1、 “迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题1（8分）2012的计算结果是 2（8分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是 3（8分）一袋大米，刘备单独吃5天吃完，关羽单独吃3天吃完；一袋小麦，关羽单独吃5天吃完，张飞单独吃4天吃完刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 %4（8分）有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会人数是3或5每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012人全变成了好人那么第一天聚会前好人的人数的最小值是 5（8分）三个半圆、两个圆如图摆
2、放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10厘米，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 平方厘米二、填空题6（10分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有 条棱7（10分） 8（10分）有一个五位数，它分别除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13这12个自然数的余数互不相同，这个五位数是 9（10分）早上8：10，菲菲从家步行去上学3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上
3、菲菲到校时间是8点 分10（10分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有 种（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）三、填空题11（12分）有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字18，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边，已知每行4张卡片上的4个数字之和都相等，左下角是2，右上角是7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 12（12分）如图，在正方形环
4、形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化行驶完毕后，他们有如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站” 乙说：“我第一次追上丙时恰在车站” 丙说：“我第一次追上丁时恰在车站” 丁说：“我第一次追上甲时恰在车站”已知其中有两人的话正确，两人说的话错误那么四位数 13（12分）如果正整数N的每一个倍数都满足、也都是N的倍数（其中a、b、c都是09中的整数，并且约定123表示123，028表示28，007
5、表示7），那么就称N为“完美约数”（例如9就是一个“完美约数”）这样的“完美约数”一共有 个14（12分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是 参考答案一、填空题1（8分）2012的计算结果是24【解答】解：20122012201220122012201224；故答案为：242（8分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是730【解答】解：依题意可知：由第二行与第三行倍数不同，第二个乘数的十位数字小于2并且不是0只能是1继续推理出第一个乘数的十位数字也是1再根据已知数字2是尾数那么第一个乘数的尾数可能是1或者6两种情况再根据结果中的尾数是4，满足条件的有数字14
6、或者64推理出第二个乘数的个位是4当第一个乘数的个位是1时，验证积的十位数字不是2，那么只能是6根据数字0确定第一个乘数的首位是5即：516214110424，516+214730故答案为：7303（8分）一袋大米，刘备单独吃5天吃完，关羽单独吃3天吃完；一袋小麦，关羽单独吃5天吃完，张飞单独吃4天吃完刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少52%【解答】解：把关羽每天的饭量为单位“1”，则刘备每天的饭量为：35张飞每天的饭量为：54（）52%答：刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 52%故答案为：524（8分）有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会人数是3或5每
7、次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012人全变成了好人那么第一天聚会前好人的人数的最小值是435【解答】解：逆推法：极端分析，若要使好人尽量少，则应在聚会时由坏人变成好人数量最多若三人一组，最多变成好人的数量是，若5人一组，最多使的人变成好人；，所以尽量让5人一组20125400+34，所以最后一次共分为400个5人组，和4个3人组；每5个人中有3个人是好人，每3个人中共有2个人是好人；第二次聚会后最少有4003+241208（人）；同理12085241+31；第一次机会则最少有2413+2725（
8、人），7251455；1453435（人）；故答案为：4355（8分）三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10厘米，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大314平方厘米【解答】解：10+1020（厘米）3.141022（3.1420223.14102）3.142003.14200+3.141003.14100314（平方厘米）答：大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 314平方厘米故答案为：314二、填空题6（10分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有20条棱【解答】解：依题意可知：首先根据图示发现1部
9、分是一个底面有5条棱图2部分中有5条竖棱第三部分和第一部分相等共5条棱第四部分是图中含有5条倾斜的棱共5+5+5+520故答案为：207（10分）9【解答】解：分母（1）（1）+.+（1）（1）+分子（1）（1）+（1）（1）+9（+）则，9；故答案为：98（10分）有一个五位数，它分别除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13这12个自然数的余数互不相同，这个五位数是83159【解答】解：依题意可知：这个五位数除以1余数是0，除以2余数是1，然后发现分别除以3，4，5，6，7，8，9，10，11余数分别是2，3，4，5，6，7，8，9，10才是满足条件的发现余数都是少1的，那么
10、只有找到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的公倍数减去1就是符合条件的数字最小公倍为：123257231127720还需要满足除以13余数是11或者12的满足条件的数字是27720k1，尝试枚举出k1，2，3，满足5位数的条件经枚举是277203183159故答案为：831599（10分）早上8：10，菲菲从家步行去上学3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上菲菲到校时间是8点28分【解答】解：依题意可知：从离家200米到400米情况如
11、图所示，在相同的时间内菲菲走了200米，狗狗走了600米，V狗：V人S狗：S人3：1；菲菲家里距离学校的路程是4002800（米）在狗狗第一次追上菲菲的时候速度比是3：1，路程一定时间和速度成反比时间比为1：3，时间差为3分钟菲菲走200米的时间为：3（31）34.5分钟全程是800米是200米的4倍，时间就是4倍4.5418（分），10+1828（分）故答案为：2810（10分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有384种（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内
12、部）【解答】解：若只考虑顺时针a1、a2两条线段，只能选择走1条，同理，b1、b2、c1、c2、h1、h2每两条线段只能选择走1条，同时，8条线段选定后，回路的走法就唯一确定共28256种走法，如果同时选择a2、h2，则A点的线段K会走两次，不符要求，同时选择a2、h2，的选法共2664种，顺时针共2826192种走法，对称思想，逆时针与顺时针方法数相同，总计1922384种走法故答案为：384三、填空题11（12分）有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字18，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边，已
13、知每行4张卡片上的4个数字之和都相等，左下角是2，右上角是7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是1、4、7、8或者1、2、5、8【解答】解：根据分析，可得到图形如下：或者答：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 1、4、7、8或者1、2、5、8故答案为：1、4、7、8或者1、2、5、812（12分）如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化行驶完毕后，他们有
14、如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站” 乙说：“我第一次追上丙时恰在车站” 丙说：“我第一次追上丁时恰在车站” 丁说：“我第一次追上甲时恰在车站”已知其中有两人的话正确，两人说的话错误那么四位数2314【解答】解：4个人共有6次追及，设正方形边长为a 第一次追上时间a（41），所以应在、中间第一次追上时间2a（42）a，所以走了2a，在车站同理第一次追上在车站第一次追上在车站第一次追上在车站第一次追上在车站，所以甲、丙的话不可能正确乙第一次追上丙在车站，所以B3，C1丁第一次追上甲在车站，所以A2，D4所以四位数2314，故答案为231413（12分）如果正整数N的每一个倍数都满足、也都
15、是N的倍数（其中a、b、c都是09中的整数，并且约定123表示123，028表示28，007表示7），那么就称N为“完美约数”（例如9就是一个“完美约数”）这样的“完美约数”一共有14个【解答】解：若a，b，c不全相等，则N|，N|，N|，则N|（+），即N|（a+b+c）111，若N|（a+b+c）对于每一个a，b，c均成立，则N|9，则N|999，即N为999的约数，分别是1，3，9，27，37，111，333，999，共8个，若abc，则比为完美约数，分别是111，222，333，444，555，666，777，888，999，共9个，与中重复的有111，333，999，共3个，所以“完美约数”共有8+9314个故答案为：1414（12分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是324【解答】解：根据分析，将图进行分割，如图，阴影部分被分成3个相同的部分，每一个部分由两个三角形构成，其中一个三角形为腰为12的等腰直角三角形，面积1212272，另一个三角形底为12，高为126，面积为126236，每一个部分面积为72+36108，阴影部分面积为1083324故答案是：324
