第 1 课时 合情推理与演绎推理一、 填空题1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第 10 年树的分枝数为_答案：55解析：因为 211，321，532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第 10 年树的分枝数为 213455.2. 我们把 1，4，9，16，25，这些数称为正方形数，则第 n 个正方形数是_答案：n 2解析： 11 2，42 2，93 2，164 2，255 2， 由此可推得第 n 个正方形数是 n2.3. 观察(x 2)2x，(x 4)4x 3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义
2、在 R上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)_答案：g(x)解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故 g(x)g(x)4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字2，3 出现在第 2 行，数字 6，5，4(从左至右)出现在第 3 行； 数字 7，8，9，10 出现在第4 行，依此类推，则第 20 行从左到右第 4 个数字为_答案：194解析：前 19 行共有 190(个)数字第 19 行最左端的数为 190第19（ 1 19）220 行从左到右第 4 个数字为 194.5. 观察等式： ， 1，sin
3、30 sin 90cos 30 cos 90 3 sin 15 sin 75cos 15 cos 75 .照此规律，对于一般的角 ，有等式sin 20 sin 40cos 20 cos 40 33_答案： tan sin sin cos cos 2解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故tan .sin sin cos cos 26. 已知命题：在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点 A(p，0)和 C(p，0)，顶点B 在椭圆 1(mn0，p )上，椭圆的离心率是 e，则 .试将x2m2 y2n2 m2 n2 sin A sin Csin B 1e该命题
4、类比到双曲线中，给出一个真命题是_答案：在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点 A(p，0)和 C(p，0)，顶点 B 在双曲线 1(m0，n0，p )上，双曲线的离心率是 e，则 x2m2 y2n2 m2 n2 |sin A sin C|sin B 1e解析：由正弦定理和椭圆定义可知 ，类比双曲线应有sin A sin Csin B AB BCAC 2a2c .|AB BC|AC |sin A sin C|sin B 1e7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 1 023 个正方形，
5、设初始正方形的边长为 ，则最小正方形的边长为_22答案：132解析：设 1242 n1 1 023，即 1 023，解得 n10.正方形边长构成1 2n1 2数列 ， ， ， ，从而最小正方形的边长为 .22 (22)2 (22)3 (22)10 (22)10 1328. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21 行从左向右的第 5 个数为_13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31答案：809解析：前 20 行共有正奇数 1353920 2400(个)，则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数，所以这个数是 24051809.9. 已知“
6、整数对”按如下规律排成一行：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第 60 个“整数对”是_答案：(5，7)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n1，且第 n 组共有 n 个“整数对” ，这样的前 n 组一共有 个“整数对”n（ n 1）2，注意到 a 解析： cb44aa 2(2a) 20， cb.已知两式作差得 2b22a 2，即b1a 2. 1a 2a 0， 1a 2a. b1a 2a. cba.(a12)2 347. 对实数 a 和 b，定义运算“
7、”：ab 设函数 f(x)(x 22)a， a b 1，b， a b1.)(xx 2)，x R.若函数 y f(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是_答案：(，2 ( 1， 34)解析：由题意可得 f(x) x2 2， x2 2 （ x x2） 1，x x2， x2 2 （ x x2） 1 ) 函数图象如图所示x2 2， 1 x 32，x x2， x 1或 x 32， )函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即函数 yf(x)与 yc 的图象有 2个交点，由图象可得 c2 或1c .348. 对于一切实数 x，不等式 x2a|x|10 恒成立，则实数
