第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷(一组一试)含答案

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1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷(一组一试)一、填空题(共3小题,每题10分)1(10分)化简:1a+1(b+) 2(10分)小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园,小兔1分钟向前跳36米,每跳3分钟就原地玩耍,第1次玩耍0.5分钟,第2次玩耍1分钟,第3次玩耍1.5分钟,第k次玩耍0.5k分钟,小龟途中从不休息和玩耍已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒,A地到森林游乐园有2640米,则小龟1分钟爬行 米3(10分)A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入,使得式的值最大,则A+2B+3C+4D的值为 二、解答题(共3小题,每小题10分,写出解答过程)4(10分

2、)长方形O1O2BA的宽AO11厘米,分别以O1与O2为圆心,1厘米为半径画圆O1和圆O2,交线段O1O2于点C和D,如图所示,则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米?5(10分)对于十进制自然数n,S(n)表示n的数码和,三位数中满足S(a)S(2a)的数a有多少个?6(10分)n张纸片,每张都写有不大于n的3个不同正整数,任意2张纸片恰有一个数是相同的,求纸片上所有写的数的和参考答案一、填空题(共3小题,每题10分)1【解答】解:1a+1(b+)1;故答案为:12【解答】解:依题意可知:小兔子不休息需要2640367324372证明兔子休息了24次24次休息的时间成等差数列0.5,1,12

3、那么休息时间是0.5+1+1.5+2+12150(分钟)兔子的总时间为:150+73+223乌龟的时间是2233220(分)乌龟的速度为:264022012(米/分)故答案为:123【解答】解:根据分析,要使得分数最大,分母要取最小值,则A10,则A后面的分数要最大,分母要最小,则B20,B加的后面那个分数要最小,分母要越大,故C40,D30则A+2B+3C+4D10+220+340+430290故答案为:290二、解答题(共3小题,每小题10分,写出解答过程)4【解答】解:根据分析,如图,过D作DEAB于E,易知AEO1DO2C,AED与BCO2的面积相等,可以得出,图中阴影部分的面积即等于

4、正方形EBO2D的面积111(平方厘米)故答案是:15【解答】解:解法一:以下用a表示满足条件的三位数0S(2a)S(a)S(2aa)S(a)(mod9),所以a是9的倍数,是9的倍数的三位数有129,139,1119共计100个,(1)数码5xyz0,且数字和为9的数组x,y,z4,4,1,4,3,2,3,3,3数组4,4,1可以组成3个三位数,数组4,3,2可以组成6个数字,数组3,3,3可以组成1个三位数这10个数不满足条件(2)设a100x+10y+z,x,y,z为数码,则2a1002x+102y+2z若x,y,z中有一个不小于5时,例如y5则2y10+m,0m82a100(2x+1)

5、+10m+2z,S(2a)2x+1+m+2z2x+1+(2y10)+2z2(x+y+z)92S(a)9,完全一样可以证明,当x,y,z中有k(0k3)个数码大于5时,S(2a)S(a)9k,因此数码x5yz0,且其和为9的数组x,y,z所组成的三位数是满足条件的数数码和为9的三位数不可能有2个大于4的数码(3)三个数码和是18的三位数,至少有2个数码大于4,由上面的说明,三个数码个位18的三位数恰好有2个数码大于4时这样的三位数满足条件,三个数码和为19,恰有3个数码大于4的数组x,y,z,xyzx,y,z5,5,8;5,6,7;6,6,6;用数码5,5,8可组成3个数字,用数码5,6,7可组

6、成6个三位数,用数码6,6,6可组成1个三位数,共计10个,这10个三位数不满足条件(4)三个数码和为27的三位数只有999,满足条件综上所述,这100个9的倍数的三位数中,有20个不满足条件,所以满足条件的三位数有80个解法二:三位数中9的倍数每100个数中都有10个是9的倍数从100999共有100个9的倍数当S(a)9需要进位一次是满足条件,三位数字都是小于5的组合没有进位不满足条件:(2,3,4)组合共6个数字,(1,4,4)组合共3个数字,(3,3,3)共1个数字S(a)18时需要进位两次满足条件,三位数字都大于4的组合进位三次不满足条件:(5,5,8)组合共3个数字,(5,6,7)

7、组合共6个数字,(6,6,6)组合1个数字S(a)27时,999满足条件100个9的倍数中有20个不满足条件1002080故答案为:806【解答】解:设a是出现最多的数字一共有k张,则这k张纸片一共写有2k+1个不同的数字,因为每个数都不大于n,所以2k+1n因此,kn,所以,至少还有一张纸片没写上a这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同,这些数字彼此不同,而且这个数不是a但是这张纸片上只有三个不同的数字,所以,k3因此,n2k+17另外,n张纸片写有3n个数,同 一个数最多写 3 次,所以,1,2,n 每个数都写了3次如果n7,三张写有1的纸片上有7个不同的数,由于 n7,所以,还有一 个数不出现在这三张纸片上,记为 b写有b的纸片上有3个数,这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字,这个数字不是 1,也不是b但是写有b的纸片上,除了b外,还只有2个数字,不可能与写有1的三张纸片每张都有一个相同的数字所以n7 每个数恰在三张纸片上出现,所有写的数的和为3(1+2+7)32884下面是一个实例:1,2,3;1,4,5;1,6,7;2,4,6;2,5,7;3,4,7;3,5,6

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