1、第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球2（10分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、5元、7元、9元、11元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格3（10分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 km4（
2、10分）以100为分母的所有最简真分数的和等于 5（10分）一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于2011的自然数中最大的“好数”为 6（10分）在一条3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50m，已挖好了坑若间隔距离改为60m，则需要重新挖 个坑，有 个原来挖好的坑将废弃不用7（10分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，使它们的数字和是27，则最多有 张是卡片“3”8（10分）若将算式+的值化为小数，则小数点后第1个数字是 二、解答下列各题（每题10分
3、，共40分，要求写出简要过程）9（10分）如图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由10（10分）足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1 分若A，B，C，D四支球队的总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？11（10分）甲、乙两人轮流从1，2，3，100，101这101个自然数中每次划掉9 个数，经过11次后，还剩下两个数如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使得最后剩下的两个数之差是55？并说明理由12（10分）华
4、罗庚爷爷出生于1910年11月12日将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112116316424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）图中，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 的长度分别为3和4，将三角形ABC绕点C顺时针旋转至A1B1C，使得A1C与B1C在直线l上A1A交B1C于D，求14（15分）已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数参考答案一、填空题（每小题10分，共80分）1【解答】解：符合条件的最小的10个数是：11，13，14，15，16，19
5、，20，21，22，23；所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23174（个）答：至少需要 174 个乒乓球故答案为：1742【解答】解：共有25619（种）包 装 盒 价 格礼品盒价格1357923579115681012148911131517111214161820141517192123故答案为：193【解答】解：20分钟小时，A与C 20分钟相遇，共行（90+60）50（ 千米），这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5（小时）所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）2.5425
6、（ 千米）答：甲乙两站的路程是425千米故答案为：4254【解答】解：设以100为分母的最简真分数为，且1p99因为是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5以2为因数小于100的数（偶数）之和为：2+4+6+96+9849502450以5为因数小于100的数之和为：5+10+15+90+951920950以10为因数小于100的数之和为：10+20+30+90910450小于100且以2或5为因数的数之和为：2450+9504502950所以以100为分母的所有最简真分数的和等于：（+）29.520故答案为：205【解答】解：把“好数”表示为m，m+1两个非零自然数
7、的和，也可以表示为n，n+1，n+2个非零自然数的和所以2m+13n+3，即mn+1，所以2|n因为3n+32011，所以n669，因为2|n，所以n的最大值为668，此时3n+32007不大于2011的自然数中最大的“好数”为2007故答案为：20076【解答】解：原来挖好的坑有：300050+161（个），现在需要挖：300060+151（个），50与60的最小公倍数是300，即每隔300米处的坑应该保留，共有：3000300+111（个），还需要挖：511140（个），原来挖好的坑将废弃不用的有：611150（个），答：则需要重新挖40个坑，有50个原来挖好的坑将废弃不用故答案为：40，
8、507【解答】解：假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3824，27243，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故532，431，所以为了使卡片“3”尽可能地多，应用一张卡片“5”换卡片“3”，一张卡片“4”换卡片“3”，这样8 张卡片的数字之和正好等于27所以最多可能有6张是卡片“3”故答案为：68【解答】解：0.410.015480.000.001330.00063推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和，所以小数点后第一位为4故答案为：4二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板之外，其余4张
9、硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住了3个或1个黑格，因此，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的45的长方形10【解答】解：由题意得：A11+0+0+0B43+1+0+01+1+1+1C73+3+1+0D83+3+1+1从得分看至少3局平局，全部比赛总分30327（分），E队得分最多为2714787（分）从得分看最多5场平局，全部比赛总分30525（分），E队得分最少为2514785（分）答：E队至多得7分，至少得5分11【解答】解：甲先划去47 至55 这9 个自然数，于是还剩下1 至46，56 至101
10、这些数将这些数分成以下46 组：（1，56），（2，57），（3，58），（45，100），（46，101）每组的两个数之差都是55接下来，如果乙只划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的另一个数；如果乙划掉了某组的两个数，甲就将未划掉数的另外一组划掉由此，甲、两人轮流划数，则最后剩下的两个数一定是描述的一组，两数之差为55所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的两个数之差是5512【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4等等1163是质数，判断方法是：3521225，3421156，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13
11、、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13【解答】解：如图，作三角形ABC关于A1B对称的三角形A2BC，连结AB1，A2B和A2C，因为AB3，BC4，所以A2C5，B1C4，SAA2C2SABC12因为ACB+ACB1+A1CB1ACB+ACB1+A2CB180，所以A2、C、B1 三点共线，且，即因为，且，所以因此，14【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+YXYK（K为整数）Y1 （K10）X1 X1，K11 所以虎威11；Y2 （K5）X1 X1，K6 所以虎威12；Y3 （3K10）X3 无解；Y4 （4XK10K）2 X2，K3 所以虎威24；Y5 （K2）X1 X1，K3 所以虎威15；Y6 （3K5）X3 X3，K2 所以虎威36Y7，同上方法讨论无解；Y8，同上方法讨论无解；Y9，同上方法讨论无解；综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36
