1、第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题(每小题10分，共80分）1（10分）计算：（2（）（+） 2（10分）农农谚逢冬数九讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，九九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是 九的第 天3（10分）最简单分数满足，且b不超过19，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为 4（10分）如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD1：3，AQ：QC4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是 5（10分）四位数与的和为3333
2、，差为693，那么四位数为 6（10分）两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是 7（10分）设a、b、c分别是09中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9，将循环小数0.b化成最简分数后，分子有 不同情况8（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是 个二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）如图，大正方形的周长比小正方形的周长多8
3、0厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10（10分）某学校入学考试，确定了录取分数线，报考的学生中，只有被录取，录取者平均分比录取分数线高10分，没有被录取的同学其平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分，那么录取分数线是多少？11（10分）设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n12（10分）一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分、3分和5分三种可能比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分，若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分有多少种不同的情况？三、解答下列各题（每小题15分，共30
4、分，要求写出详细过程）13（15分）如图，在等腰直角三角形ABC中，A90，ABAC1，矩形EHGF在三角形ABC内，且G、H在边BC上求矩形EHGF的最大面积14（15分）用八个如图所示的21的小长方形可以拼成一个44的正方形若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同，问：有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？参考答案一、填空题(每小题10分，共80分）1【解答】解：2（）（+）7故答案为：72【解答】解：2012年12月21日到2013年的2月3日的元旦共有11+31+345天，4595，说明正好经过了5个9天，这一天就是五九的第9天答：
5、2013年的2月3日是五九的第9天故答案为：五，93【解答】解：由可得：，所以，4ab5a，又因b不超过19，所以a最大值为4，此时b最大可为19，当a2时，b有最小值是9，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为：（4+19）（2+9）253故答案为：2534【解答】解：连接DQ，作DQP的高QE正方形ABCD的面积为100，所以它的边长是10因为AP：PD1：3，所以AP2.5；DP7.5SABP102.5212.5AQ：QC4：1，所以SCQBSABCS正方形ABCD10010同理，SDCQ10EQAD，所以EQ：DCAQ：AC4：5，EQ108，SOQD7.58230SPBQS正方形A
6、BCDSABPSCQBSDCQSOQD10012.510103037.55【解答】解：（3333+693）2402622013，故答案为：20136【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：5525小正方体一个面的面积是：554125251015所以这个立体图形的表面积是：256+1542150+120270答：这个立体图形的表面积为270故答案为：2707【解答】解：0abcabc，根据题意1998，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复由9993337，可得：（1）99833322，所以1998中3的倍数有332个； 998341226，所以1998中3481的倍数有12
7、个，说明是3的倍数但不是81的倍数的有33212320个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数 （2）1998中37的倍数有998372636，说明是37的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数 （3）1998中3和37的倍数有9981118110，说明是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数 根据容斥原理，约分后会有重复的数有320+268338个，则分子有998338660种不同情况故答案为：6608【解答】解：根据以上分析得：（1+2+3+4+5+6）45642628456421255（个）故答案为：55二、解答下列各题（每题10分，
8、共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：80420（厘米）（8802020）202（880400）20248020212（厘米）（12+20）（12+20）32321024（平方厘米）答：大正方形的面积是1024平方厘米10【解答】解：则录取分数线是：（70410+263）4（28010+78）4348487（分）答：录取分数线是87分11【解答】解：对于小于50的自然数，设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，则d整除5（3n+5）3（5n+4）13，所以d13，进而，由3n+513k，可得k3（n4k）+53s+2，其中sn4k+1，所以n4k+s14（3s+2）+s1，n13s+7因为
9、0n50，所以0s3，对应的n分别是7，20，33，46答：使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n是7，20，33，4612【解答】解：设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则：3x+5y32，所以只有x9，y1或x4，y4两种情况：（1）当x9，y1时，相当于三队分9个3分和1个5分，三个队分5分的可能共有3种，当0a9（a表示得分的个数），若某个队得a个3分，则另外两个队分（9a）个3分的可能共有（10a）种，所以对于9个3分共有：10+9+8+155（种），每队分9个3分和1个5分的总可能有：553165 （种）（2）当x4，y4时，相当于三队分4个3分和4个5分，当0a4时
10、，若某个队得a个3分，则另外两个队分（4a）个3分的可能共有（5a）种，所以对于4个3分共有：5+4+3+2+115（种）；同理，当三队再分4个5分，类似地也有15种分法，但某队得5分的个数不少于3个时，其中的3个5分与（1）中的得5个3分的得分数一样，所以在（1）中已考虑过，而三个队分4个5分，其中有一队得到不少于3个的分法共9种，所以三队分4个3分和4个5分共有：15（159）90（种）；综合（1）和（2），三个队的不同的总得分情况共有：165+90255（种）答：这三个队的总得分有255种不同的情况三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：矩形EFGH的
11、面积最大时，E和F应分别在AB和AC上，作BPAB，CPAC，BP与CP将于点P，四边形ABPC是正方形，延长EH交BP于W，延长FG交CP于Q，边长QW，AP分别交EF与U、V容易证明，四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形，并且在正方形ABPC内，设AEx，则EB1x，AEAFPWPQxEBBWFCQC1x于是EWUV，EUAU，WVVP因此EF+EW+WQ+QFAP+BC常数即矩形EFQW的周长一定，在所在周长相同的矩形中，面积最大者为周长的正方形，此时AE：EB1，因此矩形EFGH的面积最大为SEFGHSABC答：矩形EFGH的面积最大为14【解答】解：用图代替题目中的21
12、小长方形，因为一条对角线旋转90度后与另一条对角线重合，所以只需考虑仅以过左上顶点的对角线为对称轴的情况此时，拼出的正方形在该对角线上只能有偶数颗星，而且左上角的22小正方形只能是图A和图B中的图形，右下角的22小正方形只能是图A和图C中的图形（1）首先考虑左上角以及右下角的22小正方形是图A中两个图形之一的情况此时，右上角的22小正方形有两颗星，由于另外一条对角线不能是对称轴，所以右上角的22小正方形不能是图A中的任意一个，只能是图D中的图形之一，去掉旋转重合的情况，只有下列8种：（2）左上角的22小正方形是图B中两个图形之一、右下角的22小正方形是图C中两个图形之一时，都不能拼出只以过左上顶点的对角线为对称轴的图形答：有8种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴
