1、 “迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分）1（8分）算式99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+1的计算结果的各位数字之和是 2（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是 3（8分）把18这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有 不是整数二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）4（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一
2、点D，已知CD5，BD比AD长2，那么三角形ABC的面积是 5（12分）如图，77的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是 1 253 34 2 1 5 4 6（12分）甲、乙两人从A地步行去B地乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过 分钟才能追上乙三、填空题（每小题15分，满分75分）7（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分
3、，比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？8（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是 9（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是 10（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：A+B+C79AABC那么，这个自然数是 11（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个
4、四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？参考答案一、填空题（共3小题，每小题8分，满分24分）1（8分）算式99999999988888888+7777777666666+555554444+33322+1的计算结果的各位数字之和是45【解答】解：由于计算过程没有出现进位借位，故结果各位数字之和就是式中各数的各位数字之和相加减，原式9988+7766+5544+3322+11（mod10）（9+8）（98）+（7+6）（76）+（3+2）（32）+19+8+7+6+5+4+
5、3+2+145，故答案为452（8分）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是160【解答】解：（1）积的最高位是2，可以得出前面两次算出的积的最高位都是1，再由此推出第一个乘数的第一位是1，最后一位是3；（2）根据积的个位是1，可以知道两个乘数的个位数字的积的末尾是1，结合上第一个乘数的个位是3，就能确定第二个乘数的个位是7；（3）因为第一个乘数乘第二个乘数的十位数字得到的是一百多，也就能确定第二个乘数的十位数字是1；（4）根据第一个乘数乘7的积是一千零几，可以推出第一个乘数的十位数字是4故这题中两个乘数是143和17，第一次算出的积是1001，第二次的积是143，最后的积是2431因此这两个
6、乘数的和是143+171603（8分）把18这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数，如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有4个不是整数【解答】解：奇偶性问题18八个数4奇4偶，上下两组各4个数同时满足相邻和为偶数，唯一情况为上下另组数分别同奇同偶即上面4个为奇数，下面4个为偶数或者上面4个为偶数，下面4个为奇数所以上下4组数和都是奇数，即它们的平均数都不是整数所以有4个不是整数故答案为4个二、填空题（共3小题，每小题12分，满分36分）4（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB
7、上有一点D，已知CD5，BD比AD长2，那么三角形ABC的面积是24【解答】解：作CEAB于ECACB，CEAB，CEAEBE，BDAD2，BE+DE（AEDE）2，DE1，在RtCDE中，CE2CD2DE224，SABCABCECE224，故答案为245（12分）如图，77的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是1501 253 34 2 1 5 4 【解答】解：首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻的空白空格必须为1，以此类推，第二行第一个5也具
8、有唯一相邻空格逆推得出唯一图形相加求和为150故答案为1506（12分）甲、乙两人从A地步行去B地乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过330分钟才能追上乙【解答】解：法一：假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下：时间甲（米）乙（米）时间甲（米）乙（米）0小时043小时7.5100.5小时2.553.5小时10111小时2.564小时10121.5小时574.5小时12.5132小时585小时12.5142.5小时7.595.5小时1515观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，
9、就要用具体追及公式计算追及时间）法二：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息，实际每小时走5a），乙的速度为每小时4a，因此要追8a半小时内最多追3a，可以先从要追的8a中扣除3a，因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止3a）之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，用追及公式算前面追的5a，相当于每小时追a，可以用5a（5a4a）5（小时）计算之后，甲半小时再走2a，乙再走5a，加上还差的3a，正好追上因此，要追5.5小时，即330分钟 故答案为：330三、填空题（每小题15分，满分75分）7（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，比赛
10、完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？【解答】解：5（51）210（场）比赛一共10场，总分在20到30分之间五位数恰是15的倍数，利用整除性可知，E可为0或者5，考虑到E最小，如果，总分最小为8+7+6+5+531分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24对三种情况分别讨论：（1）总分30分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分不能
11、在只有两个重复的情况下凑出30所以总分30分情况不存在（2）总分27分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局（3）总分24分：在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同所以总分24分情况不存在综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局8（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是127【解答】解：由题意，正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形，平行四边形要求偶数个三角形，2013是奇数，只能拼成梯形，而且是等腰梯形设梯形的下底边长为a、上底边长为b，则腰的长度为
12、（ab），所以，周长为（a+b）+2（ab） 因为a2b2（a+b）（ab）201331161，积一定差小和小，所以：（a+b）2（ab）2311616166，当a+b61、2（ab）66时，差小，和就小，最小周长为：66+61127（a47，b14可以不必求出来） 故答案为1279（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是141【解答】解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知SABCMSCDENSEFAK六边形面积，根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，AKP
13、，CMQ，ENR三个三角形是一样的，有KPRN，APER，RPPQ，则，由鸟头定理可知道3KPAPRPPQ，综上可得：PR2KPRE，那么由三角形AEK是六边形面积的，且SAPKSAKE，SAPKSABCDEF47，所以阴影面积为473141故答案为14110（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：A+B+C79AABC那么，这个自然数是441【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得Nx2y2，或者Nx8，（1）当Nx8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足AABC，不可能（2）当Nx2
14、y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足AABC，Ax，B1，Cx2，则x+1+x279，无解Axy，B1，Cx2y2，则xy+1+x2y279，无解 Axy，Bx，Cxy2，则xy+x+xy279，无解Axy，Bx2，Cy2，则xy+x2+y279，解得：，则N3272441Ax2y，Bx2y2，Cx2，则x2y+x2y2+x279，无解故答案为44111（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？【解答】解：，有25个约数的末两位为25（这就是说，这个数含有质因数5）平方数，一定形如a4b4或c4（显然太大，放弃），至少为245410000，不是四位数，所以这个平方数数字和为9（这就是说，这个数含有质因数3），含有9个约数，那么形如a2b2或c8，321722601答：这个四位数是2601
