1、第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）用x表示不超过x的最大整数，例如3.143，则+的值为 2（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、10和9，则原来给定的4个整数的和为 3（10分）在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）4（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已
2、离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是 千米/小时5（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是 6（10分）如图，ABC的面积为100平方厘米，ABD的面积为72平方厘米M为CD边的中点，MHB90，已知AB20厘米，则MH的长度为 厘米7（10分）一列数a1、a2，an，记S（ai）为ai的所有数字之和，如S（22）2+24，若a12017，a222，anS（an1）+S（an2），那么a2017等于 8（10分）如图，六边形的
3、六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 种二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？10（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐每名学生至少选择一种，也可以多选统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？11（10
4、分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值12（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月I2日的号数相同的）结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？14（15分）将1至9填入图的网格中要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格
5、子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：根据分析，原式为：+550+733+916+1100+1283+14666048故答案是60482【解答】解：设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，+d8（1），+c12（2），+b10（3），+a9（4），（1）+（2）+（3）+（4），可得2（a+b+c+d）8+12+10+9，所以a+b+c+d20，所以原来给定的4个整数的和为20故答案为：203【解答】解：根据分析，份三种情况：当正中
6、间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH综上，共有：2+4+2+210种不同摆放方法4【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：80240（千米/时）；甲速度加速变成40280（千米/时）；甲再经过2小时路程为：280160（千米/时）乙路程共是160千米，时间是2.5小时，乙速为：1602.564（千米/
7、时）故答案为：645【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，（1+1）：（1+1）：63：4答：书法小组与朗诵小组的人数比是3：4故答案为：3：46【解答】解：根据分析，过D，C分别作DEAB交AB于E，CFAB交AB于F，如图：ABD的面积72，DE7.2厘米，ABC的面积100，CF10厘米；又MH（7.2+10）8.6厘米故答案是：8.67【解答】解：S（ai）表示自然数ai的数字和，又anS（an1）+S（an2），在下表中列出n1，2，3，4，时的an和S（an），nanS（an）12017102224314549951456145710186697710134111121
8、2661388141451513416991713418134198820123211122255237724123251012644275528992914530145311013266由上表可以得出：a4a289，S（a4）S（a28）9；a5a2914，S（a5）S（a29）5；可以得到规律：当i4时，aiai+24，S（ai）S（ai+24），201732014，2014248322，所以：a2017a3+22a25108【解答】解：根据分析，分两类情况：按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；相邻两个位置互换，则共有：2种不
9、同的摆放方法综上，共有：1+1+24种不同摆放方法故答案是：4二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：根据分析，n0，即5条直线互相平行；n1，即五条直线交于一点；n2，3，不存在；n4，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：n的取值共有9种不同的数，故答案是：910【解答】解：根据分析，设学生总数为100人，故70人的学生选择苹果，40人的学生选择了香蕉30人的学生选了梨，三种水果都选的学生人数有a人，同时选了苹果和香蕉的人数有b人，同时选了梨和苹果的人数有c人，同时选了香蕉和梨的人数有d人，则：2a+b+c+d70+40+3010040a，又b+c+d0，a2
10、0，故当b+c+d0时，a取最大值20，即占总数的20%故答案是20%11【解答】解：根据分析，设有x个19克的珠子，y个17克的珠子，则有：19x+17y2017，又x，y均为正整数1x106，1y118；19x+17y2017x，由余数定理，要使x为正整数，201717y必须能被19整除，即余数为0，而2017被9除余数为3，故17y被19除余数也为3，在所有被19除余数为3既小于2017又能被17整除的数只有：136，即17y136y8，x99，x+y99+8107；459，即17y459y27，x82，x+y82+27109；782，即17y782y46，x65，x+y65+46111
11、；1105，即17y1105y65，x48，x+y48+65113；1428，即17y1428y84，x31，x+y31+84115；1751，即17y1751y103，x14，x+y14+103117综上，两种珠子的数量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117故答案是：107、109、111、113、115、11712【解答】解：不为最简，表明（5n+1，3n+2）a1，根据辗转相除原理有1a|（5n+1）3（3n+2）5即1a|7，则a只能等于7，一次尝试可知5n+11或6或11或16或21，因为2137，所以5n+121时7|5n+1成立，此时n为最小值，
12、且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，102+109+116+998（102+998）129270950答：使不为最简分数的三位数n之和等于70950三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是1到15由于1+2+3+15120260，因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，某一月份生日的人有3个，就不会出现生日号数为某一号的人数有3个），因此统计同月份或同号数的人数时，115这15个数字每个数字都只出现一次要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，例如可以将60拆分成：601+2+3+4+5+7+8+9+10+11这一种分散情况，不妨设这是同月份的人数，和另一种情况：606+12+13+14+15，这是同号数的人数，分析最大数字15，将15个同号数的人，分配到上面10个月份中，可知，同月同日最少会有两人所以：该班生日相同的人数至少有2人14【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+936，填入的x是其它五个数的因数，故x只能是3、6、9，若x9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x6时，如图所示，易知x6符合题意故答案是：6
