1、第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组B卷）一、选择题（每小题10分，满分60分以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）1（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行A0B2C3D42（10分）在下列四个算式中：2，EF0，GH1，I+J4，AJ代表09中的不同数字，那么两位数不可能是（）A54B58C92D963（10分）淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A
2、淘气的剪法利用率高B笑笑的剪法利用率高C两种剪法利用率一样D无法判断4（10分）小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上午10点时对好了表当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（）分钟A14B15C16D175（10分）甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁，几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是16岁，又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况A4B6C8D106（10分）有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315将这七
3、张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数”乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数”丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数”丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（）A甲B乙C丙D丁二、填空题（每小题10分，满分40分）7（10分）算式100719 的计算结果是 8（10分）海滩上有一堆栗子，这是四只猴
4、子的财产，它们想要平均分配第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆那么这堆栗子原来至少有 个9（10分）甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时从B地出发匀速走向A地出发后20分钟甲与丙相遇，相遇后立即调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地结果当甲走
5、到B地时，乙恰走过A、B两地中点105米，而丙离A地还有315米甲的速度是乙的速度的 倍，A、B两地间的路程是 米10（10分）从 1，2，3，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含1的有 种取法；总共有 种取法参考答案一、选择题（每小题10分，满分60分以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）1【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多4条线平行，而此时最多只能分成5个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字形，就可以得到八个平面，成立，故选：C2【解答】解：由条件可知：E、F中至少有一个为0，假设E
6、为0；另一个可以是任何数；I和J有一个是3，有一个是1；那么09中的数字还剩下2、4、5、6、7、8、9；因为：GH1GH是9，8时则54272此时F6GH是8，7时则92462此时F5GH是7，6时则58292此时F4G、H是6，5此时不满足条件时G、H是5，4时，此时不满足条件所以两位数可能是54、58、92；不可能是96故选：D3【解答】解：设正方形的边长是9厘米，则正方形的面积是：9981（平方厘米）淘气：圆的半径是924.5（厘米）用的材料的面积是3.144.523.1420.2563.585（平方厘米）；63.585810.78578.5%；笑笑：大圆的直径是9厘米，小圆的半径是9
7、321.5（厘米），3.141.5273.142.25749.455（平方厘米）；49.45563.5850.77877.8%；78.5%77.8%答：淘气的利用率高故选：A4【解答】解：依题意可知：上午十点对号表，标准钟每小时走60格，小华的表快4分是64格路程比例为15：16当小华的表为下午2点时，小华的表走了4圈共240格根据比例关系设标准钟走的路程为x则有：15：16x：240，解x22524022515（分）故选：B5【解答】解：至少一年前，甲是22岁时，乙是16岁，当甲是19岁时，则乙13岁，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），因为此时是至少4年前，所以4个人的年龄和不超过724
8、456（岁），设此时丁的年龄是x岁，丙的年龄是3x岁，则19+13+x+3x56 4x+3256 4x24 x6又知道x1，所以丁的年龄有6种情况，由于甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有6种情况故选：B6【解答】解：根据分析，如果甲是真的，则甲的卡片为5和2；乙无论是哪张卡片，一定是真的；如果丙是真的，则丙的卡片为5和0；如果丁是真的，则丁的卡片为0和3；通过观察可以发现丙与甲和丁两个人均矛盾，故说谎的人是丙故选：C二、填空题（每小题10分，满分40分）7【解答】解：根据分析19144故答案为：48【解答】解：至少有多少个，就从最少的开始分析，每一次猴子来的时候的数字都是除以
9、4余数是1的从四猴开始倒推每一次拿走，剩余的是余数都是1那么我在第四只猴子来的时候先考虑给他3个凑成4的整数倍第三只猴子的总数比原来也多3个也是4的整数倍，那么要求第三只猴子来的时候要求是4416的整数倍第二只猴子的总数比原来也是多3个，也构成4的整数倍那么要求第二只猴子来的时候要求是44464的整数倍第一只猴子的总数也比原来多3个同样是4的整数倍那么要求第二只猴子来的时候要求是4444256的整数倍因为要求原来至少是2563253个故答案为：2539【解答】解：（1）甲的速度是乙的速度的：（2+1）（21）3（倍）；（2）当乙走过AB终点105米时，甲行的路程比比一个全程多行1个半程+315
10、米，甲丙相遇时，甲行了全程的，所以A、B两地间的路程是：3151890（米）答：甲的速度是乙的速度的3倍，A、B两地间的路程是1890米故答案为：3、189010【解答】解：要形成等差数列，那么315个数中有314个公差，公差最小是1；公差最大是6，理由：31461884201431472205；含有1的只有6种；公差为1的有：2014（3151）1700种；公差为2的有：2014（23141）+11386种； 公差为3的有：2014（33141）+11072种； 公差为4的有：2014（4314+1）+1758种； 公差为5的有：2014（5314+1）+1？444种；公差为6的有：2014（6314+1）+1130种； 共有1700+1386+1072+758+444+1305490种故答案为6，5490