8、a 的取值范围是_答案：2，)解析： 当 x0 时不等式成立；用分离参数法得 a (x0)，而(|x|1|x|)|x| 2， a2.1|x|9. 若二次函数 f(x)4x 22(p2)x2p 2p1 在区间1，1内至少存在一点 c，使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是_答案： ( 3，32)解析：令 解得 p3 或 p ， 故满足条件的 p 的f（ 1） 2p2 p 1 0，f（ 1） 2p2 3p 9 0， ) 32取值范围是 .( 3，32)10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在0，1上有意义，且 f(0)f(1)，如果对于任意不同的 x1，x 20，1，都有|f
9、(x 1)f(x 2)|0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)0，且 00.(1) 求证： 是 f(x)0 的一个根；1a(2) 试比较 与 c 的大小；1a(3) 求证：20，由 00，知 f 0 与 f 0 矛盾， 1a 1a (1a) (1a)c. c， c.1a 1a 1a(3) 证明：由 f(c)0，得 ac2bcc0，即 acb10， b1ac.又a0，c0， b0， b2， 2 (nN *)成立，其初始值至少应取12 14 12n 112764_答案：8解析：左边1 2 ，代入验证可知 n 的最小值是 8.12 14 12n 11 12n1 12 12n 19. 用数
10、学归纳法证明： ；当1213 2235 n2（ 2n 1） （ 2n 1） n（ n 1）2（ 2n 1）推证 nk1 等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_答案： k（ k 1）2（ 2k 1） （ k 1） 2（ 2k 1） （ 2k 3） （ k 1） （ k 2）2（ 2k 3）解析：当 nk1 时， 1213 2235 k2（ 2k 1） （ 2k 1） ，故只需证明 （ k 1） 2（ 2k 1） （ 2k 3） k（ k 1）2（ 2k 1） （ k 1） 2（ 2k 1） （ 2k 3） k（ k 1）2（ 2k 1） 即可（ k 1） 2（ 2k 1） （ 2k 3）
11、 （ k 1） （ k 2）2（ 2k 3）10. 若数列a n的通项公式 an ，记 cn2(1a 1)(1a 2)(1a n)，1（ n 1） 2试通过计算 c1，c 2，c 3的值，推测 cn_答案：n 2n 1解析：c 12(1a 1)2 ，c 22(1a 1)(1a 2)(114) 322 ，c 3 2(1a 1)(1a 2)(1a 3)(114) (1 19) 432 ，故由归纳推理得 cn .(114) (1 19) (1 116) 54 n 2n 1二、 解答题11. 已知数列a n满足 an1 (nN *)，a 1 .试通过求 a2，a 3，a 4的值猜想 an12 an 1
12、2的表达式，并用数学归纳法加以证明解：a 2 ，a 3 ，a 4 .12 a1 12 12 23 12 a2 12 23 34 12 a3 12 34 45猜想：a n (nN *)nn 1用数学归纳法证明如下： 当 n1 时，左边a 1 ，右边 ，所以等式成立；12 11 1 12 假设 nk 时等式成立，即 ak ，则当 nk1 时，a k1 kk 1 12 ak 12 kk 1 ，所以当 nk1 时等式也成立k 1k 2 k 1（ k 1） 1由得，当 nN *时等式都成立12. 是否存在常数 a，b，c，使等式 1(n21 2)2(n 22 2)n(n 2n 2)an 4bn 2c 对
13、一切正整数 n 成立？证明你的结论解：分别用 n1，2，3 代入解方程组 a b c 0，16a 4b c 3，81a 9b c 18)a 14，b 14，c 0. )下面用数学归纳法证明 当 n1 时，由上可知等式成立； 假设当 nk 时，等式成立，则当 nk1 时，左边1(k1) 21 22(k1)22 2k(k1) 2k 2(k1)(k1) 2(k1) 21(k 21 2)2(k 22 2)k(k 2k 2)1(2k1)2(2k1)k(2k1) k4 k2(2k1)14 ( 14)2(2k1)k(2k1) (k1) 4 (k1) 2， 当 nk1 时，等式成立14 14由得等式对一切的
14、nN *均成立13. 已知(x1) na 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1) 3a n(x1) n(其中 nN *)，Sna 1a 2a 3a n.(1) 求 Sn；(2) 求证：当 n4 时，S n(n2)2 n2n 2.(1) 解：取 x1，则 a02 n；取 x2，则 a0a 1a 2a 3a n3 n， Sna 1a 2a 3a n3 n2 n.(2) 证明：要证 Sn(n2)2 n2n 2，只需证 3n(n1)2 n2n2，当 n4 时，8180；假设当 nk(k4)时，结论成立，即 3k(k1)2 k2k 2，两边同乘以 3 得：3 k1 3(k1)2 k2k 2k2 k1 2(k1) 2(k3)2k4k 24k2而(k3)2 k4k 24k2(k3)2 k4(k 2k2)6(k3)2 k4(k2)(k1)60， 3 k1 (k1)12 k1 2(k1) 2，即 nk1 时结论也成立， 当 n4 时，3 n(n1)2 n2n 2成立综上，原不等式成立
